PROJEKT KOMINA STALOWEGO
1. Dane:
r := 1.8m - promień wewnętrzny komina
h := 120m - wysokość komina
hwykł := 0.4�"h hwykł = 48m - wysokość wykładziny ceglanej
grwykł := 0.2m - grubość wykładziny ceglanej
hsbezwł := 0.6h hsbezwł = 72m - wysokość wymuszenia harmonicznego
umieszczonego na kominie
h
udop := udop = 1.2m - maksymalna dopuszczalna wartość ugięcia
100
fd := 205MPa - wytrzymałość obliczeniowa stali St3S (16E := 205GPa - moduł Younga stali
LOKALIZACJA: Tarnów
�
2. Zestawienie obcią\
eń na komin pochodzących od wiatru ( =3.0):
2.1.Charakterystyczne obcią\
enie wiatrem (PN-77/B-02011):
qk := 250Pa - charakterystyczne ciśnienie prędkości wiatru dla strefy I (Tarnów)
�wst := 3.0 - wstępnie przyjęty współczynnik działania porywów wiatru
(budowlna podatna na dynamiczne działanie wiatru)
Współczynniki ekspozycji:
Ce1 := 1.0 - rodzaj terenu A, h<=10m
Ce2 := 0.8 + 0.02�"20 Ce2 = 1.2 - rodzaj terenu A, h=20m
Ce3 := 0.9 + 0.015�"40 Ce3 = 1.5 - rodzaj terenu A, h=40m
Ce4 := 1.23 + 0.0067�"100 Ce4 = 1.9 - rodzaj terenu A, h=100m
Ce5 := 1.5 + 0.004�"120 Ce5 = 1.98 - rodzaj terenu A, h=120m
Współczynniki aerodynamiczne:
Cz := 1.0 -przyjęto Grubość scianki pominięto.
kN
pk1 := qk�"Ce1�"Cz�"�wst�" + 2�"grwykł pk1 = 3.00
(2r )
m
kN
pk2 := qk�"Ce2�"Cz�"�wst�" + 2�"grwykł pk2 = 3.60
(2r )
m
kN
pk3 := qk�"Ce3�"Cz�"�wst�" + 2�"grwykł pk3 = 4.50
(2r )
m
kN
pk4 := qk�"Ce4�"Cz�"�wst�" + 2�"grwykł pk4 = 5.70
(2r )
m
kN
pk5 := qk�"Ce5�"Cz�"�wst�" + 2�"grwykł pk5 = 5.94
(2r )
m
1
2.2.Obliczeniowe obcią\
enie wiatrem (PN-77/B-02011):
łF := 1.3 - cześciowy współczynnik bezpieczeństwa
kN
wd.1 := pk1�"łF wd.1 = 3.90
m
kN
wd.2 := pk2�"łF wd.2 = 4.68
m
kN
wd.3 := pk3�"łF wd.3 = 5.85
m
kN
wd.4 := pk4�"łF wd.4 = 7.41
m
kN
wd.5 := pk5�"łF wd.5 = 7.72
m
�
3. Wyznaczenie grubości ścianki komina ( =3.0) :
3.1.Warunek naprę\
eniowy:
t0 := 2.5cm - zało\
ona grubość scianki: 2.5cm
kN
cstal := 78.5 - cię\
ar stali
m3
kN
ccegła := 19.5 - cię\
ar cegły szamotowej
m3
�ł
Nstal := Ą�" + grwykł + t0 - + grwykł stalh Nstal = 2977.9 kN
(r )2 (r )2łł�"c
�ł �ł
�ł
Nwykł := Ą�" + grwykł - r2 Nwykł = 2234.8kN
(r )2 łł�"ccegłahwykł
�ł �ł
Nmax := Nstal + Nwykł Nmax = 5212.7kN
Dz := 2�"r + 2�"grwykł + 2�"t0 Dz = 4.05m - średnica zewnętrzna
Dw := 2�"r + 2�"grwykł Dw = 4.0m - średnica wewnętrzna
Ą
�łDz2 - Dw2�ł
A := A = 0.316m2 - pole przekroju
�ł łł
4
Mmax := 49012.6kN�"m - odczytano z programu RM-WIN
Ą
�łDz4 - Dw4�ł
I := I = 0.64 m4 - moment bezwładności
�ł łł
64
I
W := W = 0.316m3 - wskaz
nik wytrzymałości
Dz
2
2
Mmax Nmax
�max := + �max = 171.5 MPa
W A
�max �max
WARUNEK SPEA
NIONY
= 83.7 % d" 1 = 1
fd fd
3.2.Warunek dopuszczalnych ugięć:
M1 = -1�"x - równanie momentów od obcią\
enia jednostkowego
na końcu wspornika
kN
-6.0 �"x2
m
MP = - równanie momentów od uśrednionego obcią\
enia zewnętrznego
2
l
#
M1�"MP
�ł
dx
�ł
EI
!#0
120m
#
kN
�ł
6.0 �"x2�"x
m
�ł
u := dx u = 1.185m
�ł
2�"E�"I
!#0m
u u
WARUNEK SPEA
NIONY
= 98.7% d" 1 = 1
udop udop
�
4. Wyznaczenie okresów drgań własnych ( =3.0):
4.1.Waznaczenie mas:
Stal:
kg
�ł
m0.st := Ą�" + grwykł + t0 - + grwykł
(r )2 (r )2łł�"7850 m3 h m0.st = 37.2tonne
�ł �ł
8
kg
�ł
m1.st := Ą�" + grwykł + t0 - + grwykł
(r )2 (r )2łł�"7850 m3 h m1.st = 74.4tonne
�ł �ł
4
kg
�ł
m2.st := Ą�" + grwykł + t0 - + grwykł
