Metody matematyczne dla fizyków
Krzysztof Golec Biernat
(23 paz
dziernika 2007)
Wersja robocza nie do dystrybucji
Uniwersytet Rzeszowski
2007-08
Spis treści
1 Ciało liczb zespolonych 4
1.1 Liczby zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Sprze zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
¸Å¼enie
1.3 PÅ‚aszczyzna zespolona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Wzór Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Miejsca geometryczne liczb zespolonych . . . . . . . . . . . . 11
2 Szeregi zespolone 12
2.1 Szeregi o wyrazach zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Kryteria zbieżności szeregów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Kryterium d Alamberta . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 Kryterium Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Szeregi pote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
¸gowe
2.4 Szereg geometryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Funkcja eksponencjalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Uzasadnienie wzoru Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2
3 Funkcje zespolone 20
3.1 Funkcje zmiennej zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Pote całkowita liczby zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . 21
¸ga
3.3 Pierwiastki liczby zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Funkcje trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Funkcje hiperboliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.6 Logarytm zmiennej zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.7 Pote zespolona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
¸ga
3
Wykład 1
Ciało liczb zespolonych
1.1 Liczby zespolone
Motywacja dla wprowadzenia liczb zespolonych była cheć rozwia zania naj-

prostszego równania algebraicznego
x2 + 1 = 0, (1.1)
dla którego nie istnieje rozwia zanie w dziedzinie liczb rzeczywistych, gdyż
formalne rozwia zanie to
"
x = -1. (1.2)
Można byłoby zakończyć rozważania na ten temat stwierdzaja c, że takie
równanie nie posiada rozwia zań. Jednak, szukaja c rozwia zań równania
x3 + 2x2 - x - 2 = 0 (1.3)
znajdujemy trzy pierwiastki rzeczywiste równe ą1 oraz -2. Z drugiej strony
korzystaja c z wzorów Cardano na pierwiastki wielomianów trzeciego stopnia
znajdujemy te same pierwiastki pod warunkiem, że w krokach pośrednich
potrafimy wycia gna ć pierwiastek z liczby ujemnej.
W wyniku dogłebnej analizy tego problemu zostało wypracowane pojecie
 
liczby zespolonej jako pary liczb rzeczywistych
z = (x,y). (1.4)
4
W zbiorze takich par C wprowadzimy dwa działania, dodawanie i mnożenie
z1 + z2 = (x1,y1) + (x2,y2) = (x1 + x2 , y2 + y2) (1.5)
z1 · z2 = (x1,y1) · (x2,y2) = (x1x2 - y1y2 , x1y2 + y1x2). (1.6)
Zauważmy, że dla liczb zespolonych z drugim elementem pary równym zero
z = (x,0) (1.7)
otrzymujemy reguły dodawania i mnożenia takie jak dla liczb rzeczywistych
z1 + z2 = (x1 + x2 , 0) (1.8)
z1 · z2 = (x1x2 , 0) (1.9)
Możemy wiec utożsamić zbiór takich par ze zbiorem liczb rzeczywistych

R = {(x,0); x " R}, (1.10)
w szczególności zespolona postać zera i jedynki to
0 = (0,0) 1 = (1,0). (1.11)
Kluczowym dla konstrukcji rozszerzenia zespolonego liczb rzeczywistych
jest twierdzenie, że zbiór par C z działaniami (1.5) i (1.6) tworzy cia-
ło liczbowe o własnościach takich samych jak ciało liczb rzeczywistych.
Oznacza to, że przy operowaniu liczbami zespolonymi możemy sie posługi-

wać dobrze znanymi regułami działań na liczbach rzeczywistych.
Posługiwanie sie wzorem (1.6) dla mnożenia nie jest wygodne, gdyż wy-

maga zapamietania nienaturalnej z punktu widzenia działań na liczbach

rzeczywistych reguły. W zwia zku z tym wprowadza sia inna notacje oparta

na nastepuja cej tożsamości

(x,y) = (x,0) + (0,y) = (x,0) · (1,0) + (y,0) · (0,1). (1.12)
Definiuja c liczbe zespolona - jednostke urojona
 
i a" (0,1) (1.13)
i pamietaja c o utożsamieniu (1.7), otrzymujemy zapis

z = x + iy (1.14)
5
Wprowadza sie terminologie, x to cześć rzeczywista liczby zespolonej na-
  
tomiast y to jej cześć urojona:

x = Rez y = Imz . (1.15)
A
atwo sprawdzić, że mnoża c dwie liczby zespolone według reguł słusz-
nych dla liczb rzeczywistych otrzymamy wynik (1.6) pod warunkiem, że
zasta pimy
i2 = (0,1) · (0,1) = (-1,0) = -1 (1.16)
Rzeczywiście
z1 · z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 + i2y1y2 + i(x1y2 + y1x2)
= (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + y1x2). (1.17)
Własność i2 = -1 powoduje, że ąi sa rozwia zaniami równania (1.1).
Policzmy jeszcze element odwrotny do dowolnej liczby zespolonej z = 0

