Zbigniew Semadeni

Zbigniew Semadeni

Edukacja matematyczna w

Edukacja matematyczna w

nowej podstawie

nowej podstawie

programowej nauczania

programowej nauczania

początkowego

początkowego

Dlaczego w 2008 r. zmieniono podstawy programowe z matematyki?

Dlaczego w 2008 r. zmieniono podstawy programowe z matematyki?

Przyczyn zmian jest wiele. Wymienimy najważniejsze:

Przyczyn zmian jest wiele. Wymienimy najważniejsze:

1) upowszechnienie szkolnictwa ogólnokształcącego po 1999,

1) upowszechnienie szkolnictwa ogólnokształcącego po 1999,

2) wprowadzenie obowiązkowej matury z matematyki od 2010,

2) wprowadzenie obowiązkowej matury z matematyki od 2010,

3) potrzeba zwiększenia różnorodności oferty szkolnej w gimnazjum i liceum,

3) potrzeba zwiększenia różnorodności oferty szkolnej w gimnazjum i liceum,

4) projektowane obniżenie wieku szkolnego,

4) projektowane obniżenie wieku szkolnego,

5) projektowane skrócenie kształcenia ogólnego o 1 rok.

5) projektowane skrócenie kształcenia ogólnego o 1 rok.

Dlaczego MEN dąży do obniżenia wieku szkolnego?

Dlaczego MEN dąży do obniżenia wieku szkolnego?

Powodów, dla których należy obniżyć wiek szkolny,
jest wiele.

Dla mnie najważniejszym jest konieczność
upowszechnienia wychowania przedszkolnego,
zwłaszcza 5-latków. W tej chwili jesteśmy pod tym
względem na szarym końcu w Unii Europejskiej. W
Polsce w co czwartej gminie nie ma ani jednego
przedszkola na całą gminę, a nawet w Warszawie
wielu rodzicom nie udaje się znależć miejsca dla ich
dziecka w przedszkolu. Dzieci te już na starcie mają
gorsze szanse edukacyjne, gorsze szanse na dobre
wyniki w szkole i gorsze szanse później w życiu.

Jeśli chcemy obniżyć wiek szkolny, to ze

Jeśli chcemy obniżyć wiek szkolny, to ze

względów demograficznych najlepszy moment.

względów demograficznych najlepszy moment.

Jakie zmiany w podstawach programowych są

Jakie zmiany w podstawach programowych są

wynikiem projektowanego obniżenia wieku

wynikiem projektowanego obniżenia wieku

szkolnego?

szkolnego?

W wielkim uproszczeniu można przyjąć, że

W wielkim uproszczeniu można przyjąć, że

nową klasę I należy uważać za dawnę klasę

nową klasę I należy uważać za dawnę klasę

zerową, nową klasę II za dawną klasę I,

zerową, nową klasę II za dawną klasę I,

nową klasę IV za dawną klasę III itd.

nową klasę IV za dawną klasę III itd.

Autorzy i wydawcy będą musieli zwracać uwagę, by

podręcznik dla pierwszej klasy nowego etapu

edukacyjnego (a więc w szczególności dla klasy IV)

był nie tylko zgodny z podstawą danego etapu

edukacyjnego, ale też z podstawą etapu

poprzedniego, tzn. by podręcznik nie zakładał u

uczniów żadnej wcześniejszej wiedzy, której nie ma

w podstawach.

W podstawach jest wyraźnie powiedziane, że dla

zapewnienia ciągłości wychowania i kształcenia,

nauczyciele uczący w klasie I szkoły podstawowej

obo wiązani są znać Podstawę programową

wychowania przedszkolnego. Dodam, że nauczyciel

klasy III powinien znać podstawę klas IV-VI,

zarówno po to, by lepiej wiedzieć, czego się wymaga

od ucznia kończącego klasę III, jak i po to, by

zorientować się, czego nie potrzeba teraz uczyć,

bowiem będzie to poźniej.

Każdy nauczyciel klasy rozpoczynającej kolejny etap
edukacji powinien znać podstawy poprzedniego
etapu (np. nauczyciel klasy IV powinien dobrze
wiedzieć, czego podstawy wymagają od ucznia
kończącego klasę III) i odpowiednio do tego
dostosować nauczanie.

Matematyka jest w tej szczególnej sytuacji wśród
przedmiotów nauczania, że częściowej korekty
podstaw programowych dokonano już w sierpniu
2007 roku. Bezpośrednią przyczyną była decyzja o
obowiązkowej maturze z matematyki i związana z
tym konieczność modyfikacji podstaw
programowych. Jednakże MEN, oczekując wtedy
rychłego obniżenia wieku szkolnego, przesunął
zarazem część materiału z klas I-III do IV-VI. Teraz
to zostało jeszcze dopracowane i ulepszone.

Pomimo niezbędnego podziału edukacji na kolejne
szczeble, należy podkreślić koncepcyjną spójność
całej edukacji matematycznej. Podstawy
programowe wychowania przedszkolnego i nauczania
początkowego opracowywały te same osoby i
pomyślane to zostało jako jedna całość. Również
pewne osoby pracowały zarówno nad podstawami dla
klas I-III, jak i nad podstawami z matematyki dla klas
IV-VI i dalszych. W efekcie stanowią one
konsekwentny ciąg, od przedszkola po maturę.

Dlaczego w podstawach nie mówi się nic o liczbie godzin

przewidzianych na matematykę?

