PODSTAWY PROJEKTOWANIA INŻYNIERSKIEGO
Podstawowe modele matematyczne stosowane w projektowaniu
2. Całokształt czynności zmierzających do utworzenia modelu
matematycznego nazywany jest modelowaniem.
Modelowanie matematyczne to użycie języka matematyki do
opisania zachowania jakiegoś układu (na przykład układu
automatyki, biologicznego, ekonomicznego, elektrycznego,
mechanicznego, termodynamicznego).
3. Modelem matematycznym zaś nazywamy zbiór reguł
i zależności, na podstawie których można za pomocą obliczeń
przewidzieć przebieg modelowanego procesu. Sa to równania
opisujące proces oraz wszewlkie relacje opisujące ograniczenia
i uproszczenia (np. nierówności).
Model matematyczny opisuje dany układ za pomocą zmiennych.
Wartości zmiennych mogą należeć do różnych zbiorów: liczb
rzeczywistych, całkowitych, wartości logicznych,ciągów
znakowych i tym podobnych.
To własnie na podstawie modeli matematycznych tworzone są
symulacje komputerowe i badany jest wpływ otoczenia
otoczenia i parametrów procesu na charakterystykę
modelowanego procesu.
Językiem opisu modelu matematycznego sa komputerowe
systemy symulacyjne.
1
Budowa modelu matematycznego nazywana jest formalizacją ,
natomiast przekształcanie tego modelu w postać numeryczną,
czyli tzw. Schemat blokowy algorytmizacją.
4. Podstawowymi cechami modeli jest to iż:
" Model systemu jest z reguły uproszczeniem rzeczywistości.
" Model systemu powinien zewnętrznie, w zakresie nas
interesującym, zachowywać się podobnie jak system,
aczkolwiek może mieć inną strukturę wewnętrzną.
" Modele systemów mają z reguły znacznie mniejszą ilość wejść
i wyjść niż systemy rzeczywiste.
" Model systemu powinien cechować się łatwością wykorzystania
zgodnie z przeznaczeniem.
5. Cele tworzenia modeli
" BADANIE  czyli model służy do wyjaśnienia zachowania się
sytemu w określonych warunkach.
" PROGNOZOWANIE  czyli model służy do przewidywania
zachowania się systemu w przyszłości.
" PROJEKTOWANIE  czyli model służy do optymalizacji
struktury i parametrów projektowanego systemu.
" KIEROWANIE  czyli model służy do podejmowania decyzji w
działającym systemie.
2
6. Rozróżniamy dwa podziały modeli
7. Ze względu na ich konstrukcję
" Koncepcyjne albo jakościowe  np. model Ptolemeusza systemu
słonecznego lub model systemu motywacji pracownika do
wydajnej pracy.
" Fizyczne  np. model koryta rzeki w skali laboratoryjnej, lub
model samolotu testowany w tunelu aerodynamicznym.
" Analogowe  np. symulacja systemu sieci wodociągowej za
pomocą złożonego układu elektrycznego, lub symulacja systemu
sterowania za pomocą analizatora analogowego.
8.
" Matematyczne  w postaci układu zależności matematycznych.
" Komputerowe  za pomocą odpowiedniego programu
komputerowego. Modele takie budowane są z równań
matematycznych, zależności statystycznych i reguł
probabalistycznych. Ich specyfiką jest możliwość symulowania
ewolucji systemu poprzez krokowe zmiany parametrów
wyjściowych.
3
9. Ze względu na ich relacje do modelowego systemu
Problemy modelowania matematycznego często klasyfikuje się
jako "czarne skrzynki" (ang. black-box) lub "białe skrzynki" (ang.
white-box), w zależności od ilości informacji
o układzie posiadanych przed modelowaniem. Istnieją również
modele  szatych skrzynek (ang. gray-box) oraz  szklanych
skrzynek (ang. glass-box).
10. Modele "białej skrzynki" są uważane za prostsze, gdyż jeśli
tylko wiedzy a priori użyto poprawnie, to model będzie zachowywał
się zgodnie z rzeczywistym układem.
Model białej skrzynki jest najłatwiejszy do wdrożenia, gdyż
zasadniczo polega na opisaniu pewnego wykonanego fragmentu
dokumentacji lub oprogramowania.
11. W modelach "czarnej skrzynki" należy wyznaczyć zarówno
postać funkcji wiążącej wielkości w układzie, jak i wartości
liczbowych parametrów tych funkcji.
 Czarna skrzynka może być użyta poprzez odsyłacz lub poprzez
skopiowanie. Częściej stosowane jest kopiowanie .
4
12. Element pośredni między modelem czarnej,
a białej skrzynki. W modelu szarej skrzynki konstruktor aktywu
będzie mógł określić, które części aktywu i dla jakich
użytkowników będą widoczne.
13. W tym modelu zarówno budowa aktywu, jak
i jego cechy zewnętrzne są widoczne, chociaż nie można ich
zmienić. Znajomość budowy aktywu i zrozumienie zasad jego
działania sprzyjają właściwemu stosowaniu, ale niemożność
dokonania jakichkolwiek zmian może być z
ródłem frustracji.
14. Tworzenie modelu matematycznego obejmuje trzy główne
etapy:
" specyfikację modelu
" identyfikację modelu
" weryfikację modelu
15. Przykładem modelu matematycznego, na którym sie dziś
skupimy jest optymalny system dynamiczny.
Zastosowana w nim optymalizacja wraz z symulacją dynamiki,
pozwala na ocenę oraz wybór, takich rozwiązań, które były
najlepiej oceniane przez pryzmat przyjetych (zamodelowanych)
kryteriów jakości. Mierzyły one długookresowe skutki polityk
decyzyjnych, funkcjonujacych w systemie, a dotyczących m.in.
produkcji, zapasów, sprzedaży, zaopatrzenia w surowce.
5
17/18. Rysunek 1 przedstawia główne sprzężenie związane
z optymalizacją, w tym przypadku maksymalizacją zysku
zastosowaną na modelu budowanym według filozofii Dynamiki
Systemowej , natomiast rysunek 2 przedstawia te same sprzężenia ale
tym razem związane z minimalizacja kosztów na tym modelu.
19. Podsumowując modele matematyczne pozwalaja zobaczyć
strukturę projektowanych systemów oraz efekt wzmocnienia
występujący w tych strukturach. Współdziałanie istniejących modeli
matematycznych wyznacza dynamikę zachowań się systemu.
20. Trudności w wybieraniu modelu matematycznego oraz jego
wpływu na zachowanie systemu jako całości, moga byc
przezwyciężone przez dalsze badania deoretyczne oraz przez szerszy
niz ma to miejsce obecnie opis struktur w modelach złożonych
systemów w literaturze przedmiotu.
6