Metody Matematyczne Fizyki 2003
Andrzej Sitarz
ROZDZIAÅ‚ 1
Funkcje analityczne
1. Podstawowe definicje.
Funkcje określone na płaszczyz
nie lub jej podzbiorze możemy traktować jako funkcje dwóch zmiennych rzeczy-
wistych lub jako funkcje zmiennej zespolonej.
Definicja 1.1
Niech U ‚" C bÄ™dzie zbiorem otwartym na pÅ‚aszczyz
nie zespolonej. Funkcja f : C C jest róz
niczkowalna w
z0 " U jeśli istnieje granica:
f(z) - f(z0)
(1.1) f (z0) = lim .
zz0 - z0
z
Funkcja f jest analityczna (holomorficzna) w U jeśli jest róz
niczkowalna w kaz
dym punkcie tego zbioru.
Przykład 1.2
Funkcja f(z) = |z|2 nie jest analityczna.
Do sprawdzenia tego przykładu wygodnie będzie posłuz
yć się warunkami Cauchy ego-Riemanna:
Twierdzenie 1.3
Funkcja zespolona okreÅ›lona na podzbiorze otwartym U ‚" C jest na nim holomorficzna wtedy i tylko wtedy gdy
jest jednokrotnie róz
niczkowalna jako funkcja dwóch zmiennych rzeczywistych na tym obszarze oraz pochodne
cząstkowe spełniają warunki Cauchy ego Riemanna:
"xu = "yv,
(1.2)
"xv = -"yu,
gdzie f(x + iy) = u(x, y) = iv(x, y).
Dowód: Wez
my z - z0 = x + i y i policzmy f (z0) dążąc do z0 = x0 + iy0 wzdłuż różnych kierunków:
f(z0 + x) - f(z0)
(1.3) f (z0) = lim = ux(x0 + iy0) + ivx(x0 + iy0).
x0, y=0
x
Z drugiej strony:
f(z0 + i y) - f(z0)
(1.4) f (z0) = lim = -iuy(x0 + iy0) + vy(x0 + iy0).
x=0, y0
y
Jest teraz oczywiste, iż f(z) = |z|2 nie jest analityczna.
Problem: Czy twierdzenie odwrotne jest prawdziwe?
3
1. PODSTAWOWE DEFINICJE. 4
Twierdzenie 1.4
JeÅ›li funkcja okreÅ›lona na obszarze pÅ‚aszczyzny U ‚" C speÅ‚nia waruncki Cauchy ego Reimanna i jest klasy C1
to jest analityczna.
Funkcje analityczne na obszarze U ‚" C tworzÄ… algebrÄ™: ich suma i iloczyn sÄ… również analityczne. JeÅ›li funkcja
jest różna od zera na tym obszarze to g(z) = 1/f(z) jest równiez
analityczne.
Przykład 1.5
Przykłady funkcji holomorficznych (na wykresach wysokość odpowiada modułowi funkji a kolor powierzchni -
argumentowi):
" f(z) = anzn + an-1zn-1 + . . . + a1z + a0 jest analityczna w C,
f(z) = z f(z) = z4 + 1
" f(z) = ez jest analityczna w C,
7
1
6
0.8
5
0.6
4
3
0.4
2
0.2
1
0
0
 0.3  3  2  2
 0.2  2
 1  1
 0.1  1
0 0 0 0
y x y x
0.1 1
1 1
0.2 2
0.3 3 2 2
ez blisko osi rzeczywistej ez na kwadracie blisko z = 0
1 1
" f(z) = jest analityczna w C/{0}, f(z) = jest analityczna w C/{a},
z z-a
p(z)
" f(z) = jest analityczna w C/Q, gdzie p, q to wielomiany, a Q = {w " C : q(w) = 0]| jest zbiorem
q(z)
zer wielomianu q.
5
4
3
2
1
 2 0.2
0.4
0.6
 1
0.8
1
0
1.2
y x
1.4
1
1.6
1.8
2 2
1 z+1
f(z) = f(z) =
z z
Funkcje analityczne w C nazywamy funkcjami całkowitymi.
2. KONTURY I CAA
KI PO KONTURACH 5
1.1. Odwzorowania analityczne.
" Translacje sÄ… to odwzorowania postaci:
C z z + w " C, w " C.
" Homografie sÄ… to odwzorowania postaci:
az + b
C *" " z " C *" ", a, b, c, d " C.
cz + d
" Odwzorowania konforemne są to odzorowania płaszczyzny zespolonej w nią samą zachowujące kąty
pomiędzy krzywymi.
Twierdzenie 1.6
Każde odwzorowanie analityczne f z obszaru U ‚" C na f(U) ‚" C, dla którego f (z) = 0 jest konforemne.

