Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja ciągła. 29
2.4. KAPITALIZACJA CI
GA
A
Kapitalizację, dla której liczba podokresów kapitalizacji dąży do
nieskończoności (n "), nazywamy kapitalizacją ciągłą.
1
Ą# ń#
lim i(m) = lim ,
ó#m((1+i)m -1)Ą#
m" m"
ó# Ą#
Ł# Ś#
a stąd po przekształceniach mamy:
1
(1+i)m -1
lim i(m) = lim
m" m" 1
m
1
Po podstawieniu x = otrzymujemy:
m
(1+i)x -1
lim i(m) = lim .
m"
x
x0+
0
Ostatnia granica jest symbolem nieoznaczonym i możemy ją wy-
0
znaczyć stosując regułę L'Hospitala1.
H
Ponieważ lim (1+i)x =1, to lim i(m) = lim (1+i)x ln(1+i) =ln(1+i) .
m"
x0+ m0+
1
Dubnicki W., Kłopotowski J., Szapiro T., Analiza Matematyczna. Podręcznik dla ekonomi-
stów, PWN, Warszawa 1996, str. 132
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja ciągła. 30
Granicą nominalnej stopy procentowej i(m) przy liczbie kapitalizacji
m zmierzającej do nieskończoności (m") nazywamy intensywno-
ścią oprocentowania.
lim i(m) =ln(1+i) =�
m"
�=ln(1+i) (2.39)
1+i=e� dla i "(0,1) (2.40)
i(m)  nominalna stopa procentowa,
m  liczba kapitalizacji w okresie bazowym (liczba podokresów),
i  efektywna stopa procentowa (kapitalizacja zgodna z dołu),
�  intensywność oprocentowania,
e  podstawa logarytmu naturalnego (e H" 2,718281828...),
ln  logarytm naturalny (funkcja).
Kc = K0e�t dla t"R+;�"(0,ln2)2 (2.41)
t
Kt = K0e�t dla t"R+;�"(0,ln2) (2.42)
2
ln 2 H" 0,693147
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja ciągła. 31
W podobny sposób jak dla nominalnej stopy procentowej i(m) może-
my wyznaczyć granicę nominalnej stopy dyskontowej d(m)
1
Ą# ń#
m
lim d(m) = lim mó#1- (1-d) ,
Ą#
m" m"
ó# Ą#
Ł# Ś#
lim d(m) =ln(1-d)-1 , (2.43)
m"
gdzie d oznacza stałą efektywną stopę dyskontową.
Jeżeli stopę dyskontową d zastąpimy równoważną stopą procentową i
(por. wzór 2.20), to ponieważ
i
d = ,
1+i
otrzymujemy:
ln(1-d)-1 =ln(1+i)=� ,
�=ln(1-d)-1 dla d"(0,1) (2.44)
Dla dalszych rozważań założymy równość nominalnych stóp procen-
towych dla wszystkich rodzajów kapitalizacji
i(m) =�=d(m) .
Przy powyższym założeniu, ustalonej wartości początkowej kapitału
K0 , ustalonym czasie oprocentowania t , możemy wykazać, że:
10 Ciąg {Km} jest ciągiem rosnącym względem zmiennej m i ma
t
granicę równą {Kc}.
t
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja ciągła. 32
20 Ciąg {Lm} jest ciągiem malejącym względem zmiennej m i ma
t
granicę równą {Kc}.
t
30 Ponieważ dla każdego x"(0,m) i dla każdej liczby naturalnej m"N
prawdziwa jest nierówność
-1
x x
�#1+ ś# �#1- ś#
d" ,
ś# ź# ś# ź#
m m
�# # �# #
więc korzystając z własności 10 i 20 mamy:
Kt d" Km d" Kc d" Lm d" Lt . (2.45)
"
t t t
m"N
Kapitalizacja ciągła jest granicznym przypadkiem kapitalizacji nie-
zgodnej z dołu oraz kapitalizacji niezgodnej z góry.
Przykład 2.19. (por. przykład 2.6, 2.1 i 1.7)
Jaką wartość osiągnie początkowy kapitał K0 =200 zł po upływie
1,2,3,4,5 lat przy oprocentowaniu złożonym, kapitalizacji ciągłej oraz
intensywności oprocentowania �=20%?
Tabela 2.7. Zasada oprocentowania złożonego.
Kapitalizacja ciągła. (K0=200 zł; d=0,2; i=�=d=0,2)
Nr Procent za Wartość kapitału po n Wartość kapitału po n Wartość kapitału po n
roku dany rok latach kapitalizacji z dołulatach kapitalizacji ciągłej latach Kapitalizacja z góry
n Kn Ln
"Kc Kc
n n
0 0.000 0.000 200.000 200.00
1 44.280 240.000 244.280 250.000
2 54.085 288.000 298.365 312.500
3 66.059 345.000 364.424 390.625
4 80.684 414.720 445.108 488.280
5 98.548 497.664 543.656 610.350
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja ciągła. 33
700
600
500
400
300
200
100
0
12345
Kolejny rok op ro cent ow ania kapitału
Kapitalizacja z dołu Kapitalizacja ciągła Kapitalizacja z góry
Rys.2.7. Zasada oprocentowania złożonego. Ilustracja danych z tabeli 2.7.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Czas t
Kapitalizacja z dołu Kapitalizacja ciągła Kapitalizacja z góry
Rys.2.8. Zasada oprocentowania złożonego.
Zmiana w czasie wartości jednostki kapitału (i=�=d=0,2).
roku
Wartość kapitału 200 zł na koniec n-tego
Przyszła w artość jednostki kapitału
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja ciągła. 34
Korzystając ze znanych własności szeregu geometrycznego (por. do-
datek A) oraz z zależności i = d(1  d)-1, otrzymujemy szereg: (por.
wzór 2.19 i 2.20)
i = d+d2 +d3 +d4 +... (2.46)
zbieżny dla stopy dyskontowej d spełniającej warunek d <1,
oraz szereg (d = i(1+i)-1)
d =i-i2 +i3 -i4 +... (2.47)
zbieżny dla stopy procentowej i spełniającej warunek i <1.
Korzystając z równania � = ln(1+i) i rozwinięcia funkcji ln(1+i) w
szereg potęgowy Maclaurina (por. dodatek B), otrzymujemy:
i2 i3 i4
� =i- + - +... (2.48)
2 3 4
Powyższy szereg jest zbieżny dla stopy procentowej i spełniającej
warunek . Można go więc zastosować np. do obliczenia przybli-
i <1
żonej wartości intensywności oprocentowania ciągłego dla zadanej
efektywnej stopy procentowej.
Analogicznie, korzystając z rozwinięcia funkcji wykładniczej ex w
szereg potęgowy, we wzorach:
i =e� -1,
�
�# ś#
i(m) = mś#em -1ź#,
ś# ź#
�# #
�
�# - ś#
m
ź#
d(m) = mś#1-e ,
ś# ź#
�# #
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Kapitalizacja ciągła. 35
otrzymujemy:
�2 �3 �4
i = �+ + + +..., (2.49)
2! 3! 4!
�2 �3
i(m) =�+ + +..., (2.50)
2!m 3!m
�2 �3
d(m) =�- + -... . (2.51)
2!m 3!m
Wszystkie wyżej zapisane szeregi funkcyjne są zbieżne dla dowolne-
go �"R.
Analizując wzory (2.49) do (2.51), możemy sformułować interesujące
wnioski, np.:
10 dla �>0 musi być i>�, (por. wzór 2.49)
20 lim i(m) = lim d(m) =�,
m" m"
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Funkcja oprocentowania kapitału. 32