Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja zgodna z dołu 1
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY
2.1. KAPITALIZACJA ZGODNA Z DOA
U
2.2. KAPITALIZACJA ZGODNA Z GÓRY
2.3. KAPITALIZACJA NIEZGODNA
2.3.1. KAPITALIZACJA W PODOKRESACH
2.3.2. KAPITALIZACJA W NADOKRESACH
2.4. KAPITALIZACJA CI
GA
A
2.5. FUNKCJA OPROCENTOWANIA KAPITAA
U
2.6. RACHUNEK CZASU
********************************************************
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja zgodna z dołu 2
2.1. KAPITALIZACJA ZGODNA Z DOA
U
Zasada oprocentowania złożonego. Kapitalizacja z dołu.
PodstawÄ… obliczania procentu za kolejny n-ty okres bazowy jest war-
tość kapitału z okresu poprzedniego (suma kapitału początkowego i
procentu należnego za (n-1) początkowych okresów). Procent należny
za n-ty okres jest równy iloczynowi bazowej stopy procentowej i war-
tości kapitału z okresu poprzedniego.
K0  początkowa wartość kapitału (present value),
i  bazowa stopa procentowa,
n  czas liczony w okresach bazowych,
Kn  przyszła wartość kapitału (future value).
Na końcu pierwszego okresu kapitalizacji wartość kapitału początko-
wego K0 wynosi:
K1 = K0 +iK0 = K0 (1+ i) .
Na końcu drugiego okresu kapitalizacji mamy:
K2 = K1 +iK1 = K1(1+i) = K0 (1+i)2,
a na końcu trzeciego okresu
K3 = K2 +iK2 = K2 (1+i) = K0 (1+i)3.
Prowadząc analogiczne rozumowanie dla kolejnych okresów bazo-
wych, możemy uogólnić wyżej zapisane wzory, otrzymując równa-
nia:
Kn = Kn-1 +iKn-1 dla n=0,1,2, ... (2.1)
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja zgodna z dołu 3
Kn =(1+i)Kn-1 dla n=0,1,2, ... (2.2)
Kapitalizacja z dołu
dla n=0,1,2,... (2.3)
Kn = K0 (1+ i)n
Z równania (2.2) wynika, że kolejny n-ty wyraz ciągu {Kn} powstaje
przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stały czynnik (1+ i).
Oznacza to, że ciąg ten jest ciągiem geometrycznym o wyrazie po-
czÄ…tkowym K0 oraz ilorazie (1+i).
Zasada oprocentowania złożonego. Kapitalizacja z dołu .
Wersja dyskretna.
Końcowa wartość kapitału Kn jest n-tym wyrazem ciągu geometrycz-
nego o wyrazie poczÄ…tkowym K0 oraz ilorazie (1+ i).
"Kn = Kn - Kn-1 = K0 (1+i)n - K0 (1+i)n-1 =iKn-1 (2.4)
Natomiast wartość procentu należnego za n początkowych okresów
bazowych (n lat) wyznaczamy ze wzoru:
Kapitalizacja z dołu
Procent za n początkowych okresów
In = Kn - K0 = K0[(1+i)n -1]
dla n=0,1,2... (2.5)
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja zgodna z dołu 4
Przykład 2.1. (por. przykład 1.7)
Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy K0=200 zł po upływie
1,2,3,4,5 lat przy oprocentowaniu złożonym oraz rocznej stopie pro-
centowej i=20%?
Tabela 2.1. Zasada oprocentowania złożonego (K0=200 zł, i=0,2)
Nr Procent zło- Procent złożony Wartość kapitału po n Wartość kapitału po n
ro- żony za dany za n początko- latach. Oprocentowa- latach. Oprocentowanie
ku rok wych lat nie złożone proste
n iK Kn=K0(1+ni)
In=K0[(1+i)n-1]
n-1 Kn=K0(1+i)n
0 0.00 0.00 200.00 200.00
1 40.00 40.00 240.00 240.00
2 48.00 88.00 288.00 280.00
3 57.60 145.60 345.60 320.00
4 69.12 214.72 414.72 360.00
5 82.94 297.66 497.66 400.00
600
500
400
297,66
214,72
300
145,6
40
88
200
100 200 200 200 200 200
0
12345
Kolejny rok oprocentow ania kapitału
Kapitał Procent
tego roku
Wartość kapitału w zł na koniec n-
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja zgodna z dołu 5
Rys.2.1. Zasada oprocentowania złożonego. Ilustracja danych z przykł. 2.1
600
497,66
500
414,72
400
400
360
345,6
320
288
280
300
240
240
200
100
0
12 345
Kolejny rok oprocentow ania kapitału
Procent prosty Procent złożony
Rys. 2.2. Porównanie procentu prostego i złożonego.