2. Kontury i całki po konturach
2.1. Krzywe na płaszczyz
nie zespolonej.
Definicja 2.1
Niech ł będzie ciągłą injekcją z odcinka [0, 1] w C (gładką (lub przynajmniej kawałkami gładką). Poprzez krzywą
na płaszczyz
nie rozumiemy obraz tego odwzorowania:
CÅ‚ = Å‚([0, 1]) ‚" C.
Jeśli ł(0) = ł(1) to krzywa Cł jest zamknięta.
Dwa różne odwzorowania ł2, ł2 określają tę samą krzywą Cł = Cł , jeśli istnieje ciągła (kawałkami gładka)
1 2
monotoniczna bijekcja à : [0, 1] [0, 1], taka, że Å‚2 = Å‚1 ć% Ã.
Rozróz
niając między odwzorowaniami określającymi daną krzywą w zalez
ności od tego czy przeprowadzająca je
na siebie bijekcja jest rosnÄ…ca czy malejÄ…ca otrzymujemy krzywe zorientowane. Dla danej krzywej C ‚" C wybór
odwzorowania ł takiego, że C = Cł nazywamy wyborem parametryzacji krzywej C.
2.2. Całki po konturach.
Niech krzywa CÅ‚ ‚" U bÄ™dzie sparametryzowana przez odwzorowanie Å‚ : [0, 1] U. Dla dowolnej zaspolonej
funkcji f : U C definiujemy:
Definicja 2.2
Całka z f wzdłuż krzywej Cł:

1
dł(w)
(2.5) f(z)dz := f(Å‚(w)) dw.
dw
CÅ‚ 0
Twierdzenie 2.3
Dla dowolnej gÅ‚adkiej funkcji f caÅ‚ka z niej po krzywej CÅ‚ ‚" U nie zalez
y od parametryzacji tej krzywej.
Dowód: Stosując twierdzenie o zmianie zmiennych w całce.
Na zakoćzenie oszacujmy wielkość całki:
2. KONTURY I CAA
KI PO KONTURACH 6
Twierdzenie 2.4 (Nierówność Darboux)
Jeśli krzywa C ma długość L to dla dowolnej funkcji f analitycznej w obszarze U:



f(z)dz d" max |f(z)|L.

z"C
C
Dowód: (Ćwiczenie)
2.3. Twierdzenie Cauchy ego.
Twierdzenie 2.5 (Twierdzenie Cauchy ego)
Niech f bÄ™dzie holomorficzna na ograniczonym obszarze U ‚" C. JeÅ‚i zamkniÄ™ta krzywa C jest zawarta w U,
C ‚" U to:

(2.6) f(z)dz = 0.
C
Dowód: Z twierdzenia Stokesa dla f(z) = u(z) + iv(z) oraz dla obszaru V ‚" U którego brzegiem jest C oraz
wykorzystujÄ…c warunki Cauchy ego Riemanna:

f(z) = (u(x, y)dx - v(x, y)dy) + i(u(x, y)dy + v(x, y)dx)
C
(2.7) C
= ((uy(x, y) + vx(x, y)) + i(ux(x, y) - vy(x, y))) dx '" dy = 0.
V
Wniosek 2.6 (Wzór Cauchy ego)
Przy tych samych założeniach, co powyżej, jeśli V jest obszarem jednospójnym to:

1 f(z)
0, if w " V .
/
(2.8) dz =
f(w), if w " V .
2Ä„i z - w
C
f(z)
Dowód: Jeśli w jest spoza obszaru V to g(z) = jest analityczna w pewnym zbiorze otwartym zawierającym C
z-w
a zatem z twierdzenia Cauchy ego całka z niej znika. Jeśli w " V to istnieje okrąg o promieniu wokół w zawarty
w obszarze V . Oznaczmy kulę o promieniu r i środku w jako Kr(w). Ponieważ funkcja g(z) jest analityczna w
U/K 1 (w), zatem z twierdzenia Cauchy ego mamy:

