P

OLITECHNIKA

´

S

L ˛

ASKA

W

YDZIAŁ

I

N ˙

ZYNIERII

B

IOMEDYCZNEJ

Sprawozdanie

Rozwi ˛

azywanie problemów numerycznych i analitycznych.

Autor: Anna Zieli ´nska

Prowadz ˛

acy ´cwiczenie: dr in˙z. Jacek Kawa

Gliwice, 30 marca 2012

Spis treści

1. Rozwiązywanie układów równań

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.0.1

Rozwiązanie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.0.2

Wnioski

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. Równania nieliniowe- rozwiązywanie numeryczne

. . . . . . . . . . . . . .

3

2.0.3

Rozwiązanie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.0.4

Wnioski

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3. Obliczenia symboliczne- równania nieliniowe

. . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3.0.5

Rozwiązanie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3.0.6

Wnioski

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

4. Badanie przebiegu zmienności funkcji- obliczenia symboliczne

. . . . . . . 11

4.0.7

Rozwiązanie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5. Całkowanie numeryczne i symboliczne

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.0.8

Rozwiązanie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.0.9

Wnioski

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1. Rozwiązywanie układów równań

1.0.1

Rozwiązanie

Sposób pierwszy- Eliminacja Gaussa:

A= [ 2 . 0 0 0 1 , 6 . 0 0 0 1 , 7 ; 1 . 9 9 9 9 , 5 . 9 9 9 9 , 7 . 0 0 0 2 ; 2 , 6 , 7 . 0 0 0 1 ] ;
B = [ 7 . 9 9 9 9 9 9 ; 8 . 0 0 0 0 0 1 ; 7 . 9 9 9 9 9 8 ] ;

wynik=A\B

s p r=A∗ wynik

Sposób drugi- Wzory Cramera:

A= [ 2 . 0 0 0 1 , 6 . 0 0 0 1 , 7 ; 1 . 9 9 9 9 , 5 . 9 9 9 9 , 7 . 0 0 0 2 ; 2 , 6 , 7 . 0 0 0 1 ] ;
B = [ 7 . 9 9 9 9 9 9 ; 8 . 0 0 0 0 0 1 ; 7 . 9 9 9 9 9 8 ] ;

wyznO=

det

(A)

a1=A ( : , 2 : 3 ) ;

A1=[B, a1 ] ;

wyzn1=

det

(A1)

a21=A ( : , 1 ) ;
a22=A ( : , 3 ) ;

A2=[ a21 , B, a22 ] ;

wyzn2=

det

(A2)

a3=A ( : , 1 : 2 ) ;

A3=[ a3 , B ] ;

wyzn3=

det

(A3)

x1=wyzn1 /wyznO
x2=wyzn2 /wyznO
x3=wyzn3 /wyznO

1.0.2

Wnioski

Jeśli chodzi o rozwiązanie układu metodą Eliminacji Gaussa, wynik jest wiary-

godny. Wartość wyliczonego wektora ”wynik” tylko w niewielkim stopniu odbiega
od poprawnego. Jeżeli chodzi o drugą metodę czyli Wzory Cramera, to wyniki w
dość znacznym stopniu odbiegają od poprawnych. Błędy mogą wynikać z faktu, że
Matlab niedokładnie reprezentuje liczby z wieloma miejscami po przecinku. Innym

2

1. Rozwiązywanie układów równań

powodem jest mnogość operacji matematycznych przy Wzorach Cramera, który jest
znacznie więcej niż przy metodzie Eliminacji Gaussa.

2. Równania nieliniowe-

rozwiązywanie numeryczne

2.0.3

Rozwiązanie

1.

w i e l o m i a n=i n l i n e ( ’ ( x + 1 ) . ∗ x . ∗ ( x − 5 ) . ∗ ( x−7) ’ )

x = 0 : 0 . 1 : 6 ;
odp=w i e l o m i a n ( x ) ;

plot

( x , odp )

Wykres:

2.

X= [ − 1 0 : 1 0 ] ;

x = − 4 : 0 . 1 : 1 0
x0=6

4

2. Równania nieliniowe- rozwiązywanie numeryczne

z=f s o l v e ( w i e l o m i a n

, x0 )

q=f s o l v e ( w i e l o m i a n

, X)

plot

( x , w i e l o m i a n ( x ) , ’ k ’ )

hold

on

plot

( q , 0 , ’ g . ’ )

hold

on

plot

( z , 0 , ’ r ∗ ’ )

text

( −3 , −100 , ’ ( z i e l o n e ) w( x)=0 d l a [ −10

, 1 0 ] ’ )

text

( 4 , −100 , ’ ( c z e r w o n e ) w( x)=0 d l a 6 ’ )

Wykres:

3.

f=i n l i n e ( ’ s i n ( x)+1 ’ )

x = [ − 1 0 : 0 . 0 1 : 1 0 ] ;

plot

( x , f ( x ) )

grid

hold

on

x0 = [ − 8 : 5 ] ;
x=f s o l v e ( f , x0 ) ;