Wynika to ze względów formalno-prawnych. Dokument
dotyczący podstaw nie zawiera siatki godzin, którą
MEN ogłasza w innym dokumencie.
W projekcie podstaw edukacji początkowej z czerwca
2008 ustalono następujący sposób zagospodarowania
czasu edukacyjnego. Przyjęto, że wymiar czasu
edukacyjnego wynosi 25 godzin szkolnych w rozliczeniu
tygodniowym dla każdego roku szkolnej edukacji. Z
tego na kolejne zakresy kształcenia przeznaczono
odpowiednio:

edukacja polonistyczna 5/25,
język obcy 2/25,
edukacja matematyczna 4/25,
edukacja przyrodnicza 1/25,
edukacja społeczna 1/25,
edukacja plastyczna i medialna 1/25,
edukacja muzyczna 1/25,
edukacja techniczna 1/25,
wychowanie fizyczne 4/25,
zajęcia komputerowe 1/25,
religia/etyka 2/25.

Pozostają jeszcze 2/25 czasu edukacyjnego, które

można przeznaczyć na rozwijanie zainteresowań i

uzdolnień.

Należy bardzo wyraźnie podkreślić, że np. ułamek

4/25 na edukację matematyczną nie oznacza 4

lekcji matematyki tygodniowo. Nauczyciel może

ten czas podzielić inaczej. Powinno jednak w każdym

tygodniu być łącznie 4 razy 45 minut, czyli ok. 180

minut na zajęcia, których głównym, wiodącym celem

jest edukacja matematyczna, a wszelkie inne elementy

(językowe, ruchowe itd.) mają pełnić rolę służebną.

Integracja – wbrew temu, co dało się słyszyć tu i
ówdzie – nie oznacza bynajmniej, że nauczyciel,
bądź podręcznik mają mieszać różne treści z
matematyki, polskiego, przyrody.

Dziecko nie ma podzielnej uwagi, nie może uczyć się

dwóch rzeczy na raz, np. uczyć się o lesie

równocześnie z uczeniem się rachowania Zostanie w

jego umyśle to, co jest atrakcyjniejsze, w co bardziej

dziecko silniej zaangażuje się emocjonalnie, a z tego,

co jest istotne matematycznie, może wszystko ulecieć,

nie zostanie nic w umyśle dziecka.

Konieczne jest więc wyodrębnianie pewnych

zajęć poświęconych edukacji matematycznej, w

czasie których można wykorzystywać wiedzę uczniów

np. z przyrody, a nawet ją nieco poszerzać,

pamiętając, że ma to wspomagać matematykę, a nie

być drugim celem lekcji.

Można wykorzystywać umiejętność czytania prostych

tekstów, ale jeśli jakiś fragment jest trudniejszy,

nauczyciel powinien sam go przeczytać, aby nie

przerywać toku wątku matematycznego wyjaśnieniami

dotyczącymi samego czytania.

Kwestię integrowania edukacji matematycznej należy
rozumieć inaczej: to, czego dziecko uczy się z
matematyki, musi być sensownie powiązane z
konkretnymi problemami, zrozumiałymi dla
niego, sensownych z punktu widzenia świata
dziecka.

Zadania powinny być tak formułowane, by dziecko

mogło widzieć, że obliczenia, które wykonuje, mogą

komuś do czegoś służyć, nie są jakimś

niezrozumiałym wymaganiem. Również każda reguła,

którą się formułuje, powinna być w naturalny sposób

osadzona w obliczeniach wykonanywych przez

uczniów.

Czym różni się obecne rozumienie, czym są podstawy

Czym różni się obecne rozumienie, czym są podstawy

programowe, od tego, które przyjęto w 1999 roku?

programowe, od tego, które przyjęto w 1999 roku?

Najważniejszą zmianą jest to, że p

odstawa

odstawa

programowa to zapis tego, czego państwo polskie

programowa to zapis tego, czego państwo polskie

zobowiązuje się nauczyć przeciętnie uzdolnionego

zobowiązuje się nauczyć przeciętnie uzdolnionego

ucznia. Innymi słowy,

ucznia. Innymi słowy, nowe podstawy określają to, co

powinien umieć uczeń. Oczywiście nie każdy uczeń,

to byłoby nierealne, ale przeciętnie uzdolniony. Tak

więc podstawy nie opisują tego, co ma być

przerabiane na lekcjach, lecz to, czego uczeń ma być

nauczony, a ściślej: czego będzie się od niego

wymagać.

Dotychczasowe podstawowy programowe regulowały

zakres procesu kształcenia. Natomiast nowe

podstawowy nie dotyczą tego, co ma być na lekcjach,

ani jakie metody nauczyciel ma stosować. Podstawy

mają regulować efekty kształcenia.

Dotąd obowiązywały dwa różne dokumenty: podstawy

(określające, co ma być obowiązkowo znaleźć się w

programach szkolnych) i standardy (określające

wiedzę wymagana na zakończenie danego etapu

edukacyjnego. Dokumenty te były opracowane przez

różne grupy ludzi, a niezgodności między nimi były

zasadnie krytykowane.

Teraz standardy będą identyczne z nowymi

podstawami.

Np.

podstawy dla edukacji początkowej określają

podstawy dla edukacji początkowej określają

minimalną wiedzę i minimalne umiejętności, jakie

minimalną wiedzę i minimalne umiejętności, jakie

powinien posiadać uczeń przechodzący z klasy III do

powinien posiadać uczeń przechodzący z klasy III do

IV.

IV.

Czy nadal będą obowiązywać jakieś programy

nauczania?

Jest oczywiste, że każdy nauczyciel musi prowadzić

lekcje według jakiegoś programu. Do roku 1999 w

każdej klasie, z każdego przedmiotu obowiązywał

jednakowy dla całej Polski program nauczania,

opracowany centralnie i zatwierdzony przez

ministra. Począwszy od roku 1999 MEN

opracowuje jedynie podstawy programowe

(stanowiące pewien trzon niezbędnej wiedzy);

dopuszcza się możliwość istnienia wielu

programów, napisanych przez różne osoby,

różniących się koncepcją dydaktyczną, układem

materiału i wieloma innymi szczegółami. Wszystkie

muszą jednak być zgodne z podstawą programową.