2

g(z)dz + g(z) = 0.
C "K (w)
Policzmy tę drugą całkę, parametryzując okrąg:

1
g(z)dz = - g(w + e2ĄiĆ) (2Ąi)e2ĄiĆdĆ.
"K (w) 0
Ponieważ funkcja f jest ciągła na brzegu okręgu moz
emy dla każdego ´ > 0 dobrać tak aby dla każdego z " C
zachodziÅ‚o |f(z) - f(w)| < ´.
1
A zatem na okręgu o promieniu wokół w mamy:
2


f(z) - f(w) 2´

d" ,

z - w
2. KONTURY I CAA
KI PO KONTURACH 7
i dlatego całka:



f(z) - f(w)

dz d" 4´Ä„

z - w
"K (w)
1

2
jest dowolnie mała, a ponieważ jest niezależna od musi znikać. Skoro tak, to:

f(z) f(w)
(w) dz = (w) dz = -2Ä„if(w),
z - w z - w
"K "K
gdzie uwględniliśmy orientację okręgu (jak na rysunku). Wykorzystując wcześniejszą toz
samość (??) dostajemy:

1 f(z)
f(w) = dz.
2Ä„i z - w
C
Wniosek 2.7 Lemat Schwartza
|z|
|f(z)| d" max|w-z|=R .
R
Lemat 2.8
JeÅ›li f jest analityczna w U ‚" C to dla każdego a " U, z " U funkcja:

z
(2.9) Åš(z) = f(w)dw,
a
(całka po dowolnej krzywej łączącej a z z) jest analityczna.
Twierdzenie 2.9 (Twierdzenie Morery)

Jełi funkcja f jest ciągła w U i f(z)dz wzdłuż każdego konturu w U znika to f jest analityczna w U,
C
Twierdzenie 2.10
JeÅ‚i ciÄ…gÅ‚a funkcja f jest okreÅ›lona na krzywej C ‚" U to funkcja:

f(z)
Åš(w) = dz,
z - w
C
jest analityczna we wnętrzu obszaru którego brzegiem jest C i jej pochodna wyraz
a siÄ™ wzorem:

f(z)
Åš (w) = dz.
(z - w)2
C
Wniosek 2.11
Funkcja analityczna jest różniczkowalna nieskończenie wiele razy, a jej pochodne wyrażają się wzorem:

1 f(z)
f(n)(w) = (-1)n+1 dz.
n! (z - w)n+1
C
Wniosek 2.12 (Twierdzenie Liouville a)
Każda funkcja holomorficzna na C i ograniczona jest stała.
Dowód: Dla dowolnego R > 0:


f(w) 2Ä„

(2.10) |f (z)| = d" maxz"C|f(z)| .
(z - w)2 R
K(0,R)
3. SZEREGI POT
GOWE 8

czyli F (z) a" 0 a zatem f musi być stała.
Wniosek 2.13 (Twierdzenie Gaussa)
Każdy wielomian rzędu n ma na C dokładnie n miejsc zerowych.
1
Dowód: Wez
my f(z) = . Jeśli wielomian nie miałby miejsc zerowych to funkcja ta byłaby analityczna i
p(z)
ograniczona, a zatem stała. Jeśli z0 jest miejscem zerowym to p(z) = (z - z0)q(z), a nast epnie procedurę
powtarzamy dla q(z).
3. Szeregi potęgowe
Szeregiem potęgowym nazywamy szereg postaci:
"

anzn.
n=0
Twierdzenie 3.1
Jeżeli szereg potęgowy jest zbieżny w z = 0 to jest zbieżny (jednostajnie) w każdym kole o promieniu r < |z|.

Twierdzenie 3.2
Niech
-1
(3.11) Á = lim sup |an|1/n .
n"
Wtedy:
"

(3.12) " ) f(z) = anzn,
n=0
f(n)(0)
(3.13) " ) an = .
n!
Na odwröt, jeÅ›li f(z) jest holomorficzna w kole K(0, r) oraz
f(n)(0)
(3.14) an = ,
n!
to
(3.15) lim sup |an|1/n d" r-1
n"
i w kole K(0, r) szereg (3.12) jest zbieżny jednostajne do f.
Dowód: Dowód (1).
Dla dostatecznie dużych n > N1 mamy |an| < Á-n dla jakiegoÅ› Á1 < Á. BiorÄ…c analogiczne oszacowanie dla
1
Á2 < Á1 mamy na w kole K(0, Á2:
Á2
1 1
|fN - fN | d" Á-N ÁN (1 - )-1.
1 2 1 2
Á1
gdzie:
N

