P P
"l
l
N=P
l
N
l
A
N l
Prawo Hooke a
l
E A
E
Stałe sprężyste
" Moduł Younga E
F F
"l
l
F l
E ; ;
wzdl
A l
Liczba Poissona
poprzeczne
d
poprzeczne
wzdl
d
0 0,5 dla stali 0,3
Próby wytrzymałościowe
1) Próba rozciągania
F
F
 Siła maksymalna
koniec
zakresu
sprężystego
zerwanie
pojawia się tzw.
 szyjka
 miękka (ciągliwa) stal Pierwotna długość
Odkształcenie trwałe
płynięcie materiału
Długość po zerwaniu
średnica początkowa
Wydłużenie próbki "l
Zmiana średnicy Średnica po zerwaniu
siła
Wykres rozciągania stali miękkiej
F
;
A
l
wzdl
l
Wytrzymałość na rozciąganie
Fm
Rm
A
Wyraz
na granica plastyczności
Fe
Re
A
A  pole poczatkowego przekroju
L  długość poczatkowa
Materiały  kruche
Umowna granica plastyczności
Re0,2 
umowna
granica
plastycznosci
Odkształcenie względne � %
0,2%
Naprężenie
Próby ściskania
Wytrzymałość na ściskanie - Rc
Dla stali Rc=Rm
Dla żeliwa Rc=5-10 Rm
Dla betonu Rc=10-kilkadziesiąt Rm
Naprężenia dopuszczalne
niebezpiec zne
kdop
n
n  współczynnik bezpieczeństwa n>1
????
niebezpieczne
Rm
kdop
n1
Re
kdop
n2
Warunek wytrzymałościowy
kdop
max
Zasada de Saint  Venanta  układy równoważne
Zasada superpozycji
Przykład
Pręt utwierdzony o stałym polu przekroju poprzecznego A i module Younga E
a a
2a
= +
P P
a a
1 2 1 2
P
P
Pa 2Pa 3Pa
l
EA EA EA
Przykład obliczeń
Pa P2a
wydłużenie
l1 ; l2
EA EA
l l1 l2
Czyste ścinanie
- kąt odkształcenia postaciowego
- naprężenie styczne
Prawo Hooke a dla ścinania
(MPa)
G
(MPa)
(rad)
Stała sprężysta G  moduł odkształcenia postaciowego (moduł Kirchhoffa)
Stała sprężysta E  moduł Younga
E
G
2(1 )
Stała sprężysta  liczba Poissona
Dla stali G=8�104 MPa
Uogólnione prawo Hooke a
z
z
x
Dane , , ,
x y z
Znane E,
=?
y y x
=?
y
x
y
=?
z
x
z
z
z z
z
x
+
+
y y
x
y
y y
x x
x
z
 I
 II
 III
z
x Zgodnie z prawem Hooke a
 I
dla jednokierunkowego rozciągania
" I"
y
x " II"
x
y
x
E
E
y
" III"
z
x
z
E
z
 II
Odkształcenia w kierunkach poprzecznych do
y y
kierunku rozciągania
y
Dla stanu  I
" I" " I" " I"
x x
y z x
E
z
Dla stanu  II
z
y
" II" " II" " II"
x z y
E
 III
y Dla stanu  III
" III" " III" " III"
z
x x y z
E
z
Zgodnie z zasadą superpozycji
" I" " II" " III"
W takim razie
y
x z
x
E E E
y
z x
Uogólnione prawo Hooke a
y
E E E
y
z x
z
E E E
Względna zmiana objętości sześcianu o boku równym 1
(1 )(1 )(1 ) 1
V
x y z
V 1
1 1
x y z x y x z y z x y z
Po pominięciu wielkości małych drugiego i trzeciego rzędu
V
x y z
V
V 1 2
( )
x y z
V E
V
0 0,5
V
Przykład
Sześcian o boku a wstawiono (bez luzu i bez wcisku) do nieodkształcalnego rowka
o szerokości a i następnie ogrzano o "T. Obliczyć względną zmianę objętości sześcianu,
jeśli znane są E, , - współczynnik rozszerzalności liniowej.
z
"T
y
z
x
y
y
x
z
Odkształcenia termiczne
t t t
R
R
a a a a T
x y z
y
ay 0
y R
; 0
y x z
R a2
R
R
y
mech
;
y
x
E
a2E
R
y
mech mech
;
x z
E
a2E
mech t
ay 0 a a E T
y y y
V
2(1 ) T
V