1 1 (x - iy) x - iy x -y
= = = + i . (1.18)
z (x + iy) (x - iy) x2 + y2 x2 + y2 x2 + y2
Oczywiście
1 1
z · = · z = 1. (1.19)
z z
Przykład
1 1 1 - 2i 1 - 2i 1 2
= = = - i
1 + 2i 1 + 2i 1 - 2i 5 5 5

1 1
Re =
1 + 2i 5

1 2
Im = -
1 + 2i 5
Bardzo ważna cecha odróżniaja ca liczby zespolone od liczb rzeczywistych
jest to, że liczb zespolonych nie można uporza dkować. Tak wiec zapis

z1 < z2 nie ma sensu dla liczb zespolonych z różna od zera cześcia urojona .

6
1.2 Sprz¸
eżenie zespolone
Dla każdej liczby zespolonej z definiuje sie liczbe zespolona do niej sprze-
  
żona
z = x + iy z" = x - iy (1.20)
Iloczyn tych liczb to kwadrat ich modułu
z · z" = x2 + y2 a" |z|2 = |z"|2 (1.21)
Tak wiec moduł liczby zespolonej to liczba rzeczywista


"
|z| = z · z" = x2 + y2 (1.22)
Dla liczby rzeczywistej (y = 0) otrzymujemy znana nam definicje modułu.
 
Zauważmy, że można uporzadkować moduły liczb zespolonych, gdyż sa one
 
liczbami rzeczywistymi.
Regułe odwracania liczby zespolonej (1.18), można teraz zapisać w pro-

sty sposób
1 1 z" z" z"
= = = (1.23)
z z z" z · z" |z|2
Sprzeżenie zespolone posiada nastepuja ce własności
 
(z")" = z (1.24)
" "
(z1 + z2)" = z1 + z2 (1.25)
" "
(z1 · z2)" = z1 · z2 (1.26)
" "
z1 z1
= . (1.27)
"
z2 z2
Z trzeciej i czwartej własności wynika
|z1 · z2| = |z1||z2|. (1.28)


z1 |z1|

= . (1.29)

z2 |z2|
Dla dodawania obowia zuje nierówność trójka ta
|z1 + z2| |z1| + |z2|. (1.30)
7
Przykład
"
1 + 2i (1 + 2i)" (1 - 2i)
= =
1 - 3i (1 - 3i)" (1 + 3i)
"


1 + 2i |1 + 2i| 5 1

" "
= = = .

1 - 3i |1 - 3i|
10 2
Korzystaja c z
z = x + iy z" = x - iy (1.31)
otrzymujemy
z + z" z - z"
x = Rez = y = Imz = (1.32)
2 2i
Liczba zespolona jest czysto rzeczywista jeśli Imz = 0, tzn
z = z" (1.33)
natomiast jest czysto urojona, gdy Rez = 0, tzn. z = iy. Wtedy
z = -z" . (1.34)
1.3 PÅ‚aszczyzna zespolona
Liczby zespolone to pary liczb rzeczywistych, które można przedstawić jako
punkty dwuwymiarowej płaszczyzny zespolonej Arganda. Dodawanie
dwóch liczb zespolonych to po prostu dodawanie dwóch wektorów wyzna-
czaja cych liczby zespolone. Interpretacja mnożenia wymaga jednak dodat-
kowego wysiłku.
Zauważmy, że z = 0 możemy scharakteryzować przy pomocy współrze-


dnych biegunowych (r,Ć):
x = r cosĆ (1.35)
y = r sinĆ (1.36)
gdzie ka t Ć nazywa sie argumentem lub faza liczby zespolonej, natomiast

promień wodza cy r jest równy jej modułowi

r = x2 + y2 = |z| (1.37)
8
Otrzymujemy wiec postać trygonometryczna liczby zespolonej

z = x + iy = r (cosĆ + i sinĆ) (1.38)
Mnoża c dwie liczby zespolone otrzymamy
z1 · z2 = r1 r2 (cos Ć1 + i sinĆ1)(cos Ć2 + i sinĆ2)
= r1 r2 {(cos Ć1 cos Ć - sinĆ1 sinĆ2) + i(sinĆ1 cosĆ2 + cosĆ1 sinĆ2)}
= r1 r2 {cos(Ć1 + Ć2) + i sin(Ć1 + Ć2)}. (1.39)
Tak wiec mnożenie liczb zespolonych polega na dodaniu ich faz oraz pomno-

