Zdroj: http://www.zones.sk
Pou~ívanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné Ĺ›%0Ĺ„ely a akéko>vek verejné
publikovanie je bez predchádzajĹ›ceho sĹ›hlasu zakázané.
Autor: Martin Slota
1/2 MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY
MATURITNĹ» OKRUH 3: METĂ“DY DÔKAZOV V MATEMATIKE
1. príklad (31/Pr. 1)
Zadanie: Doká~te, ~e %0Ĺ„íslo 7 je iracionálne.
Dôkaz (sporom):
p p2
7 " Q Ň! 7 = (p, q " N; D(p, q) = 1)Ň! = 7 Ň! p2 = q2 Ĺ" 7 Ň! 7 | p2 Ň! 7 | p Ň! "k(k " N); p = 7k Ň!
q
q2
Ň! 7q2 = 49k Ň! q2 = 7k Ň! 7 | q Ň! spor s tĹĽm, ~e D(p, q) = 1 Ň! neplatí negácia tvrdenia Ň! platí
pôvodné tvrdenie BTD.
Dôkaz pomocného tvrdenia:
TD: "n " N;7 | n2 Ň! 7 | n
Dôkaz (nepriamy):
obmena: "n " N;7 | n Ň! 7 | n2
2
üĹ‚
"n " N;7 | n Ň! "k " N;n = 7k +1 Ň! n2 = 49k +14k +1
ôĹ‚
2
7k + 2 Ň! n2 = 49k + 28k + 4
ôĹ‚
Ň! 7 | n2 Ň! platí obmenenĹĽ vĹĽrok Ň!
ĹĽĹ‚
M
ôĹ‚
2
ôĹ‚
7k + 6 Ň! n2 = 49k + 84k + 36
ţĹ‚
platí aj pôvodnĹĽ vĹĽrok BTD.
2. príklad (32/2)
Zadanie: Doká~te, ~e ak a + b " Q pre nejaké a,b "Q , tak aj a "Q aj b " Q .
Dôkaz (priamy):
p p p2 p
a + b "Q Ň! a + b = (p,q " N; p,q sĹ› neĹ›sdelite>né)Ň! a = - b Ň! a = - 2 b + b Ň!
q q q
q2
p2
üĹ‚
+ b - a
p p2
q2
ôĹ‚
Ň! 2 b = + b - a Ň! b = Ň! b "Q
ôĹ‚ BTD
p
q
q2 2
ĹĽĹ‚
q
ôĹ‚
( a + b "Q '" b "Q)Ň! a " Q
ôĹ‚
ţĹ‚
3. príklad (35/2)
Zadanie: Doká~te priamo: "a,b "(1, ");loga b + logb a e" 2.
Dôkaz (priamy):
loga a 1 1
"a,b "(1, ");loga b + logb a = loga b + = loga b + = x + (x = loga b)e" 2 BTD.
loga b loga b x
Pomocné tvrdenie:
1
"x " R+ ; x + e" 2 (ke~e a,b > 1, z grafu logaritmickej funkcie vieme, ~e loga b " R+ )
x
Dôkaz (priamy):
Zdroj: http://www.zones.sk
Pou~ívanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné Ĺ›%0Ĺ„ely a akéko>vek verejné
publikovanie je bez predchádzajĹ›ceho sĹ›hlasu zakázané.
Autor: Martin Slota
2/2 MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY
MATURITNĹ» OKRUH 3: METĂ“DY DÔKAZOV V MATEMATIKE
2
1 1 1 1 1
ëĹ‚ öĹ‚
"x " R+ ; x + e" 2 Ô! x2 + 2x + e" 4 Ô! x2 - 2 + e" 0 Ô! x - ÷Ĺ‚
e" 0 , %0Ĺ„o je zrejmé.
ěĹ‚
x x x
x2 x2
íĹ‚ Ĺ‚Ĺ‚
4. príklad (36/20)
Zadanie: Matematickou indukciou doká~te, ~e pre ka~dé prirodzené %0Ĺ„íslo n je 11n+1 +122n-1 delite>né
%0Ĺ„íslom 133.
Dôkaz (MI):
1. n = 1;133 |112 +121 Ô! 133 |133 platí.
2. TD : "n " N;133 |(11n+1 +122n-1)Ň! 133 | (11n+2 +122(n+1)-1)
"n " N;133 |(11n+1 +122n-1)Ň! 11n+1+1 +122n+1 = 11Ĺ"11n+1 +122 Ĺ"122n-1 = 11Ĺ"(11n+1 +122n-1)+133Ĺ"122n-1 Ň!
Ň! 133 |11Ĺ"(11n+1 +122n-1)'"133 |133Ĺ"122n-1 Ň! 133 |(11n+2 +122(n+1)-1) BTD
5. príklad (35/12)
1 1 1
Zadanie: Doká~te priamo, ~e ak %0Ĺ„ísla , , tvoria aritmetickĹ› postupnose, tak aj %0Ĺ„ísla
b + c c + a a + b
a2 ,b2,c2 tvoria aritmetickĹ› postupnose(a,b,c " R;a `" -b;a `" -c;b `" -c).
Dôkaz (priamy):
1 1 1 1 1 1 1 1 1
ëĹ‚"d öĹ‚
, , tvoria AP Ň! " R; = + d '" = + d Ň! - =
ěĹ‚ ÷Ĺ‚
b + c c + a a + b c + a b + c a + b c + a c + a b + c
íĹ‚ Ĺ‚Ĺ‚
1 1 b + c - c - a a + c - a - b
= - Ň! = Ň! (b - a)(b + a) = (c - b)(c + b)Ň! b2 - a2 = c2 - b2 üĹ‚
ôĹ‚
a + b c + a (c + a)(b + c) (a + b)(c + a)
Ň!
ĹĽĹ‚
ôĹ‚
2
Nech b2 - a2 = d
ţĹ‚
2 2
Ň! c2 - b2 = d Ň! a2 ,b2 ,c2 sĹ› %0Ĺ„leny AP s diferenciou d BTD.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Metody pracy ksztaltujace pojecia matematyczneMetody matematyczne fizykiWybrane metody aktywizujące na matematycemetody matematyczne opis do prezentacjiREFERAT METODY AKTYWIZUJaCE NA LEKCJACH MATEMATYKIMatematyczne metody fizykiAnaliza Matematyczna 2 ZadaniaMetody numeryczne w11więcej podobnych podstron