X=u n i q u e ( x )
X=X ( : , 2 : 3 )

plot

(X, f (X) , ’ ∗ r ’ )

Wykres:

5

2.0.4

Wnioski

Funkcja fsolve() nie podaje wszystkich miejsc zerowych funkcji, a jedynie te

miejsca zerowe, które znajdują się najbliżej punktów podanych jako drugi parametr.
Jeśli podamy jako drugi parametr jedynie jeden punkt to otrzymamy tylko jeden
wynik. Funkcja jest w stanie wyliczyć więcej miejs zerowych, jeśli podamy zbiór
punktów. Jednak wyniki dla niektórych punktów mogą się powtarzać.

3. Obliczenia symboliczne-

równania nieliniowe

3.0.5

Rozwiązanie

1.

syms ( ’ x ’ , ’ y ’ ) ;
o1=xˆ2+y ˆ2 −4;
o2=(x−

sqrt

( 2 ) ) ˆ 2 + ( y−

sqrt

( 2 ) ) ˆ 2 − 4 ;

odp=s o l v e ( o1 , o2 , ’ x , y ’ ) ;
x=odp . x
y=odp . y

e z p l o t ( o1 )

hold

on

e z p l o t ( o2 )

grid

hold

on

plot

( x , y , ’ g ∗ ’ )

Wykres:

Dokładne wartości miejsc zerowych funkcji to:

8

3. Obliczenia symboliczne- równania nieliniowe

x =

1 / 2 ∗ 2 ˆ ( 1 / 2 ) − 1 / 2 ∗ 6 ˆ ( 1 / 2 )
1 / 2 ∗ 2 ˆ ( 1 / 2 ) + 1 / 2 ∗ 6 ˆ ( 1 / 2 )

y =

1 / 2 ∗ 2 ˆ ( 1 / 2 ) + 1 / 2 ∗ 6 ˆ ( 1 / 2 )
1 / 2 ∗ 2 ˆ ( 1 / 2 ) − 1 / 2 ∗ 6 ˆ ( 1 / 2 )

2.

syms ( ’ x ’ , ’ y ’ ) ;
o2=(x−

sqrt

( 2 ) ) ˆ 2 + ( y−

sqrt

( 2 ) ) ˆ 2 − 4 ;

OX=0∗x+y ;

odp2=s o l v e (OX, o2 , ’ x ’ , ’ y ’ )
x1=odp . x
y1=odp . y

Dokładne wartości miejsc zerowych funkcji to:

x1 =

1 / 2 ∗ 2 ˆ ( 1 / 2 ) − 1 / 2 ∗ 6 ˆ ( 1 / 2 )
1 / 2 ∗ 2 ˆ ( 1 / 2 ) + 1 / 2 ∗ 6 ˆ ( 1 / 2 )

y1 =

1 / 2 ∗ 2 ˆ ( 1 / 2 ) + 1 / 2 ∗ 6 ˆ ( 1 / 2 )
1 / 2 ∗ 2 ˆ ( 1 / 2 ) − 1 / 2 ∗ 6 ˆ ( 1 / 2 )

3.

syms ( ’ x ’ , ’ a ’ , ’ b ’ , ’ c ’ ) ;

f=a ∗xˆ2+b∗x+c ;

odp=s o l v e ( f , ’ x ’ )

Rozwiązanie równania kwadratowego:

odp =

−1/2∗(b−(bˆ2−4∗a∗ c ) ˆ ( 1 / 2 ) ) / a
−1/2∗(b+(bˆ2−4∗a∗ c ) ˆ ( 1 / 2 ) ) / a

4.

9

syms ( ’ a ’ ,

’ r ’ )

f =2∗

s i n

( a)+ r ;

f 1=s o l v e ( f , ’ a ’ )

r f =−1
f=s u b s ( f , r , r f )

f 1=s u b s ( f 1 , r , r f )
e z p l o t ( f )

grid

hold

on

plot

( f 1 , 0 , ’ r ∗ ’ )

Wykres:

Ogolna postać rozwiązania równania:

f 1 =

−

asin

( 1 / 2 ∗ r )

3.0.6

Wnioski

Dla zmiennych symbolicznych i zdefiniowanej funkcji symbolicznej do odnajdy-

wanie miejsc zerowych używa się funkcji solve(). Jako parametry solve() podajemy
funkcje, oraz jesli jest to funkcja z więcej niż jednym parametrem, to ze względu

10

3. Obliczenia symboliczne- równania nieliniowe

na którą zmienną solve() ma szukać rozwiązania. Jest to istotne, gdyż rozwiązanie
dostajemy również w formie symbolicznej.