żeniu ich modułów. Dla ilorazu otrzymujemy nastepuja cy wzór

z1 r1 (cos Ć1 + i sinĆ1) (cos Ć2 - i sinĆ2)
=
z2 r2 (cos Ć2 + i sinĆ2) (cos Ć2 - i sinĆ2)
r1 (cos Ć1 cos Ć + sinĆ1 sinĆ2) + i(sinĆ1 cos Ć2 - cosĆ1 sinĆ2)
=
r2 cos2 Ć2 + sin2 Ć2
r1
= {cos(Ć1 - Ć2) + i sin(Ć1 - Ć2)}. (1.40)
r2
Przy dzieleniu otrzymujemy różnice faz i iloraz modułów.

Dla sprzeżenia zespolonego otrzymujemy zmiana znaku fazy, gdyż cosi-

nus jest funkcja parzysta natomiast sinus jest funkcja nieparzysta
z" = x - iy = r (cos Ć - i sinĆ) = r {cos(-Ć) + i sin(-Ć)}. (1.41)
Przykład:

" "
1 1 Ä„ Ä„
" "
1 + i = 2 + i = 2 cos + isin
4 4
2 2

" "
1 1 Ä„ Ä„
"
1 - i = 2 - " i = 2 cos - isin
4 4
2 2

" "
Ä„ Ä„ 7Ä„ 7Ä„
= 2 cos - + isin - = 2 cos + isin
4 4 4 4
9
1.4 Wzór Eulera
W jednym z nastepnych wykładów udowodnimy wzór Eulera

eiĆ = cos Ć + i sinĆ (1.42)
Wykładnik eksponenty jest czysto urojony, tzn. Ć jest liczba rzeczywista .
Wtedy postać trygonometryczna liczby zespolonej to
z = |z|eiĆ (1.43)
Zauważmy, że moduł liczby zespolonej eiĆ jest równy jeden

|eiĆ| = cos2 Ć + sin2 Ć = 1. (1.44)
Wystepuja ca tu eksponenta ma wszystkie własności eksponenty z argumen-

tem czysto rzeczywistym. Tak wiec

eiĆ1 eiĆ2 = ei(Ć1+Ć2) (1.45)
eiĆ1
= ei(Ć1-Ć2) (1.46)
eiĆ2
W istocie udowodniliśmy już te własności w poprzednim rozdziale (przy
założeniu, że wzór (1.42) jest sluszny). Ze wzgledu na okresowość funkcji

trygonometrycznych z okresem równym 2Ą zachodzi także
ei(Ć+2Ą) = eiĆ . (1.47)
Ze wzoru Eulera wynika wspaniała relacja wia ża ca cztery podstawowe stałe
w matematyce
eiĄ + 1 = 0 (1.48)
Przykład
Policzmy
ei·0 = 1, ei·Ä„/2 = i, ei·Ä„ = -1, e3i·Ä„/2 = -i, e2i·Ä„ = 1
Odta d bedziemy operować postacia trygonometryczna (1.43) liczb ze-

spolonych, w której wykorzystny jest wzór Eulera.
10
1.5 Miejsca geometryczne liczb zespolonych
Przy pomocy równości lub nierówności z liczbami zespolonymi można okre-
ślić obszary geomeryczne na płaszczyz
nie zespolonej.
Podstawowa obserwacja jest stwierdzenie, że

|z - z0| = (x - x0)2 + (y - y0)2 (1.49)
jest odległościa euklidesowa pomiedzy dwoma punktami płaszczyzny ze-

spolonej z = (x,y) oraz z0 = (x0,y0).
Wtedy zbiór punktów z spełniajacych równanie

|z - z0| = R <=> (x - x0)2 + (y - y0)2 = R2 . (1.50)
definiuje na płaszczyz
nie zespolonej okra g o środku w punkcie z0 i promie-
niu R. Natomiast warunek
|z - z0| R (1.51)
określa koło o tym samy środku i promieniu.
Elipsa to miejsce geometryczne punktów płaszczyzny takich, że suma od-
ległości od dwóch ustalonych punktów (ognisk elipsy) jest stała. Wybieraja c
ogniska w punktach a i b płaszczyzny zespolonej określamy elipse poprzez

równanie zespolone
|z - a| + |z - b| = R. (1.52)
Przykład
Znalez
ć miejsce geometryczne określone przez równanie zespolone
z2 = 2i. Zapisuja c je przy pomocy z = x + iy dostajemy
(x + iy)2 = (x2 - y2) + i(2xy) = 2i
co prowadzi do układu równań
x2 - y2 = 0, 2xy = 2.
Pierwsze równanie prowadzi do warunku x = ąy, natomiast drugie
daje y2 = ą1. Ponieważ y jest liczba rzeczywista, stad y = ą1. Miejsce
  