(r )2 (r )2łł�"7850 m3 h m2.st = 74.4tonne
�ł �ł
4
kg
�ł
m3.st := Ą�" + grwykł + t0 - + grwykł
(r )2 (r )2łł�"7850 m3 h m3.st = 74.4tonne
�ł �ł
4
kg
�ł
m4.st := Ą�" + grwykł + t0 - + grwykł
(r )2 (r )2łł�"7850 m3 h m4.st = 37.22tonne
�ł �ł
8
3
Wykładzina ceglana:
kg
�ł
m0.wykł := Ą�" + grwykł - r2 m0.wykł = 69.8tonne
(r )2 łł�"1950 m3 h
�ł �ł
8
kg
�ł
m1.wykł := Ą�" + grwykł - r2 m1.wykł = 139.7tonne
(r )2 łł�"1950 m3 h
�ł �ł
4
kg
�ł
m2.wykł := Ą�" + grwykł - r2 m2.wykł = 14tonne
(r )2 łł�"1950 m3 3m
�ł �ł
m3.wykł := 0kg
m4.wykł := 0kg
Stal + wykładzina ceglana:
m0 := m0.st + m0.wykł m0 = 107.1tonne
m1 := m1.st + m1.wykł m1 = 214.1tonne
m2 := m2.st + m2.wykł m2 = 88.4tonne
m3 := m3.st + m3.wykł m3 = 74.4tonne
m4 := m4.st + m4.wykł m4 = 37.2tonne
4.2.Waznaczenie przemieszczeń:
m4
1
m3 30
1
m2 M1 1 M2 30 M3 60 M4
m1 30 60 90
1
m0 30 60 90 120
4
30
30
30
30
1
EI�11 := �"303 EI�11 = 9000 �21 = �12
3
�31 = �13
1
EI�22 := �"603 EI�22 = 72000
3
�41 = �14
1
EI�33 := �"903 EI�33 = 243000 �32 = �23
3
�42 = �24
1
EI�44 := �"1203 EI�44 = 576000
�43 = �34
3
1
EI�12 := �"303 + 0.5�"302�"30 EI�12 = 22500
3
1
EI�13 := �"303 + 0.5�"302�"60 EI�13 = 36000
3
1
EI�14 := �"303 + 0.5�"302�"90 EI�14 = 49500
3
1 1
EI�23 := �"303 + 0.5�"302�"60 + 0.5�"302�"30 + 30�"60�"30 + �"303 + 0.5�"303
3 3
EI�23 = 126000
1 1
EI�24 := �"303 + 0.5�"302�"90 + 0.5�"302�"30 + 30�"90�"30 + �"303 + 0.5�"302�"60
3 3
EI�24 = 180000
1 1
EI�34 := �"303 + 0.5�"302�"90 + 0.5�"302�"60 + 30�"60�"90 + �"303 ...
3 3
1 1
+ 0.5�"302�"60 + 0.5�"302�"30 + 30�"30�"60 + �"303 + �"302�"30
3 2
EI�34 = 364500
4.3.Rozwiązanie układu równań:
Wszystkie masy wyra\
one za pomocą m1:
m2
m2. := m2. = 0.413 m2 = 0.413m1
m1
m3
m3. := m3. = 0.348 m3 = 0.348m1
m1
m4
m4. := m4. = 0.174 m4 = 0.174m1
m1
5
Układ równań jednorodnych - postać ogólna:
�łA �łm - 1 �ł �ł
�ł + A2�"m2�"�12 + A3�"m3�"�13 + A4�"m4�"�14 = 0 �ł
1 1�"�11
�ł �ł
�ł �ł
�2
�ł łł
�ł �ł
1
�łm �ł
�ł �ł
A1�"m1�"�21 + A2 2�"�22 - + A3�"m3�"�23 + A4�"m4�"�24 = 0
�ł �ł
�ł �ł
�2
�ł łł
�ł �ł
�łA1�"m1�"�31 + A2�"m2�"�32 + A3�łm3�"�33 - 1 �ł + A4�"m4�"�34 = 0 �ł
�ł �ł
�ł �ł
�2
�ł łł
�ł �ł
1
�łm �ł
�łA �ł
+ A2�"m2�"�42 + A3�"m3�"�43 + A4 4�"�44 - = 0
1�"m1�"�41
�ł �ł
�ł �ł
�2
�ł �ł łł łł
Układ równań jednorodnych z wstawionymi masami:
�łA �łm - 1 �ł �ł
�ł + A2�"0.413m1�"�12 + A3�"0.348m1�"�13 + A4�"0.174m1�"�14 = 0 �ł
1 1�"�11
�ł �ł
�ł �ł
�2
�ł łł
�ł �ł
�ł0.413m - 1 �ł
�ł �ł
A1�"m1�"�21 + A2 + A3�"0.348m1�"�23 + A4�"0.174m1�"�24 = 0
1�"�22
�ł �ł
�ł �ł
�2
�ł łł
�ł �ł
�łA1�"m1�"�31 + A2�"0.413m1�"�32 + A3�ł0.348m1�"�33 - 1 �ł + A4�"0.174m1�"�34 = 0 �ł
�ł �ł
�ł �ł
�2
�ł łł
�ł �ł
�ł0.174m - 1 �ł
�łA �ł
+ A2�"0.413m1�"�42 + A3�"0.348m1�"�43 + A4 = 0
1�"m1�"�41 1�"�44
�ł �ł
�ł �ł
�2
�ł �ł łł łł
Układ równań jednorodnych po wstawieniu przemieszczeń,
przeno\
eniu przez EI oraz przedzieleniu przez m1:
EI
�ł �ł �ł �ł
A1�ł9000 - �ł + A2�"0.413 � 22500 + A3�"0.348 � 36000 + A4�"0.174 � 49500 = 0
�ł �ł
�ł �ł
m1�"�2
�ł �ł
�ł łł
�ł �ł
EI
�ł �ł
�ł �ł
A1�"22500 + A2�ł0.413 � 72000 - �ł + A3�"0.348 � 126000 + A4�"0.174 � 180000 = 0
�ł �ł
�ł �ł
m1�"�2
�ł łł
�ł �ł
�ł �ł
EI
�ł �ł
�ł + A4�"0.174 � 364500 = 0
�łA1�"36000 + A2�"0.413 � 126000 + A3�ł0.348 � 243000 - �ł
�ł �ł
m1�"�2
�ł �ł
�ł łł
�ł �ł
EI
�ł �ł
�ł �ł