Podstawy określają zakres wiedzy i umiejętności
dla całego etapu edukacyjnego, nie dzieli się w
nich materiału na poszczególne klasy.

Co ma być w poszczególnych klasach, ustalają

autorzy programów i podręczników.

Tak było od 1999 roku, tak będzie nadal. Jedynym

wyjątkiem jest nowa klasa I; jej wydzielenie ma

chronić 6-latki przed nadmiernymi wymaganiami.

Najczęściej programy opracowywują wydawnictwa,

dołączając je do swych podręczników. Część

programów uzyskuje formalną akceptację ministra i

te mogą być używane w każdej polskiej szkole; inne –

opracowane przez nauczycieli – są zatwierdzane

jedynie przez dyrektora szkoły do użytku w jednej lub

kilku klasach. Podręczniki z reguły stanowią

uszczegółowienie i konkretną propozycję realizacji

jakiegoś programu i w praktyce wielu nauczycielom

wystarcza trzymać się wybranego podręcznika

zatwierdzonego przez Ministerstwo Edukacji

Narodowej. MEN poddaje podręczniki ocenie

rzeczoznawców i zatwierdza się jedynie te, które

zostały pozytywnie ocenione i są zgodne z podstawą.

Wybór programu i podręcznika jest w gestii szkoły.

Czym różnią się nowe podstawy od dotychczasowych?

Najważniejsza jest zmiana tego, co rozumie się pod

Najważniejsza jest zmiana tego, co rozumie się pod

terminem “podstawa programowa”. Nie określa

terminem “podstawa programowa”. Nie określa

ona teraz tego, co ma być przerabiane na lekcjach,

ona teraz tego, co ma być przerabiane na lekcjach,

lecz to, co ma być

lecz to, co ma być

należycie opanowane

należycie opanowane

, czego się

, czego się

będzie wymagać od uczniów. Jednocześnie

będzie wymagać od uczniów. Jednocześnie

stworzone są mechanizmy, które pozwolą lepszym

stworzone są mechanizmy, które pozwolą lepszym

szkołom i lepszym uczniom osiągnąć wysoki

szkołom i lepszym uczniom osiągnąć wysoki

poziom. Pojedyncza szkoła lub klasa będzie mogła

poziom. Pojedyncza szkoła lub klasa będzie mogła

planować znacznie szerszy i bardziej

planować znacznie szerszy i bardziej

zaawansowany materiał. Podstawy

zaawansowany materiał. Podstawy określają

jedynie obowiązkowe minimum wiedzy

przeciętnego ucznia kończącego dany szczebel

edukacyjny tak, aby w następnym etapie

edukacyjnym nauczyciel wiedział, jaką wiedzę

powinien zakładać u swoich uczniów. Nauczyciel

ma więc prawo uczyć więcej, niż jest zapisane w

podstawach, ale nie kosztem tego, czego się będzie

wymagać.

Czym odróżniają się w podstawach wymagania ogólne od

wymagań szczegółowych?

Wymagania ogólne to cele kształcenia, natomiast

wymagania szczegółowe to treści nauczania

sformułowane jako oczekiwane umiejętności. Nie

używa się jednak słowa “umie” przy każdym

wymaganiu, pisze się np. “mierzy długość”, co należy

interpretować jako umiejętność wykonania danej

czynności – umysłowej lub manualnej – wymienionej

w podstawach.

Ponadto podstawy zawierają zadania szkoły na danym

etapie edukacyjnym, dotyczące realizacji tych

wymagań przez szkołę.

Czytając wymagania szczegółowe, należy pamiętać o
dwóch zasadach, które MEN przyjęło przy ich
redagowaniu:

Jeżeli jakieś wymaganie napisane znajduje się w

podstawach dla etapu n, to automatycznie jest też

wymagane na etapie n+1 (n=1,2,3).

Jeżeli jakieś wymaganie znajduje się w podstawach

dla etapu n+1, to automatycznie wynika stąd, że nie

jest to wymagane na etapie n.

Nie wynika stąd bynajmniej, że nauczyciel nie ma

powtarzać materiału. Powtórki są niezbędne, ale nie

ma to być przerabianie na wyższym etapie jeszcze

raz znów wszystkiego od początku.

Interpretując dowolne sformułowanie z podstaw,

należy stosować też zasadę:

(I) Jeżeli w podstawach zapisane jest jakieś

wymaganie A, to również wymaga się

wszystkiego, co w oczywisty sposób jest

niezbędne dla A.

Nie obejmuje to jednak wiedzy teoretycznej z nimi

związanej.

Dlaczego część wymagań w podstawach opisana jest

bardzo szczegółowo?

Podstawy z 1999 r. określały zakres treści nauczania
w sposób dość ogólny. Doświadczenie ostatnich 10
lat pokazało jednak wyraźnie, że ogólnikowe hasło
często prowadzi do zawyżania wymagań. M.in.
podane w podstawach hasło “zapis dziesiątkowy”
można interpretować na różnych poziomach
abstrakcji i nieraz podawano to uczniom zbyt
teoretycznie. Podobnie z haseł typu “dodawanie” lub
“dzielenie” nie wynikało, w jakim zakresie działania
te mają być przerabiane na lekcjach ani czego ma
się wymagać od ucznia. Dlatego obecnie wymagania
w nowych podstawach są sformułowane tak
dokładnie, jak to się dało zrobić, czasem nieraz
nawet przesadnie szczegółowo po to, aby przez
precyzyjne określenie treści chronić ucznia przez
interpretacją zawyżającą wymagania, by m.in.
próbować ograniczać tendencję do zbyt trudnych
podręczników. Nie zawsze jednak udało się to zrobić,
bywają nieostre wyrażenia, np. ,,w łatwych
przypadkach”.

