Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
LOGIKA MATEMATYCZNA
Stwierdzenie - dowolne zdanie twierdzÄ…ce
opisujące właściwości dowolnych,
zdefiniowanych uprzednio, obiektów.
Wniosek: Żadna definicja nie jest stwierdzeniem.
Szczególny przypadek: porównania ilościowe - stwierdzenia
porównujące liczby i zmienne.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Porównania ilościowe i ich implementacje programowe
Porównanie Objaśnienie WOLFRAM EXCEL
a jest równe b a= =b a=b
a jest różne od b a!=b a<>b
a jest większe od b a>b a>b
a jest większe a>=b a>=b
równe b
a jest mniejsze od ab
a jest mniejsze a<=b a<=b
równe b
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykłady stwierdzeń i ich implementacje
Pozycja Stwierdzenie WOLFRAM EXCEL
a) 3= =4 3=4
b) x+3!=5 x+3<>5
c) 2+5>4 2+5>4
d) 6>=10 6>=10
e) { }
f) Warszawa jest
stolicÄ… Islandii
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Zdanie - każde stwierdzenie, o którym można
orzec, czy jest prawdziwe, czy też fałszywe.
Uwagi:
·ð Zdaniami mogÄ… być jedynie zdania oznajmujÄ…ce.
·ð Zdaniami nie sÄ… pytania, polecenia, proÅ›by, wyrażenia
ustalajÄ…ce pewne normy, prognozy, definicje.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Wartości logiczne zdań:
·ð PRAWDA (T) - wartość logiczna przypisana zdaniu prawdziwemu
·ð FAA
SZ (F) - wartość logiczna przypisana zdaniu fałszywemu
Implementacja programowa wartości logicznych
Wartość logiczna Logika WOLFRAM EXCEL*
PRAWDA T True PRAWDA
FAA
SZ F False FAA
SZ
*
W arkuszu EXCEL wartość logiczną wybranych zdań można ustalić, stosując
podstawienie =P, gdzie symbol P oznacza oceniane zdanie.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykłady stwierdzeń i ich wartości logicznych
Pozycja Stwierdzenie Czy to jest Wartość EXCEL
zdanie? logiczna
a) tak F =3=4
nie
b) =x+3<>5
c) tak T =2+5>4
d) tak F =6>=10
{ }
e) tak T
f) Warszawa jest tak F
stolicÄ… Islandii
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
zdania proste -
zdania złożone - przekształcone zdania proste lub zdania
proste połączone za pomocą spójników logicznych
- negacja zdania prostego
(czytamy  nieprawda, że  )
Negacja jest prawdziwa jedynie wtedy, kiedy zdanie proste
jest fałszywe.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
- alternatywa zdań prostych i (czytamy  lub  )
Alternatywa jest prawdziwa jedynie wtedy, kiedy
przynajmniej jedno ze zdań prostych jest prawdziwe.
- koniunkcja zdań prostych i (czytamy  i  )
Koniunkcja jest prawdziwa jedynie wtedy, kiedy każde ze
zdań prostych jest prawdziwe.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
- implikacja zdania prostego ze zdania prostego
(czytamy  jeśli to  )
Implikacja jest fałszywa jedynie wtedy, kiedy prawdziwe zdanie
proste implikuje fałszywe zdanie proste .
- równoważność zdań prostych i
(czytamy  wtedy i tylko wtedy, gdy  )
Równoważność jest prawdziwa jedynie wtedy, kiedy oba zdania
proste są równocześnie prawdziwe lub równocześnie fałszywe.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Definicje F-T zdań złożonych
F F T F F T T
F T T T F T F
T F F T F F F
T T F T T T T
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Kolejność wykonywania działań logicznych:
1) wartości logiczne zdań prostych,
2) działania w nawiasach,
3) negacje,
4) alternatywy i koniunkcje jako działania równorzędne,
5) implikacje,
6) równoważności.
W przypadku wielokrotnych działań równoważnych wykonuje je się
w kolejności od lewej do prawej. Kolejność ma istotne znaczenie w
przypadku wielokrotnych implikacji.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Uwaga:
W portalu WolframAlpha tylko kolejność negacji, alternatyw i
koniunkcji jest niezawodnie zachowana. W przypadku stosowania
implikacji i równoważności warto oczekiwaną kolejność działań
określić, używając nawiasów.