A1�"49500 + A2�"0.413 � 180000 + A3�"0.348 � 364500 + A4�ł0.174 � 576000 - �ł = 0
�ł �ł
�ł �ł
m1�"�2
�ł �ł łł łł
EI EI
Wyznacznik układu równań z podstawieniem: x = � =
mx
m1�"�2
�ł9000 - x 0.413 � 22500 0.348 � 36000 0.174 � 49500 �ł
�ł �ł
22500 0.413 � 72000 - x 0.348 � 126000 0.174 � 180000
�ł �ł
1.0�"x4 - 223524.0
�ł �ł
36000 0.413 � 126000 0.348 � 243000 - x 0.174 � 364500
�ł �ł
49500 0.413 � 180000 0.348 � 364500 0.174 � 576000 - x
�ł łł
6
A(x) := 1.0�"x4 - 223524.0�"x3 + 2.159436672e9�"x2 - 3.361166830152e12�"x + 9.947188163745e14
9.947188163745e14
�ł �ł
�ł-3.361166830152e12 �ł
�ł �ł
współczynniki := A(x) coeffs , x 2.159436672e9
�ł �ł
�ł �ł
-223524.0
�ł �ł
1.0
�ł łł
częstosci := polyroots(współczynniki)
389.482
�ł �ł
�ł �ł
1.46 � 103
�ł �ł
częstosci =
�ł �ł
�ł8.192 � 103 �ł
�ł �ł
�ł2.135 � 105 łł
1 E�"I 1
�1.wst := �" �1.wst =
389.482 s
m1�"m3
1 E�"I 1
�2.wst := �" �2.wst = 20.489
s
1.46 � 103 m1�"m3
1 E�"I 1
�3.wst := �" �3.wst = 8.65
s
8.192 � 103 m1�"m3
1 E�"I 1
�4.wst := �" �4.wst = 1.694
s
2.135 � 105 m1�"m3
Uporządkowanie:
�1 := �4.wst �2 := �3.wst �3 := �2.wst �4 := �1.wst
1 1 1 1
�1 = 1.694 �2 = 8.65 �3 = 20.489 �4 = 39.67
s s s s
Okresy drgań własnych:
2Ą
T1 := T1 = 3.708 s
�1
2Ą
T2 := T2 = 0.726 s
�2
2Ą
T3 := T3 = 0.307 s
�3
2Ą
T4 := T4 = 0.158 s
�4
7
�
5. Wyznaczenie współczynnika działania porywów wiatru ( =3.0):
5.1.Współczynnik wartości szczytowej obcią\
enia:
1
n := �"s n = 0.27
T1
0.577
�ł �ł
� := min 2�"ln(600�"n) + , 4 � = 3.37
�ł �ł
2�"ln(600�"n)
�ł łł
5.2.Współczynnik chropowatości terenu:
rch := 0.08 - dla terenu A
5.3.Współczynnik ekspozycji:
Ce := Ce5 Ce = 1.98 - rodzaj terenu A, h=120m
5.4.Współczynnik oddziaływania turbulentnego:
L := Dz L = 4.05 m - szerokość budowli
H := h H = 120m - wysokość budowli
L
� := � = 0.034
H
0.042 � � - 1.29
A := - B := - C := 2.29 - 0.12�"� +
28.8�"� + 1 2.65�"� + 0.24 24.5�"� + 3.48
A = -0.021 B = -0.102 C = 1.994
2
H H
�ł �ł �ł �ł
kb := A�"ln + B�"ln + C kb = 1.016
�ł �ł �ł �ł
m m
�ł łł �ł łł
5.5.Współczynnik kr:
Współczynnik zmniejszający oddziaływanie rezonansowe porywów ze względu na rozmiary
budowli:
Vk := 20 - charakterystyczna prędkość wiatru
VH := Vk�" Ce
Ą 1 1
�ł �ł�"�ł �ł
KL := �" KL = 0.186
�ł �ł �ł �ł
3 H L
�ł �ł �ł �ł
8�"n�" 10�"n�"
m m
�ł �ł �ł �ł
1 + 1 +
�ł �ł �ł �ł
3�"VH VH
�ł łł �ł łł
Współczynnik energii porywów o częstościach rezonansowych:
1200�"n
x2
x :=
K0 = 0.194
VH K0 :=
4
3
( )
1 + x2
8
Logarytmiczny dekrement tłumienia:
" := 0.02 + 0.02 " = 0.04 - komin stalowy + dodatek na wykładzinę
2Ą�"KL�"K0
kr := kr = 5.663
"
rch
� := 1 + ��" �" + kr � = 2.75
(k )
Ce b
�
6. Zestawienie obcią\
eń na komin pochodzących od wiatru ( =2.75):
6.1.Charakterystyczne obcią\
enie wiatrem (PN-77/B-02011):
qk := 250Pa - charakterystyczne ciśnienie prędkości wiatru dla strefy I (Tarnów)
� = 2.75 - wstępnie przyjęty współczynnik działania porywów wiatru
(budowlna podatna na dynamiczne działanie wiatru)
Współczynniki ekspozycji:
Ce1 := 1.0 - rodzaj terenu A, h<=10m
Ce2 := 0.8 + 0.02�"20 Ce2 = 1.2 - rodzaj terenu A, h=20m
Ce3 := 0.9 + 0.015�"40 Ce3 = 1.5 - rodzaj terenu A, h=40m
Ce4 := 1.23 + 0.0067�"100 Ce4 = 1.9 - rodzaj terenu A, h=100m
Ce5 := 1.5 + 0.004�"120 Ce5 = 1.98 - rodzaj terenu A, h=120m
Współczynniki aerodynamiczne:
Cz := 1.0 -przyjęto Grubość scianki pominięto.