Treści nauczania – klasa I szkoły podstawowej

1. Edukacja polonistyczna.
2. Język obcy nowożytny.
3. Edukacja muzyczna.
4. Edukacja plastyczna.
5. Edukacja społeczna.
6. Edukacja przyrodnicza.
7. Edukacja matematyczna.
8. Zajęcia komputerowe.
9. Zajęcia techniczne.
10. Wychowanie fizyczne.
11. Etyka.
Podstawy programowe są formułowane dla

poszczególnych szczebli edukacyjnych bez
podziału na klasy, jednakże dla klasy I szkoły
podstawowej opracowane zostały osobne
wymagania po to, aby chronić dzieci przed
możliwością stawiania im zawyżonych wymagań,
wynikających z przeniesienia zakresu materiału z
dotychczasowej klasy I do klasy dzieci o rok
młodszych.

Edukacja matematyczna – klasa I szkoły podstawowej

Nowe wymagania po I klasie są zbliżone do tych,

które dotąd były w ostatnim roku przedszkola lub

klasy zerowej. Dostosowane są do naturalnego

rozwoju dziecka.

Uczeń kończący klasę I:

w zakresie czynności umysłowych ważnych

dla uczenia się matematyki:

ustala równoliczność mimo obserwowanych

zmian w układzie elementów w porównywanych

zbiorach.

Aby wyjaśnić intencję tego punktu, opiszę

standardowe badanie, wykonywane przez

psychologów na całym świecie. Dziecku najpierw

pokazuje się dwa rządki po 10 żetonów, wyglądające

identyczne:

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

Następnym krokiem jest wprowadzenie

matematycznie nieistotnego przekształcenia, które

zakłóca wzrokową oczywistość równości, np.

elementy jednego z rządków zostają rozsunięte.

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

Dzieci starsze są pewne, że po tej zmianie nadal
jest tyle samo czerwonych żetonów co niebieskich.

Niektóre nawet reagują zdziwieniem: „Oczywiście,

że jest ich tyle samo! Po co Pani pyta?”.

Takie przekonanie, zwane stałościa liczby, jest

fundamentem, na którym opiera się większość

szkolnych rozumowań arytmetycznych.

Natomiast dzieci 5-letnie, spora część 6-latków, a

nawet jeszcze niektóre 7-latki odpowiadają, że

niebieskich żetonów jest więcej, nawet jeśli przed

chwilą liczyły kulki i stwierdziły, że jest ich po 10.

Badania psychologiczne pokazały, że jeżeli dziecko
nie dojrzało jeszcze do stałości liczby, to słowne
wyjaśnienia są nieskuteczne. Niezbędne jest
zbieranie doświadczeń przy przeliczaniu
przedmiotów w różnych sytuacjach, co skutkuje na
ogół dopiero po wielu miesiącach.

W każdym razie od 6-latków nie powinno się

wymagać niczego, do czego niezbędne jest

rozumienie stałości liczby.

Nie powinno się też wymagać żadnych operacji

umysłowych nie wywodzących się ze zrozumiałych

dla dzieci czynności na konkretach. Podane w

podstawach wymaganie stałości liczby dotyczy 7-

latków po rocznym uczęszczaniu do (nowej) klasy I.

Układa obiekty (np. patyczki) w serie rosnące i
malejące, numeruje je; wy biera obiekt w takiej
serii, określa następne i poprzednie.

To też – podobnie jak poprzednie wymaganie – wiąże

się ze znanymi badaniami J.Piageta dotyczącymi

rozwoju pojęć matematycznych u dzieci.

Klasyfikuje obiekty: tworzy kolekcje np.

zwierzęta, zabawki, rzeczy do ubrania.

To jest wstęp do bardziej abstrakcyjnych pojęć:

zbioru i klasy logicznej.

W sytuacjach trudnych i wymagających

wysiłku intelektualnego zachowuje się

rozumnie, dąży do wykonania zadania.

To wymaganie jest zupełnie innej natury, ale jest
kluczowe dla uczenia się. Nie można uczyć się,
zwłaszcza matematyki, nie pokonując trudności, ale
trzeba dążyć do ich pokonania. Oczywiście mają to
być trudności na miarę dziecka. Podobnym
pokonywaniem trudności jest np. sznurowanie butów.

Wyprowadza kierunki od siebie i innych osób;

określa położenie obiektów względem obranego

obiektu; orientuje się na kartce papieru, aby

odnaj do wać informacje (np. w lewym górnym

rogu), i rysować strzałki we właściwym kierunku.

Dostrzega symetrię (np. w rysunku motyla);

zauważa, że jedna figura jest powiększeniem lub

pomniejszeniem drugiej; kontynuuje regularny

wzór (np. szlaczek).

w zakresie liczenia i sprawności rachunkowych:

Sprawnie liczy obiekty (dostrzega regularności

dziesiątkowego systemu liczenia), wymienia

kolejne liczebniki od wybranej liczby, także

wspak (zakres do 20); zapisuje liczby cyframi

(zakres do 10).

Wyznacza sumy (dodaje) i różnice (odejmuje)

manipulując obiektami lub rachując na zbiorach

zastępczych, np. na palcach; sprawnie dodaje i

odejmuje w zakresie do 10, poprawnie zapisuje te

działania.

Radzi sobie w sytuacjach życiowych, których

pomyślne zakończenie wymaga dodawania lub

odejmowania.

