Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja niezgodna. 17
2.3. KAPITALIZACJA NIEZGODNA
2.3.1. KAPITALIZACJA W PODOKRESACH
Okres oprocentowania dzielimy zatem na m e"1 równych podokresów.
0 m m2 czas mierzony w podokresach mt
m
m
Podokresy
Okresy
0 1 1 2 czas mierzony w okresach stopy procentowej t
m
Rys. 2.3. Kapitalizacja w podokresach okresu stopy procentowej.
W matematyce finansowej przyjmuje się dla rocznego okresu stopy
procentowej standardowe podokresy kapitalizacji:
- kapitalizacja roczna (m = 1),
- kapitalizacja półroczna (m = 2),
- kapitalizacja kwartalna (m = 4),
- kapitalizacja miesięczna (m = 12),
- kapitalizacja tygodniowa (m = 52),
- kapitalizacja dobowa (m = 360 lub m = 365),
- kapitalizacja godzinna (m = 8640 lub m = 8760).
W przypadku kapitalizacji niezgodnej posługujemy się pojęciem no-
minalnej stopy procentowej (dyskontowej).
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja niezgodna. 18
Stopę procentową (dyskontową) nazywamy nominalną, jeżeli
okres stopy procentowej jest różny od okresu kapitalizacji.
Nominalną stopę procentową będziemy oznaczali symbolem i(m), a
nominalną stopę dyskontową symbolem d(m), gdzie: liczba m e" 1
oznacza liczbę kapitalizacji w jednym okresie stopy procentowej lub
dyskontowej (liczbę podokresów).
Jeżeli i(m) (d(m)) jest nominalną stopą procentową (dyskontową), to
i(m) �# d(m) ś#
stopę procentową nazywamy względną (proporcjonal-
ś# ź#
ś# ź#
m m
�# #
ną) stopą procentową kapitalizacji w podokresach. Okres
względnej (proporcjonalnej) stopy procentowej jest równy okreso-
wi kapitalizacji.
" oprocentowanie proste (por. wzór 1.8)
�#
i(m) ś#
Km = K0ś#1+ mtź# = K0 (1+i(m)t),
t
ś# ź#
m
�# #
Km = K0(1+i(m)t) dla t"R+ (2.21)
t
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja niezgodna. 19
" oprocentowanie złożone kapitalizacja z dołu (por. wzór 2.9)
m t
�#
m
i(m ) ś#
K = K ś#1+ ź# dla t"R+ (2.22)
t 0
ś# ź#
m
�# #
" oprocentowanie złożone kapitalizacja z góry (por. wzór 2.17)
-mt
�#
d(m) ś#
Lm = L0ś#1- ź# dla t"R+ (2.23)
t
ś# ź#
m
�# #
K0 (L0) początkowa wartość kapitału,
i(m)  nominalna stopa procentowa,
d(m)  nominalna stopa dyskontowa,
m  liczba kapitalizacji w okresie bazowym (liczba podokresów),
t  czas mierzony liczbą okresów bazowych (okresów stopy pro-
centowej),
Km(Lm) końcowa wartość kapitału po upływie czasu t dla m- krot-
t t
nej kapitalizacji w okresie stopy procentowej (dyskontowej).
Przykład 2.9.
Wyznaczyć przyszłą wartość 100 zł po 5-ciu latach, przy oprocento-
waniu prostym o nominalnej stopie procentowej i=20%, kapitalizacji
z dołu i z góry dla rocznych, półrocznych, kwartalnych i miesięcz-
nych okresów kapitalizacji, oraz przy oprocentowaniu złożonym ta-
kiej samej stopie dyskontowej d=20% i dla tych samych okresów ka-
pitalizacji.
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja niezgodna. 20
Procent prosty (por. wzór 2.21)
1)
" kapitalizacja roczna (i ( = 0,2)
K1 =100(1+ 0,2�"5) = 200,
5
" kapitalizacja półroczna (i (2) = 0,2)
2
K5 =100(1+ 0,2�"5)= 200 ,
4)
" kapitalizacja kwartalna (i ( = 0,2)
4
K5 =100(1+ 0,2�"5)= 200 ,
12)
" kapitalizacja miesięczna (i ( = 0,2)
K12 =100(1+ 0,2�"5) = 200.
5
Procent złożony kapitalizacja z dołu (por. wzór 2.22)
1)
" kapitalizacja roczna (i ( = 0,2)
K1 =100(1+0,2)1�"5 H" 248,83,
5
2)
" kapitalizacja półroczna (i ( = 0,2)
2�"5
0,2
2
�# ś#
K5 =100ś#1+ H" 259,37,
ź#
2
�# #
4)
" kapitalizacja kwartalna (i ( = 0,2)
4�"5
0,2
4 ś#
K5 =100�#1+ H" 265,33,
ś# ź#
4
�# #
12)
" kapitalizacja miesięczna (i ( = 0,2)
12�"5
K12 =100�#1+0,2ś# H"269,60.