kN
pk1 := qk�"Ce1�"Cz�"��" + 2�"grwykł pk1 = 2.75
(2r )
m
kN
pk2 := qk�"Ce2�"Cz�"��" + 2�"grwykł pk2 = 3.30
(2r )
m
kN
pk3 := qk�"Ce3�"Cz�"��" + 2�"grwykł pk3 = 4.13
(2r )
m
kN
pk4 := qk�"Ce4�"Cz�"��" + 2�"grwykł pk4 = 5.23
(2r )
m
kN
pk5 := qk�"Ce5�"Cz�"��" + 2�"grwykł pk5 = 5.45
(2r )
m
9
6.2.Obliczeniowe obcią\
enie wiatrem (PN-77/B-02011):
łF := 1.3 - cześciowy współczynnik bezpieczeństwa
kN
wd.1 := pk1�"łF wd.1 = 3.58
m
kN
wd.2 := pk2�"łF wd.2 = 4.29
m
kN
wd.3 := pk3�"łF wd.3 = 5.36
m
kN
wd.4 := pk4�"łF wd.4 = 6.79
m
kN
wd.5 := pk5�"łF wd.5 = 7.08
m
�
7. Wyznaczenie grubości ścianki komina ( =2.75) :
7.1.Warunek naprę\
eniowy:
t0 := 2.3cm - zało\
ona grubość scianki: 2.3cm
kN
cstal := 78.5 - cię\
ar stali
m3
kN
ccegła := 19.5 - cię\
ar cegły szamotowej
m3
�ł
Nstal := Ą�" + grwykł + t0 - + grwykł stalh Nstal = 2738.3 kN
(r )2 (r )2łł�"c
�ł �ł
�ł
Nwykł := Ą�" + grwykł - r2 Nwykł = 2234.8kN
(r )2 łł�"ccegłahwykł
�ł �ł
Nmax := Nstal + Nwykł Nmax = 4973.1kN
Dz := 2�"r + 2�"grwykł + 2�"t0 Dz = 4.046m - średnica zewnętrzna
Dw := 2�"r + 2�"grwykł Dw = 4.0m - średnica wewnętrzna
Ą
�łDz2 - Dw2�ł
A := A = 0.291m2 - pole przekroju
�ł łł
4
Mmax := 44971.98kN�"m - odczytano z programu RM-WIN
Ą
�łDz4 - Dw4�ł
I := I = 0.588 m4 - moment bezwładności
�ł łł
64
I
W := W = 0.291m3 - wskaz
nik wytrzymałości
Dz
2
10
Mmax Nmax
�max := + �max = 171.8 MPa
W A
�max �max
WARUNEK SPEA
NIONY
= 83.8 % d" 1 = 1
fd fd
7.2.Warunek dopuszczalnych ugięć:
M1 = -1�"x - równanie momentów od obcią\
enia jednostkowego
na końcu wspornika
kN
-5.3 �"x2
m
MP = - równanie momentów od uśrednionego obcią\
enia zewnętrznego
2
l
#
M1�"MP
�ł
dx
�ł
EI
!#0
120m
#
kN
�ł
5.3 �"x2�"x
m
�ł
u := dx u = 1.139m
�ł
2�"E�"I
!#0m
u u
WARUNEK SPEA
NIONY
= 95% d" 1 = 1
udop udop
�
8. Wyznaczenie okresów drgań własnych ( =2.75):
8.1.Waznaczenie mas:
Stal:
kg
�ł
m0.st := Ą�" + grwykł + t0 - + grwykł
(r )2 (r )2łł�"7850 m3 h m0.st = 34.2tonne
�ł �ł
8
kg
�ł
m1.st := Ą�" + grwykł + t0 - + grwykł
(r )2 (r )2łł�"7850 m3 h m1.st = 68.5tonne
�ł �ł
4
kg
�ł
m2.st := Ą�" + grwykł + t0 - + grwykł
(r )2 (r )2łł�"7850 m3 h m2.st = 68.5tonne
�ł �ł
4
kg
�ł
m3.st := Ą�" + grwykł + t0 - + grwykł
(r )2 (r )2łł�"7850 m3 h m3.st = 68.5tonne
�ł �ł
4
kg
�ł
m4.st := Ą�" + grwykł + t0 - + grwykł
(r )2 (r )2łł�"7850 m3 h m4.st = 34.23tonne
�ł �ł
8
11
Wykładzina ceglana:
kg
�ł
m0.wykł := Ą�" + grwykł - r2 m0.wykł = 69.8tonne
(r )2 łł�"1950 m3 h
�ł �ł
8
kg
�ł
m1.wykł := Ą�" + grwykł - r2 m1.wykł = 139.7tonne
(r )2 łł�"1950 m3 h
�ł �ł
4
kg
�ł
m2.wykł := Ą�" + grwykł - r2 m2.wykł = 14tonne
(r )2 łł�"1950 m3 3m
�ł �ł
m3.wykł := 0kg
m4.wykł := 0kg
Stal + wykładzina ceglana:
m0 := m0.st + m0.wykł m0 = 104.1tonne
m1 := m1.st + m1.wykł m1 = 208.1tonne
m2 := m2.st + m2.wykł m2 = 82.4tonne
m3 := m3.st + m3.wykł m3 = 68.5tonne
m4 := m4.st + m4.wykł m4 = 34.2tonne
8.2.Waznaczenie przemieszczeń:
Wg punktu 4.2.
8.3.Rozwiązanie układu równań:
Wszystkie masy wyra\
one za pomocą m1:
m2
m2. := m2. = 0.396 m2 = 0.396m1
m1
m3
m3. := m3. = 0.329 m3 = 0.329m1
m1
m4
m4. := m4. = 0.164 m4 = 0.164m1
m1
12
Układ równań jednorodnych - postać ogólna:
�łA �łm - 1 �ł �ł
�ł + A2�"m2�"�12 + A3�"m3�"�13 + A4�"m4�"�14 = 0 �ł