Zapisuje rozwiązanie zadania z treścią

przedstawionego słownie w konkretnej sytuacji,

stosując zapis cyfrowy i znaki działań.

w zakresie pomiaru:

długości: mierzy długość posługując się np.

linijką; porównuje długości obiektów,

ciężaru: potrafi ważyć przedmioty; różnicuje

przedmioty cięższe, lżejsze; wie, że towar w

sklepie jest pakowany według wagi,

płynów: odmierza płyny kubkiem i miarką

litrową,

czasu: nazywa dni w tygodniu i miesiące w

roku; orientuje się, do czego służy kalendarz i

potrafi z niego korzystać;

rozpoznaje czas na zegarze w takim zakresie,

który pozwala mu orientować się w ramach

czasowych szkolnych zajęć i domowych

obowiązków;

w zakresie obliczeń pieniężnych:

zna będące w obiegu monety i banknot o

wartości 10 zł.; zna wartość nabywczą monet i

radzi sobie w sytuacji kupna i sprzedaży,

zna pojęcie długu i konieczność spłacenia go.

W społeczeństwie silna jest obawa, czy 6-latki dadzą

sobie radę w I klasie. Matematyczne wymagania

dotyczące 6-latków są opracowane na miarę dzieci w

tym wieku, wątpliwości może budzić natomiast to, czy

dotychczasowi nauczyciele klas I-III skutecznie

przestawią się na metodykę odpowiednią dla dzieci o

jeden rok młodszych.

W rozporządzeniu MEN zwraca się uwagę na to, że

sale lekcyjne powinny składać się z dwóch części:

edukacyjnej (wyposażonej w tablicę, stoliki itp.) i

rekreacyjnej (odpowiednio do tego przystosowanej).

Zalecane jest wyposażenie sal w pomoce

dydaktyczne i przedmioty potrzebne do zajęć

(np. liczmany), gry i zabawki dydaktyczne i inne.

W pierwszych miesiącach nauki w centrum uwagi

W pierwszych miesiącach nauki w centrum uwagi

edukacji matematycznej jest

edukacji matematycznej jest

wspomaganie rozwoju

wspomaganie rozwoju

czynności umysłowych ważnych dla uczenia się

czynności umysłowych ważnych dla uczenia się

matematyki

matematyki

.

.

Dominującą formą zajęć są w tym czasie zabawy, gry

Dominującą formą zajęć są w tym czasie zabawy, gry

i sytuacje zadaniowe, w których dzieci manipulują

i sytuacje zadaniowe, w których dzieci manipulują

specjalnie dobranymi przedmiotami, np. liczmanami.

specjalnie dobranymi przedmiotami, np. liczmanami.

Następnie dba się o budowanie w umysłach dzieci

Następnie dba się o budowanie w umysłach dzieci

pojęć liczbowych i sprawności rachunkowych na

pojęć liczbowych i sprawności rachunkowych na

sposób szkolny.

sposób szkolny.

W rozporządzeniu MEN zwraca się też uwagę, że

W rozporządzeniu MEN zwraca się też uwagę, że

dzieci mogą korzystać z zeszytów ćwiczeń

dzieci mogą korzystać z zeszytów ćwiczeń

najwyżej przez jedną czwartą czasu

najwyżej przez jedną czwartą czasu

przeznaczonego na edukację matematyczną

przeznaczonego na edukację matematyczną

.

.

Wypełnianie wydrukowanych zeszytów ćwiczeń stało

Wypełnianie wydrukowanych zeszytów ćwiczeń stało

się plagą w wielu polskich szkołach.

się plagą w wielu polskich szkołach.

Zamiast ćwiczeń z prawdziwymi konkretami, zamiast

Zamiast ćwiczeń z prawdziwymi konkretami, zamiast

rachunku pamięciowego i stosowania matematyki do

rachunku pamięciowego i stosowania matematyki do

zagadnień interesujących dzieci, należy wpisywać

zagadnień interesujących dzieci, należy wpisywać

liczby i wyrazy w okienka lub miejsca

liczby i wyrazy w okienka lub miejsca

wykropkowane. Zeszyty ćwiczeń zastąpiły tradycyjne

wykropkowane. Zeszyty ćwiczeń zastąpiły tradycyjne

zeszyty w kratkę. Dzieci, czasem nawet w II klasie,

zeszyty w kratkę. Dzieci, czasem nawet w II klasie,

nie wiedzą, jak pisać na pustej stronie, że zaczyna się

nie wiedzą, jak pisać na pustej stronie, że zaczyna się

od góry strony, od lewej.

od góry strony, od lewej.

Wielu znakomitych nauczycieli jest zdania, że zwykłe

Wielu znakomitych nauczycieli jest zdania, że zwykłe

zeszyty w kratkę powinny – oprócz innych środków –

zeszyty w kratkę powinny – oprócz innych środków –

używane być w nauczaniu, oczywiście w

używane być w nauczaniu, oczywiście w

umiarkowanym zakresie.

umiarkowanym zakresie.

Przy układaniu i rozwiązywaniu zadań trzeba

Przy układaniu i rozwiązywaniu zadań trzeba

zadbać o wstępną matematyzację

zadbać o wstępną matematyzację

: dzieci

: dzieci

rozwiązują zadania matematyczne manipulując

rozwiązują zadania matematyczne manipulując

przedmiotami lub obiektami zastępczymi, potem

przedmiotami lub obiektami zastępczymi, potem

zapisują rozwiązanie z użyciem cyfr.

zapisują rozwiązanie z użyciem cyfr.