geometryczne to dwa wierzchołki kwadratu (ą1,ą1).
11
Wykład 2
Szeregi zespolone
2.1 Szeregi o wyrazach zespolonych
Szeregiem nazywamy formalne wyrażenie
"

an . (2.1)
n=0
Jeżeli an " C to jest to szereg o wyrazach zespolonych.
Powstaje pytanie kiedy taki szereg ma skończona wartość, czyli kiedy
jest zbieżny. Rozważmy ciag skończonych sum cześciowych dla N = 0,1,...
 
N

SN = an (2.2)
n=0
Szereg (2.1) jest zbieżny jeśli istnieje skończona granica ciagu sum cześciowych
 
lim SN = S < ". (2.3)
N"
Granice S nazywamy wtedy suma szeregu. Jeżeli granica taka nie istnieje

to szereg (2.1) nazywamy rozbieżnym.
Jeżeli suma szeregu modułów wyrazów szeregu (2.1) jest skończona,
"

|an| < ", (2.4)
n=0
to szereg (2.1) jest bezwglednie zbieżny.

12
2.2 Kryteria zbieżności szeregów
2.2.1 Kryterium d Alamberta
Użytecznym kryterium bezwglednej zbieżności szeregu jest kryterium d Alam-

berta. Rozważamy granice ilorazów modułów kolejnych wyrazów szeregu

|an+1|
lim = Á (2.5)
n"
|an|
W zależnoÅ›ci od wartoÅ›ci Á otrzymujemy
Å„Å‚
ôÅ‚
< 1 szereg jest bezwzglednie zbieżny
òÅ‚

Á = > 1 szereg jest rozbieżny (2.6)
ôÅ‚
ół
= 1 nie wiadomo
Przykład
Policzmy
"
"
|1 + i|n+1
(1 + i)n , Án = = |1 + i| = 2 > 1, rozbieżny
|1 + i|n
n=0
"

(3 + 2i)n |3 + 2i|
, Án = 0, bezwglednie zbieżny

n! n + 1
n=0
"

1 + i n2 1
, Án = = 1 nie wiadomo
n2 (n + 1)2 (1 + 1/n)2
n=0
Ostatni szereg jest zbieżny na podstawie innego kryterium.
2.2.2 Kryterium Gaussa
Załóżmy, że dla wszystkich n > N stosunek kolejnych wyrazów szeregu (2.1)
może być zapisany w postaci
|an+1| Ä… ²(n)
= 1 - + , (2.7)
|an| n n1+´
gdzie ´ > 0, Ä… jest staÅ‚a , natomiast ²(n) jest ograniczone w granicy n ".
Wtedy dla

> 1 szereg jest bezwglednie zbieżny

Ä… = (2.8)
1 szereg jest rozbieżny
13
Przykład
1. Zbadajmy zbieżność szeregu
"

1
(2.9)
n2
n=1
Kryterium d Alamberta jest nie roztrzyga tego, daja c Á = 1. Zastosuj-
my kryterium Gaussa. Dla dostatecznie dużych n znajdziemy
|an+1| n2 1 1
= = =
|an| (n + 1)2 (1 + 1/n)2 1 + 2/n + 4/n2
2
2 4 2 4
= 1 - ( + ) + + - ...
n n2 n n2
2 ²(n)
= 1 - + (2.10)
n n2
z funkcja ²(n) ograniczona dla n ":
1
²(n) = const + + ... .
n2
Sta d ą = 2 > 1 i szereg jest bezwglednie zbieżny.

2. W ten sam spsosób udowodnimy, że szereg
"

1
(2.11)
n
n=1
jest rozbieżny. Policzmy tym razem
|an+1| n 1
= =
|an| n + 1 1 + 1/n
1 1 1
= 1 - + - + ...
n n2 n3
1 ²(n)
= 1 - + (2.12)
n n2
gdzie funkcja ²(n) = 1 - (1/n) + ... jest ograniczona dla n ". Sta d
ą = 1 i szereg jest rozbieżny.
14
2.3 Szeregi pot¸
egowe
Szeregiem potegowym o środku w punkcie z0 " C nazywamy wyrażenie

"

f(z) = an(z - z0)n (2.13)
n=0
z zespolonymi współczynnikami an oraz z " C.
Kryterium d Alamberta prowadzi do wniosku, że szereg potegowy jest

bezwglednie zbieżny gdy

|an+1(z - z0)n+1| |an+1|
Án = = |z - z0| .
|an(z - z0)n| |an|
W granicy otrzymujemy
|an+1|
lim Án = |z - z0| lim = |z - z0|Á. (2.14)
n" n"
|an|
Sta d szereg potegowy jest bezwzglednie zbieżny dla liczb zespolonych z
 
spełniaja cych warunek:
1
|z - z0| < , (2.15)
Á
gdzie
|an+1|
Á = lim . (2.16)
n"
|an|
Obszarem zbieżności jest wiec wnetrze koła o środku w punkcie z0 i pro-
 
mieniu R = 1/Á. Wielkość R nazywa sie promieniem zbieżnoÅ›ci szeregu
 
potegowego.