fN (z) := anzn.
n=0
3. SZEREGI POT
GOWE 9
Zatem fN jest ciÄ…giem funkcji zbieżnym jednostajnie do f w każdym kol o promieniu mniejszym od Á. Ponieważ
pochodne f(z) są również jednostajnie zbiez
ne w tym obszarze a każdy z elementów tego ciągu spełnia warunki
Cauchy ego Riemanna, zatem i granica f(z) spełnia te warunki i jest funkcją analityczną.
Przejdz
my teraz do drugiego punktu. Wez
my okrÄ…g o promieniu Á < r. WykorzystujÄ…c wzór caÅ‚kowy Cauchy ego
mamy:

1 f(¾) 1 f(¾) 1
f(z) = d¾ = d¾
z
2Ä„i ¾ - z 2Ä„i ¾ 1 -
"K(0,Á) "K(0,Á)
¾

" "

1 f(¾) f(n)(0)
= zn d¾ = zn .
2Ä„i ¾n+1 n!
"K(0,Á)
n=0 n=0
Najważniejsze praktyczne kryteria zbieżności (jednostajnej) szeregów:

" Weirstrassa: JeÅ›li wyrazy szeregu sä majoryzowane (w pewnym obszarze) przez szereg zbieżny an:
|fn(z)| d" an, n > N

to szereg fn(z) jest jednostajenie zbiez
ny.
" Cauchy ego: Jeśli istnieje granica:
lim |an|1/n
n"
to jest ona równa (3.11) i szereg (3.12) jest zbieżny w K(0, r).
" d Alamberta: Jeśli granica
|an+1|
lim
n"
|an|
istnieje, to jest równa (3.11) i szereg (3.12) jest zbieżny w kole K(0, r)
Przykład 3.3
Przykłady rozwinięć funkcji analitycznych w szeregi:
"

1
= zn, |z| < 1
1 - z
n=0
"

1
log(1 + z) = (-1)n+1 zn, |z| < 1, m = 1, 2, . . . ,
n
n=1
m

1 (2n - 3)!! 1
2
(1 + z) = 1 + (-1)n zn, |z| < .
(2n)(n)! 2
n=1
gdzie (2k - 1)!! = (2k - 1)(2k - 3) · · · 3 · 1.
3.1. Funkcja wykładnicza. Funkcję wykładniczą definiujemy poprzez szereg potęgowy:
"

1
(3.16) ez = zn, z " C.
n!
n=0
Własności funkji wykladniczej:
ezew = ez+w, z, w " C
d
ez = ez,
dz
ez = 0, "z " C

ez = 1 Ò! "k " Z, z = 2kÄ„i,
4. FUNKCJE MEROMORFICZNE 10
Dla dowolnego z " C definiujemy :
1
cos(z) = (eiz + e-iz,
2
(3.17)
1
sin(z) = (eiz - e-iz,
2i
4. Funkcje meromorficzne
Definicja 4.1
Funkcja f jest meromorficzna w obszarze U ‚" C jeÅ›li w tym obszarze jest analityczna poza skoÅ„czonÄ… liczbÄ…
punktów {z1, z2, . . . , zk}.
Twierdzenie 4.2
(Rozwinięcie w szereg Laurent a) Jełi funkcja f jest holomorficzna w pierścieniu P (0, r, R) ({z : r < |z| <
R}) gdzie 0 d" r < R d" ", wtedy na tym pierścieniu zachodzi:
"

(4.18) f(z) = bnzn.
n=-"
Współczynniki bn można obliczyć w następujący sposób:

1 f(¾)
bn = d¾.
2Ä„i ¾n+1
"K(0,Á)
gdzie r < Á < R.
Dowód: Wez
my pierÅ›cieÅ„ P (0, r , R ) ‚" P (0, r, R), czyli r < r < |z| < R < R. Wtedy mamy:

1 f(¾) 1 f(¾) 1 f(¾)
f(z) = d¾ = d¾ - d¾
2Ä„i ¾ - z 2Ä„i ¾ - z 2Ä„i ¾ - z
"P (0,r ,R ) "K(0,R ) "K(0,r )

" "