Przykład
Wartości logiczne poniższych zdań są identyczne.
)
( )) ))
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Implementacja programowa zdań złożonych
Zdanie złożone WOLFRAM EXCEL
!p =NIE(P)
p||q =LUB(P;Q)
p&&q =ORAZ(P;Q)
p=>q =LUB(NIE(P);Q)
p<=>q =(P=Q)
W arkuszu kalkulacyjnym Excel poszczególne symbole oznaczają:
P  zdanie proste , Q  zdanie proste
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykład sprawdzania wartości logicznej równoważności
Równoważność WOLFRAM EXCEL
(instrukcja) (podstawienie)
(3==4)<=>(2+5>4) R=((3=4)=(2+5>4))
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Tautologia (prawo rachunku zdań) - zdanie
złożone, które jest zawsze prawdziwe w sposób
niezależny od wartości logicznej zdań prostych
składających się na to zdanie.
Oznaczenia:
 - prawdziwe zdanie proste
 - fałszywe zdanie proste
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykłady praw rachunku zdań
·ð Prawo wyÅ‚Ä…czonego Å›rodka:

Nie mogą jednocześnie być prawdziwe zdanie i jego
zaprzeczenie.
·ð Prawo dopeÅ‚nienia:
.
Zawsze jedno z dwóch zdań: zdanie lub jego zaprzeczenie
jest prawdziwe.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
·ð Prawo podwójnego zaprzeczenia:
)
.
·ð Prawa przemiennoÅ›ci:
,
.
·ð Prawa Å‚Ä…cznoÅ›ci:
) )
,
) )
.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
·ð Prawa rozdzielnoÅ›ci:
) ) )
,
) ) )
.
·ð Prawa tautologii:
,
.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
·ð Prawa pochÅ‚aniania:
 ,

.
·ð Prawa konfabulacji:

,
 .
Powyższe tautologie znajdują zastosowanie przy
przekształcaniu złożonych zdań logicznych.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
·ð Prawo eliminacji implikacji:
) )
.
Tautologia ta została już zastosowana do określenia wartości
logicznej implikacji w implementacjach arkusza EXCEL
Zdanie złożone WOLFRAM EXCEL
p=>q =LUB(NIE(P);Q)
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
·ð Negacja A
ukasiewicza:
( ).
Tautologia ta służy do zdefiniowania negacji w zbiorze reguł
decyzyjnych, to jest na zbiorze zdań postaci:  Jeśli zachodzi
A to podejmij decyzjÄ™ B.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
·ð Prawo transpozycji:
) )
.
Służy do sformułowania twierdzenia przeciwstawnego do
danego.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
·ð Prawo sprowadzania do sprzecznoÅ›ci (reductio ad
absurdum):
)
.
Mówi, że jeśli z rozważanego zdania wynika jego
zaprzeczenie, to jest to zdanie fałszywe.
Tautologia ta uzasadnia w matematyce prowadzenie dowodu
nie wprost.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Prawo Claviusa:
)
.
Tautologia ta informuje, że jeśli rozważane zdanie wynika ze
swego zaprzeczenia, to jest ono prawdziwe.
Prawo Dunsa Szkota:
)
.
Tautologia ta ostrzega, że jeżeli zdanie jest fałszywe, to
wynika z niego każde inne zdanie.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Prawo symplifikacji:
)
.
Tautologia ta mówi, że zdanie prawdziwe może wynikać z
dowolnego zdania.
Stosowanie się do dwóch ostatnich praw pozwala na unikanie
wypowiadania implikacji niewnoszÄ…cych nic nowego do
naszej wiedzy.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Do sprawdzenia czy rozpatrywane zdania złożone są prawami rachunku
zdań można zastosować metodę F-T
Przykład. Sprawdzenie, czy pierwsze prawo De Morgana jest tautologią.