Moim zdaniem nie ma żadnej potrzeby, by

Moim zdaniem nie ma żadnej potrzeby, by

zapoznawać dzieci z cyframi już w pierwszym

zapoznawać dzieci z cyframi już w pierwszym

półroczu zajęć z 6-latkami. Zapis cyfrowy, nawet

półroczu zajęć z 6-latkami. Zapis cyfrowy, nawet

najprostszy, np. 3+2=5 przesuwa nauczanie w

najprostszy, np. 3+2=5 przesuwa nauczanie w

kierunku abstrakcji. Na to nakładają się trudności

kierunku abstrakcji. Na to nakładają się trudności

manualne związane z samym pisaniem. Bardzo dużo

manualne związane z samym pisaniem. Bardzo dużo

dobrej matematyki można robić bez zapisywania

dobrej matematyki można robić bez zapisywania

cyfr. Pokażę dwa przykłady, dotyczące

cyfr. Pokażę dwa przykłady, dotyczące

wstępnego

wstępnego

kształtowania sensu dodawania

kształtowania sensu dodawania

i zarazem

i zarazem

wprowadzania w to, czym zadanie tekstowe.

wprowadzania w to, czym zadanie tekstowe.

Dzieci widzą np. dwa talerze.

Dzieci widzą np. dwa talerze.

Ile czerwonych jabłek leży na pierwszym talerzu:

Ile czerwonych jabłek leży na pierwszym talerzu: ● ● ● ● ?

Ile zielonych jabłek leży na drugim talerzu:

Ile zielonych jabłek leży na drugim talerzu: ● ● ● ?

Nauczyciel zakrywa oba talerze np. serwetką.

Ile jabłek jest na pierwszym talerzu schowanych pod
serwetką? Przyłóż tyle palców do serwetki.
Ile jabłek jest na drugim talerzu? Przyłóż tyle palców
drugiej ręki.
Ile razem palców przyłożyłeś?

Póżniej informacje o liczbach stopniowo powinny być
zastępowana
przez czysto słowne. Dzieci przechodzą od tego, co widzą,
najpierw
do zbiorów zastępczych, do palców. Potem stopniowo palce stają
się niepotrzebne. Dziecko zaczyna wykonanywać obliczenia w
głowie,
mogąc zawsze wrócić do palców, gdyby zechciało.

Z badań naukowych prowadzonych w wielu krajach wynika,
że dziecko, ucząc się dodawania, najpierw przechodzi przez fazę,
w której musi ono liczyć wszystkie elementy, np. przy dodawaniu
4 i 3 muszą liczyć: 1,2,3,4,5,6,7.

Wyższy poziom – to doliczanie, dziecko liczy tylko: 5,6,7.
Dorosłemu wydaje się to bardzo proste, ale trzeba się pamiętać,
że jeśli dziecko jeszcze nie dojrzało do tego wyższego poziomu,
to musi tak liczyć wszystkie obiekty, bo jeszcze inaczej nie
potraf,
a ewentualne nakłanianie go do tego szybszego doliczania jest
nieskuteczne.

Po zebraniu odpowiedniej ilości doświadczeń, dziecko przechodzi
na jeszcze wyższy poziom: nie potrzebuje już doliczać, bo wie,
że 4 i 3 to 7. Przedwczesne ćwiczenia na poziomie zapisu 4+3=7
powoduje, że część dzieci nie ma okazji do przejścia wszystkich
niezbędnych etapów rozwoju pojęciowego i później nie daje
sobie
rady z matematyką.

Aby pokazać, jak zaawansowane mogą być zadania
dla 6-latków rozwiązywane na dostępnym im
poziomie konkretów, opowiem o bardzo ciekawym
sposobie zastosowanym przez prof. Edytę
Gruszczyk-Kolczyńską w kierowanych przez nią
zajęciach z sześciolatkami w przedszkolu w
Warszawie.

Opiszę to w skrócie.

Zadanie zaczyna się od tego, że każde dziecko

dostaje 10 kamyczków lub np. 10 małych patyczków

i ma je policzyć.

│ │ │ │ │ │ │ │ │ │

Następnie zamyka ona ostentacyjnie oczy i zakrywa je
rękami. Mówi, by każde dziecko schowało część
swoich patyczków w jednej ręce, a pozostałe patyczki
schowało w drugiej ręce.

Gdy dzieci stwierdzą, że już to zrobiły, otwiera oczy i

podchodzi kolejno do każdego dziecka.

Prosi, by dziecko pokazało jej patyczki z jednej ręki,

patrzy na nie i mówi, ile jest schowanych w drugim

ręku.

││││││ ?

Dzieci są zaskoczone i zadziwione. Skąd ona to wie?
Nie ujawnia swego sekretu, lecz mówi: „Kto z was
wie, w jaki sposób ja stwierdziłam, ile patyczków jest
schowanych? Jeśli ktoś ma jakiś pomysł, niech
podejdzie do mnie i szeptem powie mi to do ucha.”
Początkowo tylko nieliczne z patrzących na to dzieci
miały jakiś sensowne wyjaśnienie; te dzieci zostawały
„asystentami” i zastępowały Panią w kolejnych
pokazach.

Było widoczne, że ci asystenci używali palców do

doliczania od danej liczby, nie potrafili jednak opisać

jasno, jak znajdują poszukiwane liczby.

Pozostałym dzieciom, które nie potrafiły odkryć

sekret, Pani nie udzielała żadnych wskazówek,

natomiast istotne było obserwowanie, co robią

koledzy.

Po wielu takich powtórzeniach, stopniowo wszystkie

dzieci w grupie chwytały, o co chodzi.

W ten sposób dzieci miały wspaniałe wprowadzenie w

to, czym jest zadanie matematyczne.

Ważne jest również to, że takie aktywności odkrywały
przed nimi jedną z najważniejszych cech matematyki:

Obliczenie może pomóc przekonać się o czymś,

chociaż tego nie widać.

Był to zarazem przykład stymulowania intensywnego

myślenia dzieci bez wymagania od nich czegoś, co

byłoby ponad ich możliwości.

Warto podkreślić, że żadne z tych dzieci nie użyło tu

odejmowania,

chociaż wielu dydaktyków domaga się, by w takich

zadaniach uczniowie wykonywali odejmowanie, tzn.

by zadania typu

6 +□= 10

były rozwiązywane przez odejmowanie 10 – 6.