4. Badanie przebiegu zmienności

funkcji- obliczenia symboliczne

4.0.7

Rozwiązanie

1.

syms ( ’ x ’ )

f u n k c j a = 3∗ xˆ4−3∗x ˆ3+2;

m0 = s o l v e ( f u n k c j a , ’ x ’ ) ;
m0 = d o u b l e (m0 ) ;
m0 = m0( 1 )

e z p l o t ( f u n k c j a , − 1 0 : 1 0 )

hold

on ;

plot

(m0, 0 , ’ r ∗ ’ )

grid

;

hold

o f f ;

Wykres:

12

4. Badanie przebiegu zmienności funkcji- obliczenia symboliczne

2.

pochodna1 =

d i f f

( f u n k c j a )

pochodna2 =

d i f f

( pochodna1 )

x e x t r = s o l v e ( pochodna1 , ’ x ’ )
e x t r = s u b s ( f u n k c j a , ’ x ’ , x e x t r )

x p r z e g i e c i e = s o l v e ( pochodna2 , ’ x ’ )
p r z e g i e c i e = s u b s ( f u n k c j a , ’ x ’ , x p r z e g i e c i e )
e z p l o t ( f u n k c j a , − 1 0 : 1 0 )

hold

on ;

plot

( x p r z e g i e c i e , p r z e g i e c i e , ’m∗ ’ )

plot

(m0, 0 , ’ b∗ ’ )

grid

;

hold

on ;

hold

on ;

e z p l o t ( pochodna1 , − 1 0 : 1 0 )

grid

;

hold

on ;

e z p l o t ( pochodna2 , − 1 0 : 1 0 )

grid

;

Ten kod został napisany w czasie laboratorium i działał poprawnie, jednak po

skompilowaniu go w domu nie działa i pokazuje się błąd:

? ? ? E r r o r u s i n g ==>

plot

C o n v e r s i o n t o d o u b l e from sym i s not p o s s i b l e .

3.

punkt1 =

d i f f

( f u n k c j a ) ;

punkt2 =

d i f f

( punkt1 ) ;

z e r o 1 = s o l v e ( punkt1 , ’X ’ ) ;
z e r o 2 = s u b s ( punkt2 , ’X ’ , z e r o 1 ) ;
z e r o 2 = d o u b l e ( z e r o 2 ) ;
i n d=

imag

( z e r o 2 )==0;

i f

(

sum

( i n d )==0)

d i s p l a y ( ’ brak 2− g i e j p o c h o d n e j ’ )

e l s e

z e r o 2=z e r o 2 ( i n d ) ;
z e r o 2=

r e a l

( z e r o 2 ) ;

indmax=z e r o 2 <0;

indmin=z e r o 2 >0;

d i s p l a y ( ’ max ’ )
d i s p l a y ( z e r o 1 ( indmax ) )
d i s p l a y ( ’ min ’ )
d i s p l a y ( z e r o 1 ( indmin ) )

end

13

Ten kod został napisany w czasie laboratorium i działał poprawnie, jednak po

skompilowaniu go w domu nie działa i pokazuje się błąd:

E r r o r i n ==> U n t i t l e d 3 a t 17

plot

( x p r z e g i e c i e , p r z e g i e c i e , ’m∗ ’ )

5. Całkowanie numeryczne i

symboliczne

5.0.8

Rozwiązanie

1.

syms ( ’ x ’ )

c=

cos

( x ) ;

a=i n t ( c )

c c=s u b s ( a , { ’ x ’ } , { 0 , 4 ∗

pi

} )

odp=( c c ( 1

, 1 ) −c c ( 1 , 2 ) )

Całka z cos(x) wynosi sin(x). Po podstawieniu przedzialu całkowania całka z

cos(x) wynosi 0.

2.

f=i n l i n e (

’ s i n ( x ) ’ ) ;

o=q u a d l ( f

, 0 , 4 ∗

pi

)

Całka z sin(x) w przedziale [0; 4π] wynosi:

o =

1 . 1 8 3 9 e −015

3.

f=i n l i n e (

’ exp ( ( c o s ( x ) ) . ∗ ( c o s ( x ) ) ) ’ ) ;

o=q u a d l ( f , −2∗

pi

, 2 ∗

pi

)

Wartość całki z funkcji f (x) = e

cos

2

(x)

w przedziale [−2π; 2π] jest równa:

o =

2 2 . 0 3 3 7

5.0.9

Wnioski

W obliczeniach symbolicznych, w przeciwieństwie do numerycznych, trzeba two-

rzyć dodatkowy kod do poidstawiania wartości z podanego przedziału. W oblicze-
niach numerycznych wszystko zawarte jest w funkcji quadl(), co czyni ją prostszą.

16

5. Całkowanie numeryczne i symboliczne

Poza tym wadą obliczania symbolicznego jest to, że ma problem z rozwiązaniem bar-
dziej skomplikowanych i złożonych całek, natomiast rozwiązując całkę numerycznie
wynik jest poprawny.