) ) )
F F F T T T T T
F T F T T F T T
T F F T F T T T
T T T F F F F T
W ostatniej kolumnie tabeli stwierdzono jedynie wartości T. Oznacza to,
że zdanie złożone jest tautologią.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Implementacja WOLFRAM
W portalu WolframAlpha wyznaczając wartość funkcji:
TautologyQ[p]
można sprawdzić, czy zdanie p jest tautologią. Funkcja ta zwraca
wartość logiczną zdania  Zdanie p jest tautologią.
Przykład. Sprawdzamy, czy pierwsze prawo De Morgana jest tautologią.
Stosując portal WolframAlpha, wyznaczamy wartość:
TautologyQ[!(p||q)<=>(!p&&!q)].
Wartość ta jest równa True. Dowodzi to, że pierwsze prawo De Morgana
jest tautologiÄ….
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Twierdzenia
Aksjomat - pewne zdanie, o których w matematyce i innych
naukach dedukcyjnych zakłada się, że jest prawdziwe.
Następnie za pomocą dedukcji dowodzi się prawdziwości kolejnych zdań.
Narzędziem tej dedukcji są twierdzenia matematyczne.
Twierdzenie matematyczne - implikacja zawsze
prawdziwa.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Podstawowe przesłanki wnioskowania
dedukcyjnego:
·ð Zdanie nazywamy warunkiem dostatecznym dla
zdania wtedy, kiedy implikacja jest
twierdzeniem matematycznym.
·ð Zdanie nazywamy warunkiem koniecznym dla zdania
wtedy, kiedy implikacja jest twierdzeniem
matematycznym.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Opis twierdzenia matematycznego
Warunek dostateczny Warunek konieczny Twierdzenie matematyczne
F F T
F T T
T T T
Z tabeli wynika, że:
- prawdziwość warunku dostatecznego pociąga za sobą prawdziwość dowodzonego zdania,
- fałszywość warunku koniecznego pociąga za sobą fałszywość dowodzonego zdania,
- fałszywość warunku dostatecznego nie rozstrzyga o prawdziwości dowodzonego zdania,
- prawdziwość warunku koniecznego nie rozstrzyga o prawdziwości dowodzonego zdania.
Oznacza to, że dla dedukcji użyteczne są jedynie przypadki prawdziwego warunku
dostatecznego i fałszywego warunku koniecznego.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykład.
Zdanie  Liczba jest podzielna przez 3 jest warunkiem
koniecznym dla zdania  Liczba jest podzielna przez 6 .
Zdanie  Liczba jest podzielna przez 9 jest warunkiem
dostatecznym dla zdania  Liczba jest podzielna przez 3 .
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Zdanie pewne (pewnik) - zdanie prawie zawsze prawdziwe
(w naukach empirycznych prawdziwość poszczególnych zdań
prostych określana jest na podstawie obserwacji).
Zdanie niemożliwe - zaprzeczenie zdania pewnego.
Zaprzeczenie zdania niemożliwego jest zdaniem pewnym.
Zdanie pewne w prowadzonej dedukcji traktujemy jako zdanie prawdziwe. W
naukach empirycznych dodatkowym narzędziem stosowanym w dedukcji są
prawa natury.
Prawo natury - implikacja pewna, to jest implikacja prawie
zawsze prawdziwa.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Twierdzenie - implikacja, która jest prawem natury lub
twierdzeniem matematycznym.
Twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia jest
implikacja .
Twierdzeniem przeciwstawnym do twierdzenia jest
implikacja .
Twierdzenie odwrotne nie zawsze jest twierdzeniem.
Każde twierdzenie przeciwstawne jest twierdzeniem (zgodnie z
prawem transpozycji).
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykład
·ð Zdanie  JeÅ›li osobnik P jest ptakiem, to osobnik P jest pingwinem
jest twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia  Jeśli osobnik P
jest pingwinem, to osobnik P jest ptakiem . Utworzone twierdzenie
odwrotne nie jest jednak twierdzeniem, gdyż na przykład jaskółka
jest ptakiem.
·ð Zdanie  JeÅ›li osobnik P nie jest ptakiem, to osobnik P nie jest
pingwinem jest twierdzeniem przeciwstawnym do twierdzenia .
·ð W jÄ™zyku potocznym twierdzenie wypowiadamy w równoważny
sposób jako zdanie  Każdy pingwin ma skrzydła .