1 f(¾) 1 f(¾)
= znd¾ + ¾nd¾
2Ä„i ¾n+1 2Ä„i zn+1
"K(0,R ) "K(0,r )
n=0 n=0
"

= bnzn.
n=-"
Przykład 4.3
Funkcja:
3z - 2 1 2
= +
z2 - 3z - 4 1 + z z - 4
ma następujące rozwinięcia
" w kole o promieniu 1:

"

1 1
(-1)n + zn, |z| < 1,
2 4n
n=0
" w pierścieniu 1 < |z| < 4:

0 "

1 1
- (-1)nzn-1 + zn , 1 < |z| < 4,
2 4n
n=-" n=0
4. FUNKCJE MEROMORFICZNE 11
" na zewnątrz koła o promieniu 4:
0

- ((-1)n + 2 · 4-n)zn-1, 4 < |z|.
n=-"
Punkt z0 nazywamy izolowanym punktem osobliwym funkcji f jeśli istnieje otoczenie tego punktu takie, że f jest
holomorficzna w tym otoczeniu za wyjÄ…tkiem z0.
Mówimy, że funkcja f ma w z0 osobliwość pozorną jeśli istnieje granica funkcji f w z0 i po rozszerzeniu dziedziny
f o z0 funkcja ta jest analityczna w z0.
Jeśli istnieje jakieś całkowite k > 0 takie, że granica:
lim (z - z0)kf(z),
zz0
istnieje i jest skończona, oraz podobna granica dla k - 1 nie istnieje, to mówimi, iż funkcja f ma w z0 biegun
rzędu k.
Jeśli izolowany punkt osoblizy funkcji f w z0 nie jest ani osobliwością pozorną ani biegunem jakiegoś rzędu to
mówimy, iz
jest to osobliwość istotna.
Przykład 4.4
1
" funkcja ma w z = 0 biegun rzędu m,
zm
sin z
" funkcja ma w z = 0 osobliwość pozorną,
z
1
z
" funkcja e ma w z = 0 osobliwość istotną.
Rozwijając funkcję f w pierścieniu otaczającym osobliwość izolowaną z0 w szereg Laurenta:
"

f(z) = an(z - z0)n.
n=-"
otrzymujemy:
" funkcja f ma w z0 biegun rzędu m, jeśli a-m = 0 oraz ak =0 dla wszystkich k < -m.

" funkcja f ma w z = 0 osobliwość pozorną, jełi ak = 0 dla wszystkich k < 0,
" funkcja f ma w z = 0 osobliwość istotną, jeśli dla każdego K < 0 istnieje k < K takie, z
e ak = 0.

Definicja 4.5
FunkcjÄ™ f nazywamy meromorficznÄ… w obszarze U ‚" C jest meromorficzna jeÅ›li jest holomorficzna poza
przeliczalną ilością punktów (osobliwości izolowanych f), w których ma bieguny.
Definicja 4.6
1
O funkcji f(z) mówimy że w z = " jest regularna, ma biegun lub osobliwość istotną, jeśli ( ) jest w z = 0
z
regularna, ma biegun lub osobliwość istotną.
Przykład 4.7
1
Funkcja jest meromorficzna na C.
sin z
5. RESIDUUM FUNKCJI 12
Twierdzenie 4.8
Funkcja meromorficzna na C i posiadająca w nieskończoności co najwyżej biegun jest wymierna.
Dowód: Jeśli f jest meromorficzna na C a nieskończoność jest również co najwyżej osobliwością izolowaną to f
ma skończoną ilość punktów osobliwych (wliczając w to ewentualnie nieskończoność).
Niech fi(z) będzie osobliwą częścią rozwinięcia w szereg Laurenta funkcji f(z) wokół punktu zi. Wtedy fi(z)
jest funkcją wymierną f - fi ma osobliwość pozorną w zi,
a
Zatem funkcja f - fi jest analityczna na C i nie ma osobliwości w nieskończoności a zetem mui być stała.
i
StÄ…d wynika, z
e f jako skończona suma funkcji wymiernych fi jest wymierna.
5. Residuum funkcji
Definicja 5.1
Residuum funkcji f w punkcie z0 jest zdefiniowane jako

1
(5.19) Resz f(z) := f(z)dz,
0
2Ä„i
"K(z0,R)
gdzie 0 < R < R0 jest takie iż f jest analityczna w K(0, R0)/{z0}.
Definicja ta w oczywisty sposöb nie zależy od wyboru R: istotnie wybierajÄ…c R1 i R caÅ‚ka po kaz
dym z okręgów
jest identyczna gdyż f jest analityczna w otaczającym je pierścieniu.
Twierdzenie 5.2
Jeśli:
"