ś# ź#
5
12
�# #
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja niezgodna. 21
Procent złożony kapitalizacja z góry
" kapitalizacja roczna (d (1) = 0,2)
L1 =100(1-0,2)-1�"5 H"305,18,
5
" kapitalizacja półroczna (d(2) = 0,2)
-2�"5
0,2
ś#
L2 =100�#1- H" 286,80,
ś# ź#
5
2
�# #
" kapitalizacja kwartalna (d (4 ) = 0,2)
-4�"5
0,2
ś#
L4 =100�#1- H" 278,95,
ś# ź#
5
4
�# #
" kapitalizacja miesięczna (d (12) = 0,2)
-12�"5
0,2
ś#
L12 =100�#1- H" 274,13.
ś# ź#
5
12
�# #
25
20
15
10
5
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Czas t
Kapitalizacja roczna Kapitalozacja półroczna
Kapitalizacja kw artalna Kapitalizacja miesięczna
Rys.2.5. Kapitalizacja z dołu. Zmiana wartości jednostki kapitału dla
różnych okresów kapitalizacji.
Przyszła w artość jednostki kapitału
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja niezgodna. 22
Efektywność oprocentowania prostego nie zależy od liczby kapita-
lizacji w okresie stopy procentowej.
Dla kapitalizacji z dołu efektywność oprocentowania jest funkcją
rosnącą liczby kapitalizacji w okresie stopy procentowej.
Dla kapitalizacji z góry efektywność oprocentowania jest funkcją
malejącą liczby kapitalizacji w okresie stopy procentowej.
Dla oprocentowania prostego mamy:
K = Km , (por. wzór 1.8 i 2.21)
t t
co daje (1+it) =(1+i(m)t) ,
a stąd
i =i(m) . dla m=1,2,...,k (2.24)
Tak więc, w przypadku oprocentowania prostego stopa bazowa i no-
minalna są sobie równe, natomiast efektywna stopa procentowa jest
funkcją malejącą czasu oprocentowania. (por. wzór 2.7)
W przypadku oprocentowania złożonego i kapitalizacji z dołu otrzy-
mujemy:
K = Km , (por. wzór 1.8 i 2.22)
t t
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja niezgodna. 23
z czego wynika, że (i = ief ; por. wzór 2.8)
m�"t
�#
i(m) ś#
(1+ief )t =ś#1+ ź# ,
ś# ź#
m
�# #
a stąd po wykonaniu przekształceń:
m
�#
i(m) ś#
ief =ś#1+ ź# -1 dla m=1,2,...,k (2.25)
ś# ź#
m
�# #
1
m
i(m) = mĄ#(1+ief ) -1ń# dla m=1,2,...,k (2.26)
ó# Ą#
Ł# Ś#
ief  efektywna stopa procentowa,
i(m) nominalna stopa procentowa,
m  liczba kapitalizacji w okresie bazowej stopy procentowej.
Prowadząc analogiczne rozumowanie dla oprocentowania złożonego i
kapitalizacji z góry, otrzymujemy:
Lt = Lm, (por. wzór 2.17 i 2.23)
t
a stąd (d = def ; por. wzór 2.16)
-m�"t
-t ś#
d(m)
(1-def ) =�#1- ,
ś# ź#
m
�# #
a po wykonaniu przekształceń:
m
�#
d(m) ś#
def =1-ś#1- ź# dla m=1,2,...,k (2.27)
ś# ź#
m
�# #
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja niezgodna. 24
1
ń#
m
d(m) =mĄ#1-(1-def ) dla m=1,2,...,k (2.28)
ó# Ą#
Ł# Ś#
def  efektywna stopa dyskontowa,
d(m) nominalna stopa dyskontowa,
m  liczba kapitalizacji w okresie bazowej stopy dyskontowej.
Wprowadzone wyżej wzory (2.25) do (2.28) pozwalają na do-
wolną zmianę okresu kapitalizacji przy zachowaniu stałej efektywno-
ści oprocentowania.
Przykład 2.10.
Wyznaczyć efektywność oprocentowania dla danych z przykładu 2.9.
W przypadku oprocentowania prostego efektywność oprocentowania
nie zależy od liczby kapitalizacji (por. wzór 2.24) i jest funkcją male-
jącą czasu (por. wzór 2.7).