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przesłanką do wyciągnięcia wniosku może być dowolne zdanie
prawdziwe.
Przesłanki wnioskowania można przedstawić jako zbiór zdań
{ }
.
Wnioskowanie polega wtedy na logicznie uzasadnionym
przypisaniu pewnemu zbiorowi przesłanek wniosku uznawanego
następnie za zdanie prawdziwe.
Wnioskowania te są ujęte w ramy określone przez reguły
wnioskowania.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
{ }
Zdanie  Prawdziwość przesłanek
dowodzi prawdziwości wniosku  jest regułą
wnioskowania wtedy i tylko wtedy, kiedy
)
zdanie jest tautologiÄ….
Tak zdefiniowaną regułę wnioskowania
opisujemy za pomocÄ… symboli
{ }
.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Reguły wnioskowania
·ð ReguÅ‚a odrywania (modus ponens):
{ ) }
.
·ð ReguÅ‚a podnoszenia (modus tollens):
{ ) }
·ð Sylogizm:
{ ) )} )
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
·ð Dowód nie wprost (reductio ad absurdum):
{ )}
·ð ReguÅ‚a dodawania:
{ }
·ð ReguÅ‚a specjalizacji:
{ }
·ð ReguÅ‚a redukcji:
{ ) )} )
( )
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykład.
zdanie  w Poznaniu padał deszcz
zdanie  na poznańskich ulicach pojawiły się kałuże
Potoczna wiedza: implikacja ( Jeśli w Poznaniu padał deszcz, to
na poznańskich ulicach są kałuże ) jest twierdzeniem.
Będąc na trzecim piętrze budynku stojącego w Poznaniu,
zaobserwowaliśmy, że pada deszcz. Zdanie jest więc prawdziwe.
Korzystając z reguły odrywania, wnioskujemy, że zdanie jest
prawdziwe.
Wystarczy to do wnioskowania, że na ulicach pojawiły się kałuże.
Dla stwierdzenia tego faktu nie musieliśmy wyglądać przez okno na
ulicÄ™.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykład.
zdanie  Osobnik P jest pingwinem
zdanie  Osobnik P jest ptakiem
zdanie  Osobnik P ma skrzydła .
Wiedza przyrodnicza: implikacje i sÄ… twierdzeniami.
Stosując sylogizm dochodzimy do wniosku, że również
implikacja jest twierdzeniem ( Każdy pingwin ma skrzydła ).
Ostatni pewnik otrzymaliśmy drogą logicznego rozumowania
dwóch poprzednich pewników potwierdzonych empirycznie.
Dzięki temu nie musimy już empirycznie sprawdzać, czy każdy
pingwin ma skrzydła.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Funkcje zdaniowe
)
Funkcja zdaniowa - stwierdzenie zawierajÄ…ce
pewne wolne zmienne zdaniowe , które
dla ustalonych wartości tych zmiennych staje się zdaniem.
Zbiory nazywane są zakresami zmienności
zmiennych zdaniowych.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Zdanie logiczne możemy uzyskać z funkcji zdaniowej poprzez
podstawienie za wolne zmienne zdaniowe konkretnych wartości
pochodzących z zakresów zmienności tych zmiennych.
Podstawienia te wiążą poszczególne zmienne zdaniowe.
W szczególnym przypadku zakresy zmienności zmiennych
zdaniowych są zdefiniowane poprzez kontekst wyrażenia
zastosowanego do sformułowania funkcji zdaniowej.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykład
Wypowiedz

 Znajomy pan X ma czerwony samochód
)
jest funkcją zdaniową określoną dla zakresu zmienności
zdefiniowanego domyślnie, jako zbiór znajomych mężczyzn.
Jeśli pomiędzy tymi znajomymi jest pan Abacki, to wyrażenie
)
oznaczające  Pan Abacki ma czerwony samochód
jest zdaniem logicznym.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykład
Wyrażenie
)
jest funkcją zdaniową określoną dla zakresów
zmienności zdefiniowanych domyślnie w następujący sposób:
i .
)
Dla i otrzymujemy zdanie oznaczajÄ…ce
. Jest to zdanie prawdziwe.