1 1�"�11
�ł �ł
�ł �ł
�2
�ł łł
�ł �ł
1
�łm �ł
�ł �ł
A1�"m1�"�21 + A2 2�"�22 - + A3�"m3�"�23 + A4�"m4�"�24 = 0
�ł �ł
�ł �ł
�2
�ł łł
�ł �ł
�łA1�"m1�"�31 + A2�"m2�"�32 + A3�łm3�"�33 - 1 �ł + A4�"m4�"�34 = 0 �ł
�ł �ł
�ł �ł
�2
�ł łł
�ł �ł
1
�łm �ł
�łA �ł
+ A2�"m2�"�42 + A3�"m3�"�43 + A4 4�"�44 - = 0
1�"m1�"�41
�ł �ł
�ł �ł
�2
�ł �ł łł łł
Układ równań jednorodnych z wstawionymi masami:
�łA �łm - 1 �ł �ł
�ł + A2�"0.396m1�"�12 + A3�"0.329m1�"�13 + A4�"0.164m1�"�14 = 0 �ł
1 1�"�11
�ł �ł
�ł �ł
�2
�ł łł
�ł �ł
�ł0.396m - 1 �ł
�ł �ł
A1�"m1�"�21 + A2 + A3�"0.329m1�"�23 + A4�"0.164m1�"�24 = 0
1�"�22
�ł �ł
�ł �ł
�2
�ł łł
�ł �ł
�łA1�"m1�"�31 + A2�"0.396m1�"�32 + A3�ł0.329m1�"�33 - 1 �ł + A4�"0.164m1�"�34 = 0 �ł
�ł �ł
�ł �ł
�2
�ł łł
�ł �ł
�ł0.164m - 1 �ł
�łA �ł
+ A2�"0.396m1�"�42 + A3�"0.329m1�"�43 + A4 = 0
1�"m1�"�41 1�"�44
�ł �ł
�ł �ł
�2
�ł �ł łł łł
Układ równań jednorodnych po wstawieniu przemieszczeń,
przeno\
eniu przez EI oraz przedzieleniu przez m1:
EI
�ł �ł �ł �ł
A1�ł9000 - �ł + A2�"0.396 � 22500 + A3�"0.329 � 36000 + A4�"0.164 � 49500 = 0
�ł �ł
�ł �ł
m1�"�2
�ł �ł
�ł łł
�ł �ł
EI
�ł �ł
�ł �ł
A1�"22500 + A2�ł0.396 � 72000 - �ł + A3�"0.329 � 126000 + A4�"0.164 � 180000 = 0
�ł �ł
�ł �ł
m1�"�2
�ł łł
�ł �ł
�ł �ł
EI
�ł �ł
�ł + A4�"0.164 � 364500 = 0
�łA1�"36000 + A2�"0.396 � 126000 + A3�ł0.329 � 243000 - �ł
�ł �ł
m1�"�2
�ł �ł
�ł łł
�ł �ł
EI
�ł �ł
�ł �ł
A1�"49500 + A2�"0.396 � 180000 + A3�"0.329 � 364500 + A4�ł0.164 � 576000 - �ł = 0
�ł �ł
�ł �ł
m1�"�2
�ł �ł łł łł
EI EI
Wyznacznik układu równań z podstawieniem: x = � =
mx
m1�"�2
0.329 � 36000 0.164 � 49500
�ł9000 - x2 0.396 � 22500 �ł
�ł �ł
22500 0.396 � 72000 - x2 0.329 � 126000 0.164 � 180000
�ł �ł
1.0�"x24 - 211923.0
�ł �ł
36000 0.396 � 126000 0.329 � 243000 - x2 0.164 � 364500
�ł �ł
�ł �ł
49500 0.396 � 180000 0.329 � 364500 0.164 � 576000 - x2
�ł łł
13
A := 1.0�"x24 - 211923.0�"x23 + 1.981344807e9�"x22 - 2.988139571352e12�"x2 + 8.49878262387e14
(x )
2
8.49878262387e14
�ł �ł
�ł-2.988139571352e12 �ł
�ł �ł
współczynniki := A coeffs , x2 1.981344807e9
�ł �ł
(x )
2
�ł �ł
-211923.0
�ł �ł
1.0
�ł łł
częstosci := polyroots(współczynniki)
372.991
�ł �ł
�ł �ł
1.421 � 103
�ł �ł
częstosci =
�ł �ł
�ł7.933 � 103 �ł
�ł �ł
�ł2.022 � 105 łł
1 E�"I 1
�1.wst := �" �1.wst = 39.408
372.991 s
m1�"m3
1 E�"I 1
�2.wst := �" �2.wst = 20.19
s
1.421 � 103 m1�"m3
1 E�"I 1
�3.wst := �" �3.wst = 8.545
s
7.933 � 103 m1�"m3
1 E�"I 1
�4.wst := �" �4.wst = 1.693
s
2.022 � 105 m1�"m3
Uporządkowanie:
�1 := �4.wst �2 := �3.wst �3 := �2.wst �4 := �1.wst
1 1 1 1
�1 = 1.693 �2 = 8.545 �3 = 20.19 �4 = 39.408
s s s s
Okresy drgań własnych:
2Ą
T1 := T1 = 3.712 s
�1
2Ą
T2 := T2 = 0.735 s
�2
2Ą
T3 := T3 = 0.311 s
�3
2Ą
T4 := T4 = 0.159 s
�4
14
�
9. Wyznaczenie amplitud drgań własnych ( =2.75): ORIGIN := 1
9.1.Pierwsza postać:
A1 = 1
EI
�ł �ł �ł łł
A2�"0.396 � 22500 + A3�"0.329 � 36000 + A4�"0.164 � 49500 = -�ł9000 - �ł
�ł śł
�ł �ł
m1�"�12
�ł śł
�ł łł
�ł śł
EI
�ł �ł
�ł śł
A2�ł0.396 � 72000 - �ł + A3�"0.329 � 126000 + A4�"0.164 � 180000 = -22500
�ł śł
�ł �ł
m1�"�12
�ł łł
�ł śł
�ł śł
EI
�ł �ł
�ł + A4�"0.164 � 364500 = -36000
�łA2�"0.396 � 126000 + A3�ł0.329 � 243000 - śł
�ł �ł
m1�"�12
�ł śł