Przykład
1. Funkcja zdefiniowana przy pomocy szeregu potegowego

"

zn
f(z) =
n
n=0
Licza c
|an+1| n 1
Á = lim = lim = lim = 1,
1
n" n" n"
|an| n + 1
1 +
n
15
otrzymujemy promieÅ„ zbieżnoÅ›ci R = 1/Á = 1. Szereg jest zbieżny w
wnetrzu koła jednostkowego o środku w punkcie z0 = 0.

2. Dla szeregu
"

(z + 1 - i)n
,
3n n2
n=0
środek koła zbieżności to z0 = -1 + i. Licza c
|an+1| 3n n2 1 1
Á = lim = lim = lim = ,
n" n"
|an| 3n+1 (n + 1)2 n" 3(1 + 1/n)2 3
znajdujemy promieÅ„ zbieżnoÅ›ci R = 1/Á = 3.
2.4 Szereg geometryczny
Szeregu geometryczny jest zdefiniowany w nastepuja cy spsoób

"

f(z) = zn (2.17)
n=0
Obszar zbieżności to wnetrze koła o środku w punkcie z0 = 0. Licza c

|an+1| 1
Á = lim = lim = 1 (2.18)
n" n"
|an| 1
znajdujemy promieÅ„ zbieżnoÅ›ci R = 1/Á = 1. Obszar zbieżnoÅ›ci jest zatem
zadany przez warunek |z| < 1.
Policzmy sume szeregu geometrycznego, rozważaja c N-ta sume cześcio-
  
wa
1 - zN+1
SN = 1 + z + z2 + ... + zN = . (2.19)
1 - z
W obszarze zbieżności szeregu limN" |z|N+1 = 0 i sta d granica
1
S = lim SN = . (2.20)
N" 1 - z
Tak wiec dla |z| < 1 zachodzi

"

1
zn = (2.21)
1 - z
n=0
16
2.5 Funkcja eksponencjalna
Funkcja eksponencjalna zmiennej zespolonej z jest zdefiniowana poprzez
szereg potegowy:

"

zn
ez = (2.22)
n!
n=0
Podstawiaja c liczbe rzeczywista z = x otrzymujemy znana z analizy rzeczy-

wistej funkcje eksponencjalna ex, gdzie e to liczba Eulera

n
"

1 1
e = = lim 1 + H" 2.71828. (2.23)
n"
n! n
n=0
Funkcja ez jest rozszerzeniem funkcji rzeczywistej ex na cała płaszczyzne

zespolona . Licza c bowiem

1

|an+1| n! 1
n

Á = lim = lim = lim = lim = 0,

1
n" n" n"
|an| (n + 1)! n" n + 1
1 +
n
stwierdzamy, że promieÅ„ zbieżnoÅ›ci R = 1/Á = " i szereg (2.22) jest bez-
wzglednie zbieżny na całej płaszczyz
nie zespolonej.

Dla funkcji eksponencjalnej słuszny jest wzór
ez1 ez2 = ez1+z2 (2.24)
Udowodnimy to mnożac dwa szeregi


2 3 2 3
z1 z1 z2 z2
1 + z1 + + + ... 1 + z2 + + + ... =
2! 3! 2! 3!

2 2 3 2 2 3
z1 z2 z1 z1 z2 z2
= 1 + (z1 + z2) + + z1z2 + + + z2 + z1 + + ...
2! 2! 3! 2! 2! 3!

