1.

Obliczenie ró˝nicy liczb

:

y

x

-

y

x

2

4 7

-

= -

-

.

1

Obliczenie wartoÊci bezwzgl´dnej ró˝nicy liczb:

2

4 7

+

.

1

Obliczenie ilorazu

:

y

x

3

2 7

-

-

.

1

2.

Sporzàdzenie tabelki wartoÊci funkcji:

2

x

1

2

3

4

5

6

7

8

( )

f x

1

2

1

4

1

2

1

4

Narysowanie wykresu funkcji: punkty o odpowiednich wspó∏rz´dnych.

1

Podanie zbioru wartoÊci funkcji

:

, ,

g

4 5 7

"

,

.

1

3.

Analiza zadania i wprowadzenie oznaczeƒ, np:

1

x

– liczba uszkodzonych ˝arówek, które nale˝y usunàç,

x

50000 -

– liczba ˝arówek pozosta∏ych po usuni´ciu

x

˝arówek uszkodzonych.

Obliczenie liczby ˝arówek uszkodzonych:

2000

.

1

U∏o˝enie nierównoÊci odpowiadajàcej treÊci zadania:

1

< ,

x

x

2000

0 01

50000

$

-

-

^

h

.

Rozwiàzanie nierównoÊci:

>

,

x

1515 15

^ h

.

1

Podanie odpowiedzi: nale˝y usunàç co najmniej

1516

uszkodzonych ˝arówek.

1

4.

Wyznaczenie równania prostej, w której zawarty jest bok

:

AB y

x

2

1

=

+

.

2

(1 pkt za obli-
czenie wspó∏-

czynnika kie-

runkowego

i 1 pkt za po-

zosta∏e obli-

czenia)

Zapisanie uk∏adu równaƒ pozwalajàcego obliczyç wspó∏rz´dne punktu

B

:

1

y

x

y

x

2

1

3

2

1

= -

-

=

+

*

.

Rozwiàzanie uk∏adu i podanie odpowiedzi:

,

B

5

8

5

11

= -

-

b

l

.

1

1

w w w. o p e r o n . p l

Modele odpowiedzi do arkusza próbnej matury z OPERONEM

Matematyka

Poziom podstawowy

Grudzieƒ 2007

Numer

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

Liczba

zadania

punktów

5.

U∏o˝enie równania wynikajàcego z treÊci zadania:

m

m

m

3

3

3

2

+

=

+

.

1

Przekszta∏cenie równania do postaci uporzàdkowanej:

m

m

m

3

3

0

3

2

-

-

+

=

.

1

Przekszta∏cenie lewej strony równania do postaci iloczynowej:

1

m

m

m

3

1

1

0

-

-

+

=

^

^

^

h

h

h

.

Wyznaczenie pierwiastków równania i podanie odpowiedzi:

, ,

m

1 1 3

! -

"

,

.

1

6.

Zapisanie wspó∏rz´dnych wierzcho∏ka paraboli b´dàcej wykresem funkcji

f

: 1

,

W

2 6

= ^

h

.

Zapisanie wzoru funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej:

y

a

x

2

6

2

$

=

-

+

^

h

.

1

U∏o˝enie równania pozwalajàcego obliczyç wspó∏czynnik trójmianu:

1

a

0

1

2

6

2

=

- -

+

^

h

.

Rozwiàzanie równania:

a

3

2

= -

i zapisanie wzoru funkcji:

( )

f x

x

3

2

2

6

2

= -

-

+

^

h

.

1

7.

Obliczenie d∏ugoÊci przyprostokàtnej przyleg∏ej do kàta

a

:

8

.

1

Obliczenie d∏ugoÊci drugiej przyprostokàtnej:

4 5

.

1

Obliczenie szukanej wysokoÊci:

h

3

8 5

=

.

2

(1 pkt za me-

tod´ – np.

z pola lub po-

dobieƒstwa

i 1 pkt za

obliczenia)

8.

Analiza zadania i wprowadzenie oznaczeƒ, np:

,

,

,

a

r

S

30

5

450

n

1

=

=

=

1

gdzie

n

– liczba miesi´cy.

Wyznaczenie wyrazu ogólnego ciàgu:

a

n

n

30

1

5

25

5

n

$

=

+

-

=

+

^

h

.

1

U∏o˝enie równania wynikajàcego z treÊci zadania:

n

n

2

30

25

5

450

+

+

=

.

1

Rozwiàzanie równania:

,

n

n

20

9

1

2

= -

=

.

1

Podanie odpowiedzi: Darek oszcz´dza∏ przez

9

miesi´cy.

1

9.

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dok∏adnie opisanych

1

oznaczeƒ:

,

AB

CD

a

20

=

=

– podstawy trapezu,

c

=

BC

AD

=

– ramiona

trapezu,

h

– wysokoÊç trapezu,

DAC

CAB

E

E

=

=

a

.

Zapisanie, ˝e

AD

CD

a

=

=

(np. zauwa˝enie, ˝e trójkàt

ACD

jest równoramienny).

1

U∏o˝enie równania pozwalajàcego obliczyç d∏ugoÊç krótszej podstawy i ramienia

1

trapezu:

a

3

20

44

+

=

.

Obliczenie d∏ugoÊci krótszej podstawy trapezu:

a

8

=

.

1

2

w w w. o p e r o n . p l

Matematyka. Poziom podstawowy

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Numer

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

Liczba

zadania

punktów

Obliczenie wysokoÊci trapezu:

h

2 7

=

.

1

Obliczenie pola trapezu:

P

28 7

=

.

1

10.

Obliczenie liczebnoÊci zbioru wszystkich zdarzeƒ elementarnych:

36

=

X

.

1

Obliczenie liczebnoÊci zbioru zdarzeƒ sprzyjajàcych zdarzeniu

A

:

A

6

=

.

1

Obliczenie liczebnoÊci zbioru zdarzeƒ sprzyjajàcych zdarzeniu

B

:

B

15

=

.

1

Obliczenie liczebnoÊci cz´Êci wspólnej zdarzeƒ

,

A B

:

A

B

3

+ =

.

1

Obliczenie prawdopodobieƒstw:

( )

P A

36

6

=

,

( )

P B

36

15

=

,

P A

B

36

3

+

=

^

h

.

1

Wykorzystanie wzoru na prawdopodobieƒstwo sumy zdarzeƒ i obliczenie tego

1

prawdopodobieƒstwa:

(

)

P A

B

2

1

,

=

.

11.

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dok∏adnie opisanych

1

oznaczeƒ:

ABC

,

' ' '

A B C

– odpowiednio dolna i górna podstawa graniastos∏upa,

a

– kraw´dê podstawy graniastos∏upa,

h

– wysokoÊç graniastos∏upa,

'

CAC

]

=

a

.

Wyznaczenie d∏ugoÊci kraw´dzi podstawy:

a

r

2

3

=

.

1

Wyznaczenie wysokoÊci graniastos∏upa:

h

r

2

3

tg

=

a

.

1

Wyznaczenie pola podstawy graniastos∏upa

P

p

:

P

r

3

3

p

2

=

.

1

Obliczenie obj´toÊci graniastos∏upa:

V

r

18

tg

3

=

a

.

1

3

w w w. o p e r o n . p l

Matematyka. Poziom podstawowy

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Numer

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania

Liczba

zadania

punktów