�ł łł
�ł śł
�ł
�łA2�"0.396 � 180000 + A3�"0.329 � 364500 + A4�ł0.164 � 576000 - EI �ł = -49500śł
�ł
�ł śł
�ł �ł
m1�"�12
�ł �ł łł �ł
0.396 � 22500 0.329 � 36000 0.164 � 49500
�ł łł
�ł�ł śł
E�"I 1
�ł
�ł�ł0.396 � 72000 - �" �ł 0.329 � 126000 0.164 � 180000śł
�ł�ł �ł śł
m1�"�12 m3
Bw1 :=
łł
�ł�ł śł
�ł �ł0.329 � 243000 - E�"I �" 1 �ł śł
0.396 � 126000 �ł �ł 0.164 � 364500
�ł śł
�ł �ł
m1�"�12 m3
�ł �ł łł �ł
�ł-�ł9000 - E�"I �" 1 �ł łł
�ł
�ł
�ł śł
3.5
�ł �ł
�ł �ł
m1�"�12 m3
�ł �ł
�ł śł
�ł łł
Cw1 := Aw1 := Bw1- 1�"Cw1 Aw1 = 6.7
�ł �ł
�ł śł
-22500
�ł10.2 �ł
�ł śł
�ł łł
-36000
�ł �ł
9.2.Druga postać:
A1 = 1
EI
�ł �ł �ł łł
A2�"0.396 � 22500 + A3�"0.329 � 36000 + A4�"0.164 � 49500 = -�ł9000 - �ł
�ł śł
�ł �ł
m1�"�22
�ł śł
�ł łł
�ł śł
EI
�ł �ł
�ł śł
A2�ł0.396 � 72000 - �ł + A3�"0.329 � 126000 + A4�"0.164 � 180000 = -22500
�ł śł
�ł �ł
m1�"�22
�ł łł
�ł śł
�ł śł
EI
�ł �ł
�ł + A4�"0.164 � 364500 = -36000
�łA2�"0.396 � 126000 + A3�ł0.329 � 243000 - śł
�ł �ł
m1�"�22
�ł śł
�ł łł
�ł śł
�ł
�łA2�"0.396 � 180000 + A3�"0.329 � 364500 + A4�ł0.164 � 576000 - EI �ł = -49500śł
�ł
�ł śł
�ł �ł
m1�"�22
�ł �ł łł �ł
15
0.396 � 22500 0.329 � 36000 0.164 � 49500
�ł łł
�ł�ł śł
E�"I 1
�ł
�ł�ł0.396 � 72000 - �" �ł 0.329 � 126000 0.164 � 180000śł
�ł�ł �ł śł
m1�"�22 m3
Bw2 :=
łł
�ł�ł śł
�ł �ł0.329 � 243000 - E�"I �" 1 �ł śł
0.396 � 126000 �ł �ł 0.164 � 364500
�ł śł
�ł �ł
m1�"�22 m3
�ł �ł łł �ł
�ł-�ł9000 - E�"I �" 1 �ł łł
�ł
�ł
�ł śł
1.5
�ł �ł
�ł �ł
m1�"�22 m3
�ł �ł
�ł śł
�ł łł
Cw2 := Aw2 := Bw2- 1�"Cw2 Aw2 = 0.3
�ł �ł
�ł śł
-22500
�ł-2.2 �ł
�ł śł
�ł łł
-36000
�ł �ł
9.3.Trzecia postać:
A1 = 1
EI
�ł �ł �ł łł
A2�"0.396 � 22500 + A3�"0.329 � 36000 + A4�"0.164 � 49500 = -�ł9000 - �ł
�ł śł
�ł �ł
m1�"�32
�ł śł
�ł łł
�ł śł
EI
�ł �ł
�ł śł
A2�ł0.396 � 72000 - �ł + A3�"0.329 � 126000 + A4�"0.164 � 180000 = -22500
�ł śł
�ł �ł
m1�"�32
�ł łł
�ł śł
�ł śł
EI
�ł �ł
�ł + A4�"0.164 � 364500 = -36000
�łA2�"0.396 � 126000 + A3�ł0.329 � 243000 - śł
�ł �ł
m1�"�32
�ł śł
�ł łł
�ł śł
�ł
�łA2�"0.396 � 180000 + A3�"0.329 � 364500 + A4�ł0.164 � 576000 - EI �ł = -49500śł
�ł
�ł śł
�ł �ł
m1�"�32
�ł �ł łł �ł
0.396 � 22500 0.329 � 36000 0.164 � 49500
�ł łł
�ł�ł śł
E�"I 1
�ł
�ł�ł0.396 � 72000 - �" �ł 0.329 � 126000 0.164 � 180000śł
�ł�ł �ł śł
m1�"�32 m3
Bw3 :=
łł
�ł�ł śł
�ł �ł0.329 � 243000 - E�"I �" 1 �ł śł
0.396 � 126000 �ł �ł 0.164 � 364500
�ł śł
�ł �ł
m1�"�32 m3
�ł �ł łł �ł
�ł-�ł9000 - E�"I �" 1 �ł łł
�ł
�ł
�ł śł
�ł-0.6 �ł
�ł �ł
m1�"�32 m3
�ł �ł
�ł śł
�ł łł
Cw3 := Aw3 := Bw3- 1�"Cw3 Aw3 =
�ł-1.2 �ł
�ł śł
-22500
�ł �ł
�ł śł
1.5
�ł łł
-36000
�ł �ł
16
9.4.Czwarta postać:
A1 = 1
EI
�ł �ł �ł łł
A2�"0.396 � 22500 + A3�"0.329 � 36000 + A4�"0.164 � 49500 = -�ł9000 - �ł
�ł śł
�ł �ł
m1�"�42
�ł śł
�ł łł
�ł śł
EI
�ł �ł
�ł śł
A2�ł0.396 � 72000 - �ł + A3�"0.329 � 126000 + A4�"0.164 � 180000 = -22500
�ł śł
�ł �ł
m1�"�42
�ł łł
�ł śł
�ł śł
EI
�ł �ł
�ł + A4�"0.164 � 364500 = -36000
�łA2�"0.396 � 126000 + A3�ł0.329 � 243000 - śł
�ł �ł
m1�"�42
�ł śł
�ł łł
�ł śł
EI
�ł �ł
�ł śł
A2�"0.396 � 180000 + A3�"0.329 � 364500 + A4�ł0.164 � 576000 - �ł = -49500
�ł śł
�ł �ł
m1�"�42
�ł �ł łł �ł
0.396 � 22500 0.329 � 36000 0.164 � 49500
�ł łł
�ł�ł śł
E�"I 1
�ł
�ł�ł0.396 � 72000 - �" �ł 0.329 � 126000 0.164 � 180000śł