(z1 + z2)2 (z1 + z2)3
= 1 + (z1 + z2) + + + ... .
2! 3!
17
Ze wzoru tego znajdujemy dla dowolnego n " N
(ez)n = ez · ... · ez = enz (2.25)

n-razy
Ponadto z równości eze-z = e0 = 1 wynika
1
= e-z (2.26)
ez
2.6 Uzasadnienie wzoru Eulera
Policzmy funkcje eksponencjalna dla czysto urojonego argumentu z = iy,

"

(iy)n " (iy)2k " (iy)2k+1
eiy = = +
n! (2k)! (2k + 1)!
n=0 k=0 k=0
"

y2k " y2k+1
= (-1)k + i (-1)k
(2k)! (2k + 1)!
k=0 k=0

y2 y4 y y3 y5
= 1 - + + ... +i - + + ... (2.27)
2! 4! 1! 3! 5!

cos y
siny
gdzie zidentyfikowaliśmy rozwiniecia w szereg Taylora funkcji cosinus i sinus

zmiennej rzeczywistej y. Udowodniliśmy w ten sposób wzór Eulera :
eiy = cosy + i siny (2.28)
Wzór ten pozwala zapisać liczbe zespolona w postaci

z = r (cos Ć + i sinĆ) = r eiĆ (2.29)
Postać to pozwala w naturalny sposób mnożyć i dzielić liczby zespolone
z1 · z2 = (r1eiĆ1)(r2eiĆ2) = r1 r2 ei(Ć1+Ć2) (2.30)
z1 r1 eiĆ1 r1
= = ei(Ć1-Ć2) (2.31)
z2 r2 eiĆ2 r2
18
Przykład
Przy pomocy formy biegunowej Å‚atwo policzymy
"
1 + i = 2eiĄ/4
"
1 - i = 2e-iĄ/4
" "
-1 - i = (-1) · (1 + i) = eiÄ„ 2eiÄ„/4 = 2e5Ä„ i/4
" "
-1 + i = (-1) · (1 - i) = eiÄ„ 2e-iÄ„/4 = 2e3Ä„ i/4
Wzór (2.28) pozwala policzyć wartość funkcji eksponencjalnej dla dowol-
nego argumentu zespolonego
ez = ex+iy = exeiy . (2.32)
Sta d
ez = ex(cos y + isiny) (2.33)
Zauważmy że ze wzgledu na okresowość funkcji trygonometrycznych eks-

ponenta nie zmienia sie przy transformacji:

y y + 2Ä„k . (2.34)
Funkcja eksponencjalna jest wiec funcja okresowa z okresem podstawo-

wym 2Ąi, gdyż dla dowolnych całkowitych k zachodzi
ez+i(2Ä„k) = ez (2.35)
Przykład
Obliczmy
e4+3Ä„i = e4 e3Ä„i = e4 {cos(3Ä„) + isin(3Ä„)} = -e4 .
19
Wykład 3
Funkcje zespolone
3.1 Funkcje zmiennej zespolonej
Jeśli znamy regułe przypisuja ca liczbie zespolonej z liczbe zespolona w to
 
mówimy, że w jest funkcja z, co zapisujemy

w = f(z). (3.1)
Jeśli według tej regułu jednej liczbie z odpowiada jedna liczba w to mamy
funkcje jednowartościowa . Jeżeli jednej wartości z odpowiada wiele war-

tości w to otrzymujemy funkcje wielowartościowa . Ponieważ w = u + iv

jest liczba zespolona , która zależy od liczby zespolonej z = x + iy to
f(z) = u(x,y) + iv(x,y). (3.2)
Mówimy, że funkcja u to cześć rzeczywista funkcji f, natomiast v to jej

cześć urojona.

Przykład:
Dla f(z) = z2 mamy
w = z2 = (x + iy)2 = (x2 - y2) + 2ixy
Sta d
u(x,y) = x2 - y2 v(x,y) = 2xy .
20
Jeżeli ograniczamy sie tylko do pewnego podzbioru płaszczyzny zespo-

lonej D ‚" C, z której dziaÅ‚a funkcja to D nazywamy dziedzina funkcji f.
Wtedy
R = f(D) (3.3)
to obraz dziedziny poprzez funkcje f. Zwykle staramy sie określić funkcje
  
na całej płaszczyz
nie zespolonej z wyja tkiem punktów, w których wartość
funkcji jest nieskończona lub nieokreślona. Na przykład
1
f(z) = (3.4)
1 + z
jest nieskończona w punkcie z = -1.
Przykład:
Funkcja w = z2 z dziedzina D
D = {z = (x,y); x 0, y 0}
odwzorowuje pierwsza ćwiartke płaszczyzny zespolonej w górna pół-

płaszczyzne

R = {w = (u,v); -" < u < ", v 0}.
3.2 Pot¸ caÅ‚kowita liczby zespolonej
ega
Liczbe zespolona można podnieść do potegi całkowitej n, korzystaja c ze
 
wzoru
zn = (reiĆ)n = rn einĆ (3.5)
Otrzymujemy w ten sposób funkcje potegowa o wykładniku natutalnym
 
