ANDRZEJ OKNIC
SKI
FRAKTALNA STRUKTURA LABIRYNTÓW
Labirynty znane są od czasów starożytnych. Słynny labirynt egipski, który powstał w
czasach Amenemhata, faraona XII dynastii, panującego między 1850 a 1800 r. p.n.e., już nie
istnieje  pozostały jedynie szczątki granitowych kolumn w miejscowości Haouaret el-Makta
(w pobliżu Medinet el Fayoum, 104 km. na południowy zachód od Kairu). Labirynt egipski
opisywali Herodot (ok. 485 p.n.e.  ok. 425 p.n.e.) i Strabon (ok. 65 p.n.e.  ok. 20 n.e.).
Podobnie nie istnieje już labirynt, zbudowany na Krecie przez Dedala na rozkaz króla
Minosa, który występuje w micie greckim o Tezeuszu, Minotaurze i Ariadnie. Są natomiast
zachowane liczne starożytne labirynty w formie budowli, rysunków naskalnych oraz labirynty
ułożone z kamieni. W średniowieczu w katedrach gotyckich układano labirynty z płyt na
posadzce nawy głównej, przeznaczone do przemierzania przez wiernych. W póz
niejszym
okresie popularne były labirynty żywopłotowe, budowane w celach rozrywkowych.
Najsłynniejszy labirynt żywopłotowy, stworzony został w 1690 r. przy pałacu w Hampton
(obecnie jest to przedmieście miasta Richmond pod Londynem)1. Przeznaczenie większości
labiryntów, zwłaszcza tych najstarszych, nie jest jednak znane. Z pewnością odgrywały rolę
symboliczną i sakralną, dziś jednak już zapomnianą.
Wiele labiryntów ma budowę hierarchiczną, samopodobną. Samopodobieństwo jest cechą
typową dla fraktali  obiektów geometrycznych, które posiadają złożoną strukturę w każdej
skali. Poniżej kolejno opiszemy podstawowe własności fraktali, podamy klasyfikację
labiryntów, przedstawimy fraktalne algorytmy budowania trzech, należących do najstarszych,
typów labiryntów, na zakończenie spróbujemy sformułować wnioski.
1 FRAKTALE
Fraktale są obiektami geometrycznymi, posiadającymi złożoną strukturę w każdej skali, to
znaczy widoczną przy dowolnym powiększeniu fragmentu fraktala. Konsekwencją takiej
struktury fraktali jest ich samopodobieństwo2.
PodstawowÄ… metodÄ… generowania fraktali jest metoda inicjator/generator. Konstrukcje
zaczynamy od pewnego, w zasadzie dowolnego obiektu geometrycznego, zwanego dalej
inicjatorem, np. odcinka pokazanego na rys. 1a. Następnie na inicjatorze wykonujemy pewną
operacjÄ™, np. pokazanÄ… na rys. 1b, tak zwany generator. Fraktal definiujemy jako obiekt
1
Labirynt ten opisany został w opowiadaniu Jerome K. Jerome, Trzech panów w łódce, nie licząc psa,  Książka i
Wiedza , Warszawa 1988.
2
H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe, Granice Chaosu. Fraktale, tom 1, Warszawa 1995, tom 2, Warszawa
1996, Wydawnictwo Naukowe PWN.
powstały w wyniku wykonania nieskończenie wielu takich operacji. Na rys. 1c pokazano
wynik powtórzenia operacji z rys. 1b, na rys. 1d zaprezentowano efekt wykonania wielu
takich operacji  przybliżenie krzywej Kocha, opisanej w 1904 r. przez matematyka
szwedzkiego Kocha.
1d
Rys. 1 Konstukcja krzywej Kocha
Na rysunkach 2a, 2b, 2c pokazano kolejne etapy konstrukcji krzywej zdefiniowanej w
1891 r. przez niemieckiego matematyka Hilberta.