Odpowiednie wyniki obliczeń zamieszczone są w tabeli 2.2.
0,2
ś#
ief =�#1+ -1H"0,2155.
ś# ź#
4
�# #
4
0,2
ś#
def =�#1- H"0,1855.
ś# ź#
4
�# #
Wyniki obliczeń dla pozostałych okresów kapitalizacji zamieszczono
w tabeli 2.4.
Tabela 2.4. Efektywna stopa procentowa (dyskontowa) dla różnych pod-
okresów kapitalizacji.
Roczna bazowa stopa procentowa (dyskontowa) i = d = 0,2
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja niezgodna. 25
Okres Efektywna stopa Efektywna stopa
kapitalizacji procentowa dyskontowa
m i ef def
roczna m = 1 0,2000 0,2000
półroczna m = 2 0,2100 0,1900
kwartalna m = 4 0,2155 0,1855
miesięczna m = 12 0,2194 0,1826
Równoważne warunki oprocentowania kapitału
m n
�#
i(m) ś# �# i(n) ś#
ś#1+ ź# =ś#1+ ź# =(1+ief ), (2.29)
ś# ź# ś# ź#
m n
�# # �# #
-n -m
�#
d(n) ś# �# d(m) ś#
ś#1- ź# =ś#1- ź# =(1-def )-1, (2.30)
ś# ź# ś# ź#
n m
�# # �# #
m -n
�# �#
i(m) ś# d(n) ś#
ś#1+ ź# =(1+ief )=(1-def )-1 =ś#1- ź# . (2.31)
ś# ź# ś# ź#
m n
�# # �# #
2.3.2. KAPITALIZACJA W NADOKRESACH
t
0 1 2 3 czas mierzony w nadokresach
m
m
Nadokresy
Okresy
0 m 2m 3m t
czas mierzony w okresach stopy procentowej
Rys. 2.4. Kapitalizacja w nadokresach stopy procentowej.
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja niezgodna. 26
Jeżeli i(m) (d(m)) jest nominalną stopą procentową (dyskontową), to
stopę procentową mi(m) (dyskontową md(m)) nazywamy względną
(proporcjonalną) stopą procentową (dyskontową) kapitalizacji w
nadokresach.
Okres względnej (proporcjonalnej) stopy procentowej (dyskonto-
wej) jest równy okresowi kapitalizacji.
" oprocentowanie proste (por. wzór 1.8 i 2.21)
Kt / m = K0�#1+ mi(m) t ś# = K0 (1+i(m)t),
ś# ź#
�# m #
K = K0 (1+ i(m)t) dla t"R+ (2.32)
t / m
" oprocentowanie złożone z kapitalizacją z dołu (por. wzór 2.9 i 2.22)
t
Kt /m = K0(1+mi(m))m dla t"R+ (2.33)
" oprocentowanie złożone z kapitalizacją z góry (por. wzór 2.17 i 2.23)
t
-
m
Lt / m = L0 (1- md(m) ) dla t"R+ (2.34)
�#md(m) �#<1
K0 (L0) - początkowa wartość kapitału,
i(m) - nominalna stopa procentowa kapitalizacji w nadokresach,
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja niezgodna. 27
d(m) - nominalna stopa dyskontowa kapitalizacji w nadokresach,
m - liczba okresów stopy procentowej w jednym okresie kapitali-
zacji,
t - czas mierzony liczbą okresów bazowych (okresów stopy pro-
centowej),
Kt/m (Lt/m)- końcowa wartość kapitału po upływie czasu t w przypad-
ku, gdy okres kapitalizacji zawiera m okresów stopy procen-
towej (dyskontowej).
Efektywność oprocentowania prostego nie zależy od liczby okre-
sów stopy procentowej zawartych w okresie kapitalizacji.
Dla kapitalizacji z dołu efektywność oprocentowania jest funkcją
malejącą liczby okresów stopy procentowej zawartych w okresie
kapitalizacji.
Dla kapitalizacji z góry efektywność oprocentowania jest funkcją
rosnącą liczby okresów stopy procentowej zawartych w okresie ka-
pitalizacji.
1
m
ief =(1+ mi(m)) -1 dla m=1,2,...k (2.35)
m
1
i(m) = [(1+ief ) -1] dla m=1,2,...k (2.36)
m
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja niezgodna. 28
Dla kapitalizacji z góry mamy:
t
-t -
m
(1-def ) =(1- md(m)) ,
co po przekształceniach daje:
1
m
def =1-(1- md(m)) dla m=1,2,...k (2.37)
m
1
d(m) = [1-(1-def ) ] dla m=1,2,...k (2.38)
m