�ł�ł �ł śł
m1�"�42 m3
Bw4 :=
łł
�ł�ł śł
�ł �ł0.329 � 243000 - E�"I �" 1 �ł śł
0.396 � 126000 �ł �ł 0.164 � 364500
�ł śł
�ł �ł
m1�"�42 m3
�ł �ł łł �ł
�ł-�ł9000 - E�"I �" 1 �ł łł
�ł
�ł
�ł śł
�ł-3.2 �ł
�ł �ł
m1�"�42 m3
�ł �ł
�ł śł
�ł łł
Cw4 := Aw4 := Bw4- 1�"Cw4 Aw4 = 3.1
�ł �ł
�ł śł
-22500
�ł �ł
�ł śł
-2
�ł łł
-36000
�ł �ł
9.5.Macierz amplitud:
�ł1 Aw11 Aw12 Aw13 �ł
�ł �ł
�ł1 3.466 6.704 10.215 �ł
�ł1 Aw2 Aw2 Aw2 �ł
�ł �ł
�ł �ł
1 2 3
�ł1 1.54 0.26 -2.2 �ł
Amp := Amp =
�ł �ł
�ł �ł
1 -0.577 -1.236 1.503
�ł1 Aw31 Aw32 Aw33 �ł
�ł1 -3.249 3.08 -1.99 �ł
�ł �ł
�ł łł
�ł1 Aw41 Aw42 Aw43 �ł
�ł łł
17
�
10. Wyznaczenie współczynnika działania porywów wiatru ( =2.75):
10.1.Współczynnik wartości szczytowej obcią\
enia:
1
n := �"s n = 0.269
T1
0.577
�ł �ł
� := min 2�"ln(600�"n) + , 4 � = 3.37
�ł �ł
2�"ln(600�"n)
�ł łł
10.2.Współczynnik chropowatości terenu:
rch := 0.08 - dla terenu A
10.3.Współczynnik ekspozycji:
Ce := Ce5 Ce = 1.98 - rodzaj terenu A, h=120m
10.4.Współczynnik oddziaływania turbulentnego:
L := Dz L = 4.046 m - szerokość budowli
H := h H = 120m - wysokość budowli
L
� := � = 0.034
H
0.042 � � - 1.29
A := - B := - C := 2.29 - 0.12�"� +
28.8�"� + 1 2.65�"� + 0.24 24.5�"� + 3.48
A = -0.021 B = -0.102 C = 1.994
2
H H
�ł �ł �ł �ł
kb := A�"ln + B�"ln + C kb = 1.016
�ł �ł �ł �ł
m m
�ł łł �ł łł
10.5.Współczynnik kr:
Współczynnik zmniejszający oddziaływanie rezonansowe porywów ze względu na rozmiary
budowli:
Vk := 20 - charakterystyczna prędkość wiatru
VH := Vk�" Ce
Ą 1 1
�ł �ł�"�ł �ł
KL := �" KL = 0.186
�ł �ł �ł �ł
3 H L
�ł �ł �ł �ł
8�"n�" 10�"n�"
m m
�ł �ł �ł �ł
1 + 1 +
�ł �ł �ł �ł
3�"VH VH
�ł łł �ł łł
Współczynnik energii porywów o częstościach rezonansowych:
1200�"n
x2
x :=
K0 = 0.194
VH K0 :=
4
3
( )
1 + x2
18
Logarytmiczny dekrement tłumienia:
" := 0.02 + 0.02 " = 0.04 - komin stalowy + dodatek na wykładzinę
2Ą�"KL�"K0
kr := kr = 5.675
"
rch
� := 1 + ��" �" + kr � = 2.752
(k )
Ce b
11. Drgania wymuszone:
Ya = P�"sin(wt) P := 20kN w := 30Hz
1
�ł �ł �ł łł
B1�ł�11 - �ł + B2�"�12 + B3�"�13 + B4�"�14 + "1P = 0
�ł śł
�ł �ł
m1w2
�ł śł
�ł łł
�ł śł
�ł
�łB1�"�21 + B2�"�ł�22 - 1 �ł + B3�"�23 + B4�"�24 + "2P = 0śł
�ł
�ł śł
�ł �ł
m2w2
�ł łł
�ł śł
�ł śł
1
�ł �ł
+ B2�"�32 + B3�"�ł�33 - �ł + B4�"�34 + "3P = 0
�łB1�"�31 śł
�ł �ł
m3w2
�ł śł
�ł łł
�ł śł
�ł
�łB1�"�41 + B2�"�42 + B3�"�43 + B4�"�ł�44 - 1 �ł + "4P = 0śł
�ł
�ł śł
�ł �ł
m4 w2
�ł �ł łł �ł
m4
1
m3 30
1
P*sin(wt)
18 48
1
m2 12 Mx M1 1 M2 30 M3 60 M4
m1 42 30 60 90
1
m0 60 30 60 90 120
EI�11 = 9000 EI�14 = 49500 �21 = �12
EI�22 = 72000 EI�23 = 126000 �31 = �13
EI�33 = 243000 EI�24 = 180000 �41 = �14
EI�44 = 576000 EI�34 = 364500 �32 = �23
EI�12 = 22500 �42 = �24
�43 = �34
EI�13 = 36000
19
42
18
30
x=72
30
30
30
30
30
1
EI�1x := �"302�"18 + 0.5�"302�"42 EI�1x = 24300
3
1 1 1
EI�2x := �"302�"18 + 0.5�"30�"18�"30 + 0.5�"302�"42 + 302�"42 + �"303 + �"302�"12
3 3 2
EI�2x = 84600
1 1
EI�3x := �"302�"18 + 0.5�"30�"18�"60 + 0.5�"30�"30�"42 + 30�"60�"42 + �"303 + 0.5�"303 ...
3 3
1
+ 0.5�"302�"12 + 30�"30�"12 + �"123 + 0.5�"12�"12�"18
3
EI�3x = 156672
1 1
EI�4x := �"302�"18 + 0.5�"30�"18�"90 + 0.5�"30�"30�"42 + 30�"90�"42 + �"303 + 0.5�"302�"60 ...