2a 2b 2c
Rys. 2 Konstrukcja krzywej Hilberta
Fraktale mają niezwykła własności. Na przykład, krzywa Kocha ma nieskończoną długość
i jest nieróżniczkowalne, natomiast krzywa Hilberta, otrzymana w wyniku nieskończenie
wielu operacji przedstawionych na rys. 2, pokrywa wnętrze kwadratu i również jest
nieróżniczkowalna. Fraktale stosuje się do opisu świata. Istnieje w przyrodzie wiele obiektów,
np. krzywych, które bardziej przypominają krzywą Kocha niż odcinek  mają samopodobną
hierarchiczną strukturę i ich długość jest praktycznie nieskończona. Dobrym przykładem
takiej krzywej jest linia brzegowa rzeki (np. Wisły) lub linia brzegowa wyspy (np. Wielkiej
Brytanii). Innymi takimi obiektami są chmury, grzbiety górskie lub płuca. Oczywiście nie
istnieją w przyrodzie fraktale o nieskończonej hierarchicznej budowie. Z drugiej strony, nie
istnieją również obiekty geometrii Euklidesa takie jak okręgi lub płaszczyzny. Natomiast do
opisu struktury pewnych obiektów, takich na przykład jak chmury, znacznie lepiej nadaje się
opis fraktalny niż opis w ramach geometrii Euklidesa.
2 LABIRYNTY
Labirynty można podzielić na następujące grupy:3
1. Labirynty świata antycznego
2. Labirynty mozaikowe
3. Labirynty kościelne
4. Labirynty symboliczne
5. Labirynty żywopłotowe
6. Labirynty trawnikowe
7. Labirynty petaloidalne
8. Labirynty kwadratowe typu mykeńskiego
9. Labirynty herbowe na portretach.
Najstarsze labirynty sięgają epoki megalitycznej. Pojawiają się ok. 2500 lat p.n.e. w
Irlandii, Anglii i Hiszpanii. Prawdopodobnie najstarsze, datowane na ok. 2550 rok p.n.e.,
znajdują się w Newgrange w dolinie rzeki Boyne w Irlandii. Są to rysunki naskalne o średnicy
kilkudziesięciu centymetrów i formie petaloidalnej (płatkopodobnej, gr. petalon  liść).
Labirynty petaloidalne występują na wybrzeżach Danii i Szwecji, Irlandii i Anglii, Hiszpanii,
na Wyspach Kanaryjskich. Takie labirynty znaleziono również w Rosji (Kandałaksza nad
Morzem Białym) oraz w Jordanii, Syrii, a nawet w Indiach. Podobnego rodzaju są
kwadratowe labirynty typu mykeńskiego, najstarszy został znaleziony w Pylos na Peloponezie
i datowany jest na około 1200 r. p.n.e. Oba typy labiryntów pojawiają się również na
monetach greckich, najstarsze (typu mykeńskiego) mają 2500 lat. Bardzo interesującą grupą
labiryntów są labirynty kościelne, układane z czarnych i białych płyt na posadzkach katedr
gotyckich.
3 FRAKTALNE ALGORYTMY GENEROWANIA LABIRYNTÓW
Poniżej podamy całkowicie samopodobne algorytmy fraktalne konstruowania kolejnych
generacji najstarszych typów labiryntów: labiryntów petaloidalnych, labiryntów
kwadratowych typu mykeńskiego oraz labiryntów mozaikowych.
3
Paul de Saint-Hilaire, Tajemny Świat Labiryntów, Wydawnictwo  Czakra , Warszawa 1994.
3.1 Labirynty petaloidalne i labirynty kwadratowe typu mykeńskiego
Na kolejnych rysunkach podany jest inicjator, generator oraz kolejna generacja labiryntu
petaloidalnego4. Na rys. 3a przedstawiony został inicjator  układ początkowy. Na rys. 3b
pokazano jak ściany 1, 1 zaginają się tworząc układ wewnętrzny dróg, natomiast ściany 2, 2
zawijają się wokół siebie tworząc układ zewnętrzny. Rys. 3c pokazuje kolejną generację
labiryntu, otrzymaną przez powtórzenie operacji ukazanych na rys. 3b. Strzałka wskazuje
wejście do labiryntu a kółko jego centrum.