f(z) = zn (3.6)
Dla z = eiĆ otrzymujemy wzór de Moivre a
(cos Ć + i sinĆ)n = cos(nĆ) + i sin(nĆ) (3.7)
Możemy przy jego pomocy wyprowadzić wzory trygonometryczne na wielo-
krotność ka ta, na przykład
(cos Ć + i sinĆ)2 = (cos2 Ć - sin2 Ć) + i(2sin Ć cos Ć) = cos(2Ć) + i sin(2Ć)
i stad

cos(2Ć) = cos2Ć - sin2Ć (3.8)
sin(2Ć) = 2 sinĆ cos Ć. (3.9)
21
Przykład:
Policzmy
" "
(1 + i)100 = ( 2eiĄ/4)100 = ( 2)100 (eiĄ/4)100 = 250 e25Ąi = -250 .
3.3 Pierwiastki liczby zespolonej
Zdefiniujemy n-ty pierwiastek liczby zespolonej korzystaja c ze wzoru
1/n 1/n
"
n
z = z1/n = r eiĆ = r ei(Ć+2Ąk) (3.10)
gdzie k " Z. Sta d ostateczny wzór

"
i(Ć + 2Ąk)
n
z = r1/n exp (3.11)
n
Dla k = 0,1,... ,(n-1) otrzymujemy n różnych pierwiastków. Sta d funk-
cja
"
n
f(z) = z (3.12)
jest wielowartościowa, tzn. tej samej wartości z odpowiada n różnych
wartości pierwiastka.
Przykład
Obliczmy trzeci pierwiastek z jedynki
"
3
1 = e2Ä„k i/3 , k = 0,1,2 (3.13)
i sta d trzy pierwiastki
z1 = 1
"
3
z2 = e2Ä„ i/3 = -1 + i
2 2
"
3
z3 = e4Ä„ i/3 = -1 - i. (3.14)
2 2
22
3.4 Funkcje trygonometryczne
Z równań
eiy = cosy + i siny (3.15)
e-iy = cosy - i siny (3.16)
wyliczymy cosinus i sinus zmiennej rzeczywistej y
eiy + e-iy eiy - e-iy
cos y = , siny = . (3.17)
2 2i
Zastepuja c y zmienna zespolona z, otrzymujemy jako definicje

eiz + e-iz eiz - e-iz
cosz = sinz = (3.18)
2 2i
Funkcje te sa określone na całej płaszczyz
nie zespolonej. W przeciwieństwie
do argumentu zespolonego moduł zespolonych funkcji trygonometrycznych
nie jest ograniczony, gdyż dla y ą " znajdujemy


ei(iy) + e-i(iy) e-y + ey

|cos(iy)| = = ".

2 2
Funkcje tangens i cotangens zdefiniowane sa w nastepuja cy sposób

sinz cos z
tg z = , ctg z = . (3.19)
cos z sinz
A
atwo udowodnić, że dla argumentu zepolonego wcia ż słuszna jest toż-
samość
cos2 z + sin2 z = 1. (3.20)
Ponadto, cosinus jest funkcja parzysta , natomiast sinus nieparzysta
cos(-z) = cosz ,
sin(-z) = -sin(z). (3.21)
Przykład
Policzmy
1
cos(5i) = (e-5 + e5).
2
23
3.5 Funkcje hiperboliczne
Definiuje sie funkcje hiperboliczne określone na całej płaszczyz
nie zespolonej

ez + e-z ez - e-z
coshz = sinhz = . (3.22)
2 2
Zachodzi dla nich
cosh2 z - sinh2 z = 1. (3.23)
Podobnie jak dla funkcji trygonometrycznych, cosh jest funkcja parzysta ,
natomiast sinh jest funkcja nieparzysta :
cosh(-z) = cosh z (3.24)
sinh(-z) = -sinhz . (3.25)
W analogii do funkcji trygonometrycznych defniujemy również tangens
i cotangens hiperboliczny
sinhz coshz
tghz = , ctghz = . (3.26)
coshz sinhz
Przykład
Policzmy
eiĄ + e-iĄ
cosh(iĄ) = = cos Ą = 1
2
eiĄ - e-iĄ
sinh(iĄ) = = isinĄ = 0.
2
Przykład ten ilustruje prosty zwia zek pomiedzy funkcjami hiperbolicz-

nymi i trygonometrycznymi
cosh(iz) = cosz
sinh(iz) = i sinz . (3.27)
24
3.6 Logarytm zmiennej zespolonej
Logarytm zmiennej zespolonej z = 0 definiuje sie jako funkcje odwrotna do

 
funkcji wykładniczej,
w = lnz , <=> ew = z (3.28)
Sta d wynika
eln z = z (3.29)
Ze wzgledu na okresowość funkcji wykładniczej

ew = ew+2Ä„k i (3.30)
logarytm jest funkcja wieloznaczna dla k " Z. Tej samej wartości z odpo-
wiada wiec nieskończenie wiele wartości logarytmu

lnz = w + 2Ä„k i . (3.31)
Dla postaci biegunowej z = |z|eiĆ otrzymujemy
lnz = ln|z| + i(Ć + 2Ąk) (3.32)
gdyż
eln z = eln|z| + i(Ć + 2Ąk) = eln |z| ei(Ć + 2Ąk) = |z|eiĆ = z .
Wartości logarytmu dla ustalonego n nazywamy gałezia logarytmu.