EfektywnÄ… stopÄ™ procentowÄ… (in) w n- tym okresie bazowym na-
zywamy stosunek procentu uzyskanego w tym okresie do wartości
kapitału na początku tego okresu.
Efektywna stopa procentowa
dla n=1,2,...(2.6)
Kn - Kn-1 "Kn
in = =
Kn-1 Kn-1
in - efektywna stopa procentowa,
"Kn= Kn  Kn-1  procent należny za n-ty okres bazowy (przy-
rost kapitału w n-tym okresie).
200 zł na koniec n-tego roku
Wartość kapitału początkowego
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja zgodna z dołu 6
Procent prosty
Kn -Kn-1 K0 (1+ ni)-K0 (1+(n -1)i)
in = = ,
Kn-1 K0 (1+ (n -1)i)
co po wykonaniu obliczeń daje:
i
in = dla n=1 (2.7)
1+ (n -1)i
Efektywna stopa oprocentowania prostego jest malejÄ…cÄ… funkcjÄ… czasu
Z kolei wyznaczymy efektywnÄ… stopÄ™ procentowÄ… dla kolejnych okre-
sów oprocentowania złożonego. W tym celu do wzoru (2.6) podsta-
wimy wzór (2.3)
Kn - Kn-1 K0 (1+i)n - K0 (1+i)n-1
in = = .
Kn-1
K0 (1+ i)n-1
Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy:
dla i=1,2,3 ... (2.8)
in = i
Efektywna stopa oprocentowania złożonego jest stała, równa
bazowej stopie procentowej  i .
Kapitalizacja z dołu. Model ciągły
dla t"R+ (2.9)
K = K0 (1+ i)t
t
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja zgodna z dołu 7
K(t) = K0(1+i)t dla t"R, (2.10)
gdzie: Kt , K(t)  końcowa (przyszła) wartość kapitału w momencie
t"R+ w przypadku kapitalizacji z dołu.
Zasada oprocentowania złożonego. Kapitalizacja z dołu.
Wersja ciągła
Końcowa wartość kapitału K(t) jest iloczynem początkowej wartości
kapitału K0 oraz funkcji wykładniczej czasu oprocentowania o pod-
stawie (1+i) i wykładniku t.
W celu porównania procentu złożonego z procentem prostym rozwa-
żymy własności czynnika oprocentowującego procentu złożonego.
Jak wiemy, w ogólnym przypadku czynnik ten ma postać:
(1+ i)t gdzie i >0; t e"0.
Stosując do tego czynnika wzór Maclaurina (por. dodatek A.5)
otrzymujemy równanie :
t(t -1)
(1+i)t =1+it + i2 (1+ Ä…i)t-2 gdzie:Ä…"(0,1)
2
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja zgodna z dołu 8
Z przyjętych założeń wynika, że (1+ąi)>0, co wobec wyżej zapisane-
go równania oznacza, że znak różnicy pomiędzy procentem złożonym
i procentem prostym zależy od znaku (sgn) paraboli y = t(t-1).
sgn[(1+i)t -(1+it)]=sgn(t(t -1))
Parabola ta jest skierowana ramionami do góry, ma dwa miejsca ze-
rowe t=0 i t=1, przyjmuje ujemne wartości dla t"(0,1) oraz dodatnie
dla t>1. Powyższe rozumowanie dowodzi, że dla stopy procentowej
i>0 spełnione są następujące nierówności:
(1+ i)t < 1+it dla t"(0,1),
(1+ i)t = 1+it dla t =1,
(1+ i)t > 1+it dla t >1.
Procent złożony jest mniejszy od procentu prostego dla ułamkowego
czasu oprocentowania t"(0,1), jest równy procentowi prostemu dla
t = 1 i jest większy od procentu prostego dla t >1.
Wartość
jednostki
kapitału
procent prosty
1
procent złożony
0 1 2 3 czas t
Rys. 2.2a. Porównanie procentu złożonego i prostego.
Oprocentowanie jednostki kapitału.
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja zgodna z góry 9
2.2. KAPITALIZACJA ZGODNA Z GÓRY
Przykład 2.2. (transakcja B)
Zaciągamy pożyczkę w wysokości 2000 zł na jeden rok. Roczna sto-
pa procentowa i=20%, zwrot kapitału na końcu okresu pożyczki, na-
tomiast wypłata procentu na początku tego okresu.
L1=2000+0,2Å"2000+(0,2)2Å"2000+(0,2)3Å"2000+ . . . ,
co daje
L1=2000Å"(1+0,2+(0,2)2 +(0,2)3 +. . .).
Wyrażenie w nawiasie jest sumą nieskończonego ciągu geometry-
cznego (por. dodatek A), wobec tego
1
L1 =2000Å" =2500.