(5.20) f(z) = an(z - z0)n,
n=-"
jest rozwinięciem f w szereg Laurenta wokół z0, to zachodzi:
(5.21) Resz f(z) = a-1.
0
Jeśli funkcja f ma biegun rzędu k, to jej residuum obliczamy w następujący sposób:
1 dk-1
(5.22) Resz f(z) = lim (z - z0)kf(z).
0
zz0 - 1)! dzk-1
(k
Uogólnieniem i naturalną konsekwencją wzoru całkowego (5.19) jest
Twierdzenie 5.3
JeÅ›li funkcja f jest holomorficzna na obszarze U ‚" C za wyjÄ…tkiem skoÅ„czonej liczby punktów {z1, . . . , zn}, to
dla ka rdej krzywej C ‚" U:


(5.23) f(z) = 2Ä„iResz f(z).
i
C
i"IC
gdzie Ic oznacza zbiór tych indeksów i dla których zi lez
y we wn etrzu obszaru oddzielonego krzywÄ… C.
Przykład 5.4
Funkcja
1
f(z) = ,
1 - z4
5. RESIDUUM FUNKCJI 13
ma cztery punkty osobliwe: Ä…1, Ä…i. Residua w nich wynoszÄ… odpowiednio: to
1 i
ResÄ…if(z) = " , ResÄ…1f(z) = " .
4 4
5.1. Wykorzystanie residuów do obliczania całek rzeczywistych.
Twierdzenie 5.5 (Lemat Jordana)
Niech “R oznacza półokrÄ…g o promieniu R w górnej półpÅ‚aszczyz
nie zespolonej. Wtedy całka:



eizdz ,

“R
jest skończona.
Dowód: Rozbijając z = x + iy i parametryzując półokrąg mamy:


Ä„


eizdz d" Re-R(sin Ć)dĆ

“R 0
Ä„ Ä„
2 2
2Rx
Ä„
= 2R e-R(sin x)dx d" 2R e- dx
0 0

"
2Rx
Ä„
d" 2R e- dx = Ä„.
0
Ä„
gdzie wykorzystaliśmy iż dla 0 d" x d" zachodzi Ą(sin x) e" 2x.
2
Wniosek 5.6
Jeśli f(z) jest funkcją malejącą dla |z| " to wtedy całka



f(z)eizdz ,

“R
dąży do 0 gdy R dąży do ".
Przykład 5.7
Policzmy całkę:

"
cos x
.
(1 + x2)
-"
eiz
Biorąc f(z) = i korzystając z poprzedniego wniosku widzimy, iż całka po konturze złoónym z odcinka
1+z2
[-R, R] i półokręgu o promieniu R dąży do całki z funkcji:

"
eix
.
(1 + x2)
-"
Funkcja f(z) ma w obszarze ograniczonym konturem jeden punkt osobliwy z = i, w kórym residuum wynosi:
i
Resz=if(z) = - .
2e
a zatem całka jaką chcemy obliczyć (która jest częścią rzeczywistą całki z f(z)) wynosi:

"
cos x Ä„
= 2Ä„iResz=if(z) = .
(1 + x2) e
-"
5. RESIDUUM FUNKCJI 14
5.2. Residuum w nieskończoności. Przypominając sobie iż otoczeniem nieskończoności jest zewnętrze odpowied-
nio dużego koła możemy zdefiniować residuum funkcji w nieskończoności jako:
Definicja 5.8

1
(5.24) Res"f(z) := - f(z)dz,
2Ä„i
"K(0,R)
gdzie R > R0 > 0 takie ,że funkcja f jest analityczna w C/K(0, R0).
Analogicznie jak w przypadku residdum w punkcie płaszczyzny zespolonej, mamy:
(5.25) Res"f(z) = -a-1.
gdzie an są współczynnikami szeregu Laurenta w otoczeniu nieskończoności.
1
Praktycznie w obliczeniach wykorzystywać możemy zachowanie funkcji g(z) = f( ), mamy wtedy:
z

1
(5.26) Res"f(z) = -Res0 g(z) ,
z2
Przykład 5.9
" Res"ez = 0,
1
" Res" (z+1) = -1.