Wymagania dotyczące ucznia kończącego klasę

III:

liczy (w przód i w tył) od danej liczby po 1,
dziesiątkami od danej liczby w zakresie 100 i
setkami od danej liczby w zakresie 1000;
zapisuje cyframi i odczytuje liczby w zakresie
1000;
porównuje dowolne dwie liczby w zakresie 1000
(słownie i z użyciem znaków <, >, =);
dodaje i odejmuje liczby w zakresie 100 (bez
algorytmów działań pisemnych); sprawdza wyniki
odejmowania za pomocą dodawania;
podaje z pamięci iloczyny w zakresie tabliczki
mnożenia; sprawdza wyniki dzielenia za pomocą
mnożenia;rozwiązuje łatwe równania
jednodziałaniowe z niewiadomą w postaci
okienka (bez przenoszenia na drugą stronę);

W tych: ,,podaje z pamięci iloczyny w zakresie
tabliczki mnożenia” mieści się również rozumienie
sensu mnożenia, oczywiście rozumienie na miarę
ucznia klasy III. Słowa: “sprawdza wyniki dzielenia za
pomocą mnożenia” obejmują też rozumienie sensu
dzielenia i wykorzystanie tabliczki mnożenia do
obliczenia ilorazu np. 48:6, ale bez wymagania
zapamiętania wszystkich ilorazów.
rozwiązuje zadania tekstowe wymagające
wykonania jednego działania (w tym zadania na
porównywanie różnicowe, ale bez porównywania
ilorazowego).

Nauczyciele wiedzą, że porównywanie różnicowe jest
znacznie trudniejsze dla uczniów, niż to się wydaje.
Przyczyn tego jest wiele, zwrócę uwagę na niektóre.

Przy pierwszej ulicy jest 7 domów. Przy drugiej jest o

5 domów więcej.

Ile domów jest przy drugiej ulicy?

⌂ ⌂ ⌂ ⌂ ⌂ ⌂ ⌂

⌂ ⌂ ⌂ ⌂ ⌂ ⌂ ⌂ ⌂ ⌂ ⌂ ⌂ ⌂

Dużo trudniejsze jest porównanie ilorazowe (w tym

zadania typu: ,,Ile razy więcej?”). Wielu matematyków

nie zdaje sobie sprawy z tego, jak bardzo jest to

trudne dla uczniów.

Aby uzmysłowić im tę trudność, zwracam im uwagę

na to, że pytanie, ile razy jedna liczba (bądź wielkość)

jest większa od drugiej, to wstęp do stosunków i

proporcji, a więc do tematów, z którymi kłopoty mają

uczniowie klasy VI i gimnazjum. Zwrot ,,3 razy

więcej” oznacza stosunek 3:1, a także 300%. Te trzy

określenia znaczą to samo, choć są wypowiedziane w

różny sposób.

Uczeń poznaje w klasach I-III dzielenie jedynie w
kontekście rozdzielenia czegoś na części po tyle
samo. Gdy pytamy, ile razy A jest większe od B, nie
rozdzielamy przecież niczego na równe części.

Dzielenie interpretowane jako stosunek to zupełnie

nowe pojęcie, kształtujące się u ucznia przez wiele

lat. Uczenie tego dzieci 9-letnich byłoby

przedwczesne, dlatego przeniesiono to do klasy IV.

• wykonuje łatwe obliczenia pieniężne (cena, ilość, wartość) i radzi sobie w sytu acjach

codziennych wymagających takich umiejętności;
• mierzy i zapisuje wynik pomiaru długości, szerokości i wysokości przedmiotów oraz
odległości; posługuje się jednostkami: milimetr, centymetr, metr; wykonuje łatwe obliczenia
dotyczące tych miar (bez zamiany jednostek i wyrażeń dwumia no wa nych w obliczeniach
formalnych); używa pojęcia kilometr w sytu acjach ży cio wych, np. jechaliśmy autobusem 27
kilometrów (bez zamiany na metry);
• waży przedmioty, używając określeń: kilogram, pół kilograma, dekagram, gram; wyko nu je
łatwe obliczenia, używając tych miar (bez zamiany jednostek i bez wyrażeń dwu mianowanych
w obliczeniach formalnych);
• odmierza płyny różnymi miarkami; używa określeń: litr, pół litra, ćwierć litra;
• odczytuje temperaturę (bez konieczności posługiwania się liczbami ujemnymi, np. 5 stopni
mrozu, 3 stopnie poniżej zera);
• odczytuje i zapisuje liczby w systemie rzymskim od I do XII;
• podaje i zapisuje daty; zna kolejność dni tygodnia i miesięcy; porządkuje chrono logicznie
daty; wykonuje obliczenia kalendarzowe w sytuacjach życiowych;
• odczytuje wskazania zegarów: w systemach: 12- i 24-godzinnym, wyświetla jących cyfry i ze
wskazówkami; posługuje się pojęciami: godzina, pół godziny, kwadrans, minuta; wykonuje
proste obliczenia zegarowe (pełne godziny);

Uczeń ma odczytywać godzinę na zegarze uwzględniając minuty, natomiast nie wymaga się
od niego obliczeń zegarowych na godzinach z minutami, a zwłaszcza takich, w których trzeba
przekraczać próg sześćdziesiątkowy.

• rozpoznaje i nazywa koła, kwadraty, prostokąty i trójkąty (również nietypowe, poło żone w
różny sposób oraz w sytuacji, gdy fgury zachodzą na siebie); rysuje odcinki o podanej
długości; oblicza obwody trójkątów, kwadratów i prostokątów (w centymetrach);
• rysuje drugą połowę fgury symetrycznej; rysuje fgury w powiększeniu i pomniej szeniu;
kontynuuje regularność w prostych motywach (np. szlaczki, rozety).