3 3
1
+ 0.5�"302�"12 + 30�"60�"12 + �"123 + 0.5�"12�"12�"48
3
EI�4x = 229032
EI"1P := P�"EI�1x EI"1P = 486000 kN
EI"2P := P�"EI�2x EI"2P = 1692000 kN
EI"3P := P�"EI�3x EI"3P = 3133440 kN
EI"4P := P�"EI�4x EI"4P = 4580640 kN
Układ równań po wstawieniu przemieszczeń, przeno\
eniu przez EI:
E�"I
�ł �ł �ł łł
B1�ł9000 - �ł + B2�"22500 + B3�"36000 + B4�"49500 + 486000 = 0
�ł śł
�ł �ł
m1w2
�ł śł
�ł łł
�ł śł
E�"I
�ł �ł
�ł śł
B1�"22500 + B2�"�ł72000 - �ł + B3�"126000 + B4�"180000 + 1692000 = 0
�ł śł
�ł �ł
m2w2
�ł łł
�ł śł
�ł śł
E�"I
�ł �ł
�ł + B4�"364500 + 3133440 = 0
�łB1�"36000 + B2�"126000 + B3�"�ł243000 - śł
�ł �ł
m3w2
�ł śł
�ł łł
�ł śł
�ł
�łB1�"49500 + B2�"180000 + B3�"364500 + B4�"�ł576000 - E�"I �ł + 4580640 = 0śł
�ł
�ł śł
�ł �ł
m4 w2
�ł �ł łł �ł
E�"I E�"I
9000m3 - = 8356 m3 243000m3 - = 241043 m3
m1 w2 m3 w2
E�"I E�"I
72000m3 - = 70375 m3 576000m3 - = 572086 m3
m2 w2 m4 w2
20
B1�"8356 + B2�"22500 + B3�"36000 + B4�"49500 = -486000
�ł �ł
�ł �ł
B1�"22500 + B2�"70375 + B3�"126000 + B4�"180000 = -1692000
�ł �ł
�ł �ł
1�"36000 + B2�"126000 + B3�"241043 + B4�"364500 = -3133440
�łB �ł
�łB �ł
1�"49500 + B2�"180000 + B3�"364500 + B4�"572086 = -4580640
�ł łł
8356 22500 36000 49500 -486000
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł22500 70375 126000 180000 �ł �ł-1692000 �ł
A := C :=
�ł �ł �ł �ł
36000 126000 241043 364500 -3133440
�ł49500 180000 364500 572086 �ł �ł-4580640 �ł
�ł łł �ł łł
Siły bezwładności: Sprawdzenie:
15.9 -486000
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
-8.1
�ł �ł �ł-1692000 �ł
Bsb := A- 1�"C Bsb = A�"Bsb =
�ł �ł �ł �ł
-22.1 -3133440
�ł �ł �ł-4580640 �ł
7.2
�ł łł �ł łł
12. Spektrum odpowiedzi:
12.1.Wektor sił pionowych:
�łm1 �ł
�ł2041.1 �ł
�ł �ł
�ł �ł
�łm2 �ł
808.3
�ł �ł
Q := �"g Q = kN
�ł �ł
�ł �ł
671.3
3
�łm �ł
�ł �ł
�łm �ł
335.7
�ł łł
4
�ł łł
12.2.Macierze współczynników drgań:
K1 := for i" 1 .. 4
�ł20849.215 �ł
�ł �ł
for j " 1 .. 4
�ł-1778.528 �ł
K1 = kN
�ł �ł
1009.3
K1i , 1 �! Qi�"Amp
i , j
�ł �ł
-667.991
�ł łł
K2 := for i" 1 .. 4
�ł20849.215 �ł
�ł �ł
5779.067
for j " 1 .. 4
�ł �ł
K2 = kN
�ł �ł
3108.674
�łAmpT�ł
K2i , 1 �! Qi�"Amp �"
�ł �ł
�ł łłi , j
i , j
1329.327
�ł łł
1 3.466 6.704 10.215
� := for i" 1 .. 4
�ł �ł
�ł �ł
for j " 1.. 4
�ł-0.308 -0.474 -0.08 0.677 �ł
� =
�ł �ł
0.325 -0.187 -0.401 0.488
K1i , 1
�i , j �! Amp �"
�ł-0.503 1.633 -1.548 1 �ł
i , j K2i , 1
�ł łł
21
12.3.Przyśpieszone spektrum odpowiedzi:
0.3�"�1
�ł �ł
�ł0.508 �ł
�ł �ł
�ł �ł
0.2�"�1 + 0.1�"�2
�ł �ł
m m
�ł1.193 �ł
Sa := �" Sa =
�ł �ł
�ł �ł
s
1.799
1 s2
�ł0.2�"� + 0.1�"�2 + 0.03�"�3 �ł
�ł0.169 �ł
�ł �ł
�ł łł
0.1�"�1
�ł łł
P := for i" 1 .. 4
�ł105.683 145.044 233.02 177.534 �ł
�ł �ł
for j " 1.. 4
�ł-76.417 -46.594 -6.529 27.652 �ł
P = kN
�ł �ł
121.548 -27.774 -49.426 30.052
Sai
Pi , j �! Qj�"�i , j�"
�ł-17.702 22.779 -17.933 5.793 �ł
g
�ł łł
12.4.Zsumowanie wartości sił bezwładności od postaci drgań na poszczególnych
kierunkach mas skupionych:
B := for i" 1.. 4
�ł343.5 �ł
�ł �ł
93.9
for j " 1 .. 4
�ł �ł
B = kN
�ł �ł
137.4
4
�ł �ł
Bi , 1 �! Pi , j
( )2
34.5
�ł łł
"
j = 1
13. Wymiarowanie fundamentu:
13.1.Siły przekrojowe:
Mmax.w := 44971.98kN�"m - moment od wiatru
Mmax.sb := 5256.0kN�"m
- moment od sił bezwładności
Mmax.sp := 32445.0kN�"m
- moment od spektrum odpowiedzi
Mmax := Mmax.w + Mmax.sb + Mmax.sp
Mmax = 82673 kN�"m
- siła tnąca od wiatru
Tmax.w := 675.545kN
Tmax.sb := Bsb kN + Bsb �"kN + Bsb �"kN + Bsb �"kN + 20kN
1 2 3 4
Tmax.sb = 73.3kN - siła tnąca od sił bezwładności
Tmax.sp := B1 + B2 + B3 + B4
Tmax.sp = 609.4kN - siła tnąca od spektrum odpowiedzi
Tmax := Tmax.w + Tmax.sb + Tmax.sp
Tmax = 1358.2 kN
22
Nmax.podst := Nstal + Nwykł Nmax.podst = 4973.1 kN
kN
ł\
:= 25
m3
azał := 14m - zało\
ona szerokość fundamentu
hzał := 2m - zało\
ona wysokość fundamentu
Nfund := azał2�"hzał�"ł\
Nfund = 9800 kN
Nmax := Nmax.podst + Nfund Nmax = 14773.1kN
13.2.Sprawdzenie warunku równowagi:
azał
Nmax�" - Mmax - Tmax�"hzał = 18022.1kN�"m
2
azał
WARUNEK SPEA
NIONY
Nmax�" - Mmax - Tmax�"hzał e" 0 = 1
2
23
wa stali St3S (1624
Dz = 4.05 m
25
26
223524.0�"x3 + 2.159436672e9�"x2 - 3.361166830152e12�"x + 9.947188163745e14
27
9.947188163745e14
28
29
30
31
32
211923.0�"x23 + 1.981344807e9�"x22 - 2.988139571352e12�"x2 + 8.49878262387e14
33
8.49878262387e14
34
35
36
37
38
39