1-0,2
Stopą procentową d kapitalizacji z góry nazywamy stosunek pro-
centu kapitalizowanego "wypłacanego" na początku okresu do war-
tości kapitału zainwestowanego na początku tego okresu.
W omawianym przykładzie stopa procentowa kapitalizacji z góry:
400 2000-1600
d = = =0,2.
2000 2000
Niech L0 oznacza kapitał początkowy, wówczas na końcu pierwszego
okresu kapitalizacji wartość L0 zostanie powiększona o reinwestowa-
ny na poczÄ…tku okresu procent dL0. Procent ten traktowany jest jako
nowa wpłata, od której procent równy d(dL0) = d2L0 jest dodawany do
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja zgodna z góry 10
kapitału L0. Z kolei reinwestowany procent od procentu d2L0 przynosi
dochody o wartości d(d2L0) = d3L0, również dodawane do L0.
Proces reinwestowania procentu powtarzany jest nieskończenie wiele
razy.
Ostatecznie L1 = L0+ dL0+ d2L0+ d3L0 + . . . ,
co daje L1 = L0(1+ d+ d2+ d3+ . . . ),
a stÄ…d dla stopy procentowej d speÅ‚niajÄ…cej zaÅ‚ożenie Ð#dÐ#< 1 (por. do-
datek A)
mamy: L1 = L0(1- d)-1.
Powtarzając wyżej opisany mechanizm tworzenia wartości L1 dla
wartoÅ›ci Ln przy zaÅ‚ożeniu Ð#dÐ#< 1, otrzymujemy wzór:
Ln = Ln- 1(1-d)-1 dla n=0,1,2 ... (2.12)
z czego wynika, że:
Kapitalizacja z góry
dla n=0,1,2 ... (2.13)
Ln = L0 (1-d)-n
Czynnik (1- d)-n we wzorze (2.13) nazywamy czynnikiem wartości
przyszłej w kapitalizacji z góry. Z równania (2.12) wynika, że ciąg
{Ln} jest ciÄ…giem geometrycznym o pierwszym wyrazie L0 i ilorazie
(1- d)-1.
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja zgodna z góry 11
Zasada oprocentowania złożonego. Kapitalizacja z góry.
Wersja dyskretna.
Końcowa wartość kapitału Ln jest n-tym wyrazem ciągu geome-
trycznego o wyrazie poczÄ…tkowym L0 oraz ilorazie (1-d)-1.
Zauważmy, że aby w przypadku kapitalizacji z góry wyznaczyć procent
należny za n-ty okres, należy wartość kapitału Ln na końcu tego okre-
su pomnożyć przez stopę dyskontową d.
"In =Ln -Ln-1 =Ln-1(1-d)-1 -Ln-1 =dLn (2.14)
W celu zaznaczenia różnic między kapitalizacją z dołu a kapitalizacją
z góry przypominamy, że w przypadku kapitalizacji złożonej z dołu
dla obliczenia procentu za n- ty okres należy pomnożyć wartość kapi-
tału Ln-1 na początku tego okresu przez stopę procentową i (por wzór
2.4).
Kapitalizacja z góry.
Procent za n początkowych okresów.
In = Ln - L0 = L0[(1- d)-n -1] (2.15)
dla n=1,2,3...
Stosunek procentu (dyskonta) do końcowej wartości kapitału
nazywamy stopÄ… dyskontowÄ….
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja zgodna z góry 12
Stopa dyskontowa
L1 - L
I
0
d = =
L1 L1
I=dL1
d  stopa dyskontowa,
I  procent (dyskonto),
L0  początkowa wartość kapitału,
L1  końcowa wartość kapitału.
EfektywnÄ… stopÄ… dyskontowÄ… dn w n-tym okresie bazowy m na-
zywamy stosunek procentu (dyskonta) należnego w n-tym okresie
bazowym do wartości kapitału na końcu tego okresu.
Efektywna Stopa Dyskontowa
Ln - Ln-1 "Ln
dn = = (2.16)
Ln Ln
Załóżmy, że stopa dyskontowa d jest stała w każdym okresie czasu,
co oznacza, że:
Ln -Ln-1
d = . dla n=1,2,3 ....
Ln
L1 - L0
Wobec powyższego dla n=1 mamy d = , co po przekształce-
L1
niach daje:
L1 = L0 (1-d)-1. (por. 2.12)
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja zgodna z góry 13
L2 -L1
Podstawiając n=2, otrzymujemy d = , co po przekształceniach
L2
i podstawieniu L1 daje:
L2 = L1(1-d)-1 = L0 (1-d)-2 . (por. 2.13)
Przykład 2.6. (por. przykład 2.1 i 1.7)
Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy L0=200 zł po upływie
1,2,3,4,5 lat przy oprocentowaniu złożonym, kapitalizacji z góry oraz
rocznej stopie dyskontowej d=20%?
Tabela 2.3. Zasada oprocentowania złożonego.
