POLITECHNIKA WARSZAWSKA

Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych

Modelowanie komputerowe w praktyce

inżynierskiej

„Symulacja drgań układu o trzech stopniach

swobody”

Wykonał: Karol Sapieha

Nr albumu: 229145

Styczeń 2014r.

1. Schemat układu

Układ składa się z trzech mas, pięciu sprężyn i jednego tłumika w

konfiguracji zaprezentowanej na poniższym rysunku:

2. Macierze sztywności, mas i tłumienia

Macierz sztywności K:

ࡷ ൌ ൦

࢑

૚

൅ ࢑

૜

൅ ࢑

૞

െ࢑

૚

െ࢑

૜

െ࢑

૞

െ࢑

૚

࢑

૚

൅ ࢑

૛

െ࢑

૛

૙

െ࢑

૜

െ࢑

૛

࢑

૛

൅ ࢑

૜

൅ ࢑

૝

െ࢑

૝

െ࢑

૞

૙

െ࢑

૝

࢑

૝

൅ ࢑

૞

൪

Jako, że przemieszczenia podłoża są równe 0, możemy wykreślić

pierwszy wiersz oraz pierwszą kolumnę. Macierz sztywności przyjmuje,
więc następującą postać:

ࡷ ൌ ൥

࢑

૚

൅ ࢑

૛

െ࢑

૛

૙

െ࢑

૛

࢑

૛

൅ ࢑

૜

൅ ࢑

૝

െ࢑

૝

૙

െ࢑

૝

࢑

૝

൅ ࢑

૞

൩

Macierz tłumienia C:

࡯ ൌ ൥

ࢉ ૙ ૙

૙ ૙ ૙
૙ ૙ ૙

൩

Macierz mas M:

ࡹ ൌ ൥

࢓

૚

૙

૙

૙

࢓

૛

૙

૙

૙

࢓

૜

൩

3. Dane

k

1

= 3 N/m

k

2

= 2 N/m

k

3

= 1 N/m

k

4

= 3 N/m

k

5

= 1 N/m

m

1

= 6 kg

m

2

= 15 kg

m

3

= 3 kg

Warunki początkowe:

x

1

=0 x

2

=0 x

3

=0

x

1

’=0 x

2

’=

10 m/s x

3

’=0

krok dt=0,1 s

4. Rozwiązanie zadania

Symulacja została przeprowadzona w programie Scilab.

Tłumienie układy otrzymamy z tłumienia Rayleigh'a:

C=

*M+β*K, gdzie α,β ϵ<0,001;0,05>

Macierze K i M po uwzględnieniu danych przyjmują następującą

postać:

ࡷ ൌ ൥

૞

െ૛

૙

െ૛

૟

െ૜

૙

െ૜

૝

൩

ࡹ ൌ ൥

૟

૙

૙

૙ ૚૞ ૙
૙

૙

૜

൩

Rozwiązanie zadania w programie Scilab:

Wykresy

przedstawiają amplitudę wychylenia poszczególnych mas

układu (kolor czarny-m

1

, niebieski-m

2

, czerwony-m

3

) w zależności od

przyjętych parametrów

 i β:

=0,001; β=0,001

=0,5; β=0,001

=0,001; β=0,05

=0,01; β=0,01

=0,05; β=0,05

=0,01; β=0,05

=0,05; β=0,01

Łatwo jest zauważyć, że gdy zwiększamy parametr

 to drgania są

szybciej tłumione i układ szybciej dąży do położenia równowagi jednak
ruch poszczególnych mas jest nierównomierny, a gdy zmieniamy
parametr β charakterystyki bardziej przypominają wykresy sinusoidalne,
jednak drgania są tłumione wolniej. Wynika to z zależności, z której
liczyliśmy macierz tłumienia (C=

*M+β*K) oraz z przyjętych danych.