Problem skoku edukacyjnego między III klasą a

Problem skoku edukacyjnego między III klasą a

IV

IV

Nauczanie matematyki stanowi jedną całość i powinno
starać się zmniejszać dystans dzielący klasy IV-VI od
klas I-III. Skok między nauczaniem początkowym a
zupełnie innym stylem nauczania prowadzonym przez
nauczycieli-przedmiotowców zawsze był wstrząsem dla
dzieci. Teraz należy pamiętać, że do nowej klasy IV
będą chodzić dzieci w wieku obecnej klasy III; materiał
klasy IV powinien więc, w pierwszym przybliżeniu,
odpowiadać dotychczasowemu materiałowi klasy III.

Jednak problemem jest nie tylko zakres materiału.
Trudności dzieci mogą teraz być spotęgowane przez to,
że nauczyciele mający wyższe wykształcenie
matematyczne,
uczeni na studiach metodyki nastawionej na starszych
uczniów, którzy nigdy nie pracowali z dziećmi 9-
letnimi, mogą nie być w pełni świadomi, jak wielkie są
różnice rozwoju umysłowego między 9-latkiem a 10-
latkiem. Konieczne będzie wolniejsze tempo pracy w IV
klasie niż dotąd, mniej abstrakcji, a więcej konkretnych
czynności takich, jak rozcinanie kół na początku nauki
o ułamkach (na początek rozcinanie nożyczkami, a nie
jedynie w myśli!) i wiele innych elementów
dotychczasowej klasy III.

W 2007 roku, MEN przesunął do klas IV-VI wszystkie
trudne tematy dotychczasowej klasy III, a w nowych
podstawach. które omawiam, jeszcze bardziej
uwzględniono obniżenie wieku dzieci. Zestawię
razem wszystkie zmiany z ostatnich 10 lat.

Następujące tematy przeszły z tradycyjnej III

klasy do klasy IV:

zapis cyfrowy liczb do 10000,

algorytmy dodawania i odejmowania pisemnego,

mnożenie i dzielenie liczb wielocyfrowych przez

jednocyfrowe,

dzielenie z resztą (gdy dzielnik i wynik są

jednocyfrowe),

reguły kolejności wykonywania działań;

porównanie ilorazowe,

ułamki,

kilometr jako 1000 metrów,

W podstawach natomiast napisane jest, że uczeń

kończący klasę III używa pojęcia kilometr w

sytuacjach życiowych, np. jechaliśmy autobusem 27

kilometrów (bez zamiany na metry).

To jest zasadnicza różnica. Uczeń ma się orientować

w praktycznym użyciu kilometrów w życiu

codziennym, nie wymaga się jednak od niego, by

umiał np. zamienić 2 km na 2000m lub dokonywać

obliczeń na wyrażeniach dwumianowanych typu 2 km

350 m.

punkt, prosta, łamana,

odcinki prostopadłe i równoległe,

plan i skala

obliczenia zegarowe z minutami.

W klasie III powinno się, moim zdaniem, wprowadzać

W klasie III powinno się, moim zdaniem, wprowadzać

niektóre z tych treści, ale nie jako działy do

niektóre z tych treści, ale nie jako działy do

systematycznego opanowania, lecz jako wstępne

systematycznego opanowania, lecz jako wstępne

zbieranie doświadczeń przez dzieci. Np. dzieci

zbieranie doświadczeń przez dzieci. Np. dzieci

powinny rysować linie prostopadłe w konkretnym

powinny rysować linie prostopadłe w konkretnym

kontekście, używając ekierki, ale nie wymaga się

kontekście, używając ekierki, ale nie wymaga się

jakiejś specjalne wiedzy lub umiejętności w tym

jakiejś specjalne wiedzy lub umiejętności w tym

zakresie.

zakresie.

Nauczyciel klas I-III może to zrobić w sposób zgodny

Nauczyciel klas I-III może to zrobić w sposób zgodny

z naturalnym rozwojem i możliwościami dzieci,

z naturalnym rozwojem i możliwościami dzieci,

natomiast nauczyciel-matematyk często ma

natomiast nauczyciel-matematyk często ma

tendencję do prezentacji zbyt teoretycznej, zbyt

tendencję do prezentacji zbyt teoretycznej, zbyt

trudnej dla dzieci w wieku 9-10 lat.

trudnej dla dzieci w wieku 9-10 lat.

Wymienię tematy, które specjalnie nadają się do

Wymienię tematy, które specjalnie nadają się do

takich propedeutycznych zajęć:

takich propedeutycznych zajęć:

• zapis cyfrowy liczb między 1000 a 2000 oraz
pojedyncze liczby związane z datami, no, 2009;
• mnożenie i dzielenie liczb wielocyfrowych przez
jednocyfrowe w pojedynczych, łatwych przypadkach
(np. 18·4, 72:3) interpretowanych na pieniądzach;
• dzielenie z resztą w konkretnych, łatwych
sytuacjach, np. “W magazynie są 22 żarówki. Do ilu
lamp po 3 żarówki to starczy?”;
• reguły kolejności wykonywania działań w przypadku
mnożenia z dodawaniem (to dotąd było w II klasie);
• ułamki podawane słownie: połowa, ćwierć itp. w
konkretnych sytuacjach
kilometr jako 1000 metrów ( podstawach dla I-III jest
jedynie wymaganie: używa pojęcia kilometr w sytu
acjach ży cio wych, np. jechaliśmy autobusem 27
kilometrów (bez zamiany na metry);
• punkt, prosta, łamana,
• odcinki prostopadłe i równoległe,
• plan i skala
• obliczenia zegarowe z minutami.