Kapitalizacja z góry. (L0=200 zł; d=0,2 ; i=0,2)
Nr Procent Procent złożony z Wartość kapitału po n la- Wartość kapitału po n la-
ro- za dany góry za n począt- tach. Kapitalizacja z góry. tach. Kapitalizacja z dołu.
ku rok kowych lat Oprocentowanie złożone Oprocentowanie złożone
n
dLn
Ln =L0(1+d)-n Ln =L0(1+i)n
In=L0[(1+d)n-1]
0 0.000 0.000 200.000 200.00
1 50.000 50.000 250.000 240.00
2 62.500 112.500 312.500 288.00
3 78.125 190.625 390.625 345.00
4 97.070 288.280 488.280 414.72
5 122.070 410.350 610.350 497.66
Z danych z tablicy 2.3 wynika, że jeżeli stopa procentowa i jest równa
stopie dyskontowej d (i=d=0,2), to wartość kapitału wzrasta szybciej
w przypadku kapitalizacji z góry.
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja zgodna z góry 14
700
610,35
488,28
600
497,66
414,72
390,625
500
345,6
312,5
400
250
288
300
240
200
100
0
12345
Kolejny rok oprocentow ania kapitału
Kapitalizacja z dołu Kapitalizacja z góry
Rys. 2. 3. Procent złożony. Kapitalizacja z dołu i z góry.
Kapitalizacja z góry. Model ciągły.
dla t"R+ (2.17)
Lt = L0 (1-d)-t
dla t"R+ (2.18)
L(t) = L0(1-d)- t
Lt, (t), L(t) - końcowa (przyszła) wartość kapitału w momencie t"R+
w przypadku kapitalizacji z góry.
Zasada oprocentowania łożonego. Kapitalizacja z góry.
Wersja ciągła.
Końcowa wartość kapitału L(t) jest iloczynem początkowej wartości
kapitału L0 oraz funkcji wykładniczej czasu oprocentowania o pod-
stawie (1-d) oraz wykładniku (-t).
200 zł na koniec n-tego roku
Wartość kapitału początkowego
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja zgodna z góry 15
Przykład 2.7.
Wyznaczyć funkcje opisujące zmianę wartości jednostki kapitału w
czasie w przypadku kapitalizacji z dołu i z góry dla równych stóp
procentowej i dyskontowej i=d=0,2.
Korzystając ze wzorów (2.9) oraz (2.17), otrzymujemy:
Kt = (1+0,2)t = (1,2)t  kapitalizacja złożona z dołu
Lt = (1-0,2)-t = (1,25)t  kapitalizacja złożona z góry
10,00
9,00
8,00
7,00
6,00
5,00
4,00
3,00
2,00
1,00
0,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Czas t
Kapitalizacja z dołu Kapitalizacja z góry
Rys. 2.4. Zmiana wartości jednostki kapitału w czasie. Kapitalizacja z
dołu i z góry.
Zasada równoważności stóp procentowych i stóp dyskontowych
Dwie stopy procentowe nazywamy równoważnymi, jeżeli dla każde-
go kapitału początkowego K0 i każdego okresu czasu wartości koń-
cowe kapitału Kt dla obu stóp są sobie równe.
W ten sam sposób rozumiemy równoważność stóp dyskontowych
oraz równoważność stopy procentowej i dyskontowej.
Przyszła wartość jednostki kapitału
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja zgodna z góry 16
Kt =(1+i)t - kapitalizacja z dołu,
Lt =(1-d)-t - kapitalizacja z góry,
Kt =Lt =(1+i)t =(1-d)-t ,
co po przekształceniach daje:
d
i = dla d"(0,1) (2.19)
1- d
i
d = dla i "(0,1) (2.20)
1+i
Przykład 2.8.
Wyznaczyć równoważne stopy procentowe i dyskontowe dla kapitali-
zacji z dołu i z góry w przypadku i=d=0,2.
Dla stopy procentowej i1=0,2 równoważna stopa dyskontowa d1 zgod-
nie ze wzorem (2.20) wynosi:
i1
0,2
d1 = = = 0,16666(6).
1+i1 1,2
Oznacza to, że w przypadku kapitalizacji z dołu ze stopą procentową
i=0,2 otrzymujemy takie same rezultaty jak w przypadku kapitalizacji
z góry ze stopą dyskontową d= 1,6666(6).
Dla stopy dyskontowej d2=0,2 równoważna stopa procentowa
i2 zgodnie ze wzorem (2.19) wynosi:
d2
0,2
i2 = = = 0,25,
1-d2 0,8
co oznacza, że w przypadku kapitalizacji z góry ze stopą procentową
d=0,2 otrzymujemy takie same rezultaty jak w przypadku kapitalizacji
z dołu ze stopą procentową i= 0,25.