Przykład
ln1 = ln|1| + i(0 + 2Ä„n) = 2Ä„ni
ln(-1) = ln| - 1| + i(Ą + 2Ąn) = iĄ + 2Ąni
ln(i) = lneiĄ/2 = ln|eiĄ/2| + i(Ą/2 + 2Ąn) = i(Ą/2 + 2Ąni)

" "
ln(1 + i) = ln 2eiĄ/4 = ln 2 + i(Ą/4 + 2Ąni).
25
Logarytm jest określony na całej płaszczyz
nie zespolonej z wyja tkiem
dowolnej półprostej o pocza tku w punkcie z = 0 zwanej cieciem. Zwykle

wybiera sie ja wzdłuż ujemnej półosi rzeczywistej. Wtedy gała z
główna lo-

garytmu jest zdefiniowana dla ka ta
-Ą < Ć Ą . (3.33)
Wartość logarytmu wykazuje skok przy przejściu przez ciecie. Tak wiec dla
 
liczb rzeczywistych mniejszych od zera mamy tuż powyżej ciecia

lnz = ln|z| + iĄ , (3.34)
a wykonuja c pełny obrót zgodnie z ruchem wskazówek zegara, otrzymujemy
tuż poniżej ciecia

lnz = ln|z| - iĄ .
Nie można wiec określić jednoznacznie wartości funkcji wzdłuż ciecia. Mo-
 
żemy natomiast rozważyć sytuacje, w której po wykonaniu pełnego obrotu

przechodzimy na inny płat Riemanna płaszczyzny zespolonej. Logarytm
jest wtedy funkcja jednoznaczna , określona na nieskończonej rodzinie takich
płatów.
Pocza tek ciecia w punkcie z = 0 nazywamy punktem rozgałezienia.
 
Przy jego obiegu wartość funkcji nie wraca do wartości wyjściowej wykazujac

niecia głość (skok).
1. Z definicji logarytmu i własności eksponenty otrzymujemy
eln(z1·z2) = z1 · z2 = eln z1 eln z2 = eln z1 + lnz2 .
Tak wec logarytm iloczynu to suma logarytmów z dokładnościa do
czynnika 2Ä„k i
ln(z1 · z2) = lnz1 + lnz1 + 2Ä„k i (3.35)
2. Podobnie, ze wzgledu na

z1 eln z1
eln(z1/z2) = = = elnz1 - lnz2 ,
z2 eln z2
otrzymujemy

z1
ln = lnz1 - lnz1 + 2Ä„k i (3.36)
z2
26
3. Policzmy jeszcze dla całkowitego n
n
n
eln(z ) = zn = elnz = en lnz
i stad

ln(zn) = n lnz + 2Ä„k i (3.37)
3.7 Pot¸ zespolona
ega
Operacje podnoszenia do zespolonej potegi w przy zespolonej podstawie
 
z = 0 definiujemy w nastepuja cy sposób


zw = ew ln z (3.38)
W wyniku funkcja
f(z) = zw (3.39)
jest wielowartościowa ze wzgledu na wystepuja cy w definicji logarytm. W
 
zwia zku z tym nie sa ogólnie słuszne relacje znane z przypadku rzeczy-
wistego
zw zu = zw+u

w w
(z1z2)w = z1 z2

(zw)u = zwu . (3.40)

Przykład
1. Policzmy
1i = ei ln 1 = ei{(0+2Ä„ni)} = e-2Ä„n . (3.41)
Otrzymaliśmy nieskończenie wiele wartości dla n " Z. Dla
1
"
i1/2 = e(ln i)/2 = ei(Ą/2+2Ąn)/2 = eiĄ/4 eiĄn = ą (1 + i)
2
mamy tylko dwie wartości.
2. Korzystajac z wyniku (3.41) znajdujemy

i
(1i)i = e-2Ä„n = ei ln e-2Ä„n= ei {-2Ä„n+2Ä„k i} = e-2Ä„n i-2Ä„k ,
gdzie k,n " Z. Podczas, gdy
1i·i = 1-1 = e- ln 1 = e-2Ä„ni = (1i)i .

27