Rys. 3 Algorytm generowania labiryntów petaloidalnych
Labirynt przedstawiony na rys. 3c jest labiryntem o siedmiu zwojach. Jest to
najczęściej występujący rodzaj labiryntu petaloidalnego. Warto dodać, że istnieją znacznie
4
Ten algorytm opisany został w: Andrzej Okniński, Elżbieta Oknińska, Labirynty i fraktale, Indeks (Politechnika
Świętokrzyska,) 30 (1996) 17; wcześniej został opisany inny, bardziej skomplikowany, algorytm: de Saint-
Hilaire, dz. cyt.
mniej liczne labirynty jedenastozwojowe, otrzymane ze schematu na rys. 3c poprzez
powtórzenie operacji geometrycznej generatora. Są również przykłady labiryntów
piętnastozwojowych. Algorytm przedstawiony na rys. 3 jest skomplikowany, nie jest rzeczą
dziwną, że znajduje się, wprawdzie bardzo nieliczne, labirynty wykonane niezgodnie z
powyższym przepisem.
Labirynty kwadratowe typu mykeńskiego otrzymuje się w analogiczny sposób. Jedyną
różnicą jest to, że ściany labiryntów kwadratowych typu mykeńskiego wykonywane są nie z
łuków jak to jest w przypadku labiryntów petaloidalnych lecz z odcinków, załamujących się
pod kÄ…tem prostym. Na kolejnym rysunku pokazany jest labirynt kwadratowy typu
mykeńskiego, o strukturze analogicznej do labiryntu petaloidalnego, zaprezentowanego na
rys. 3c.
Rys. 4 Labirynt kwadratowy typu mykeńskiego
3.2 Labirynty mozaikowe
Na rysunku 5 pokazane zostały etapy konstruowania labiryntu mozaikowego.
Zaczynamy od inicjatora, rys. 5a. Następnie do kwadratu z rys. 5a dorysowujemy układ linii
Å‚amanych, rys. 5b. Proces powtarzamy  dorysowujemy kolejne linie Å‚amane, przeskalowujÄ…c
je odpowiednio, patrz rys. 5c.
Rys. 5 Algorytm generowania labiryntów mozaikowych
Istnieją liczne przykłady labiryntów mozaikowych składających się z większej liczby
takich poziomów strukturalnych.
4 UWAGI KOC
COWE
Pokazaliśmy, że najstarsze znane labirynty (pentaloidalne, kwadratowe typu
mykeńskiego oraz mozaikowe) mają samopodobną strukturę i mogą być konstruowane za
pomocą fraktalnego algorytmu inicjator / generator. Labirynty te są tak skomplikowane, że w
zasadzie nie jest możliwe poprawne ich wykonanie bez algorytmu. Większość istniejących
labiryntów to struktury wysoce symetryczne, samopodobne lub wykazujące cechy
samopodobieństwa.5 Jest rzeczą interesującą, że najstarsze labirynty typu pentaloidalnego są
samopodobne. Póz
niejsze labirynty kwadratowe typu mykeńskiego częściej zawierają
odstępstwa od idealnego samopodobieństwa niż labirynty pentaloidalne. W jeszcze
póz
niejszych okresach zaczęto konstruować labirynty nie w pełni samopodobne a nawet
5
de Saint-Hilaire, dz. cyt., Paolo Santarcangeli, Księga Labiryntu,  Wiedza Powszechna , Warszawa 1982.
labirynty niesymetryczne. O ile w labiryntach pentaloidalnych, kwadratowych typu
mykeńskiego i mozaikowych nie można się zgubić; w tak zwanych błędnikach, należących do
labiryntów żywopłotowych, które zaczęto konstruować dopiero w czasach nowożytnych,
zabłądzić jest łatwo.6 Można więc sądzić, że starożytni artyści, intuicyjnie przynajmniej,
posługiwali się pojęciem samopodobieństwa. Dodajmy na zakończenie, że w sztuce
minojskiej sprzed ok. 3500 lat rzeczywiście można doszukać się fraktalnych kształtów.7
6
Jerome, dz. cyt.
7
Wojciech Słomczyński, Tomasz Zastawniak, How long was the coast of Atlantis?, Mathematical Intelligencer
21 (1999) 38.