)
Dla i otrzymujemy zdanie oznaczajÄ…ce
. Jest to zdanie fałszywe.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Funkcje zdaniowe mogą być przekształcane lub łączone za
pomocą spójników logicznych.
) )
Jeśli funkcje zdaniowe i mają wspólne
zakresy zmienności , to wtedy wyrażenia:
)
·ð ,
) )
·ð ,
) )
·ð ,
) )
·ð ,
) )
·ð .
są funkcjami zdaniowymi z identycznym zakresem zmienności.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykład
Wyrażenia
)
oznaczajÄ…ce ,
)
oznaczajÄ…ce
są funkcjami zdaniowymi o zakresie zmienności .
Wyrażenie
) )
jest funkcją zdaniową o zakresie zmienności
(czytamy lub ).
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
)
FunkcjÄ™ zdaniowÄ… gdzie
nazywamy tożsamością, jeśli dla dowolnych ustalonych
)
wartości zdanie
jest prawdziwe.
Przykład
Funkcja zdaniowa
lub
nie jest tożsamością, gdyż dla daje zdanie fałszywe.
Funkcja zdaniowa
)
nazywana wzorem skróconego mnożenia jest tożsamością.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Z danej funkcji zdaniowej można otrzymać
zdanie poprzez użycie kwantyfikatorów
określających wzajemne związki pomiędzy
funkcją zdaniową a zakresami zmienności jej
zmiennych zdaniowych.
Mówimy wtedy, że kwantyfikator przypisany
danej zmiennej zdaniowej wiąże tę zmienną
zdaniowÄ….
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
- kwantyfikator ogólny (duży, uniwersalny)
czytamy:  dla każdego
Zapis
)
oznacza, że
,,dla każdego zdanie ) jest
prawdziwe .
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykład
Rozważmy funkcję zdaniową
o domyślnym zakresie zmienności .
Wtedy zdanie:
jest zdaniem fałszywym, gdyż na przykład zdanie
jest zdaniem fałszywym.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
- Kwantyfikator szczegółowy (mały, egzystencjalny)
czytamy:  istnieje
Zapis
)
oznacza, że
)
 istnieje takie, że zdanie jest
prawdziwe .
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykład
Rozważmy funkcję zdaniową
o domyślnym zakresie zmienności .
Zdanie:
jest zdaniem prawdziwym, gdyż zdania
i
sÄ… prawdziwe.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
- kwantyfikator jednoznaczności
czytamy:  istnieje dokładnie jeden .
Zapis
)
oznacza, że
 istnieje dokładnie jedno takie, że
)
zdanie jest prawdziwe .
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykład
Ponownie rozważmy funkcję zdaniową
Zdanie:
jest zdaniem fałszywym, gdyż oba zdania
i
sÄ… prawdziwe.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Istotną pomocą przy negowaniu zdań
utworzonych przy użyciu kwantyfikatorów
służą
prawa De Morgana dla kwantyfikatorów:
) )
) )
.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykład
)
.
Ostatnie zdanie jest prawdziwe, bo zdanie jest
prawdziwe.
Przykład
)
Ostatnie zdanie jest fałszywe, bo na przykład zdanie
jest fałszywe.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Prowadząc wnioskowanie możemy korzystać z
dodatkowych reguł wnioskowania
określonych dla dowolnej wartości zmiennej
zdaniowej
) )
,
) )
.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykład
·ð JeÅ›li wiemy, że pan Abacki jest inteligentny, to dowodzi
istnienia ludzi inteligentnych.
·ð JeÅ›li wiemy, że wszyscy ludzie sÄ… inteligentni, to dowodzi
inteligencji pana Abackiego.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
)
Dowolną funkcję zdaniową przekształcamy w zdanie logiczne
wiążąc wszystkie wolne zmienne zdaniowe .
Każdą ze zmiennych zdaniowych możemy związać na jeden z dwóch
sposobów:
-ð za zmiennÄ… zdaniowÄ… podstawiamy ustalonÄ… wartość ,
)
-ð wzajemne zwiÄ…zki pomiÄ™dzy funkcjÄ… zdaniowÄ… a
zakresem zmienności określamy za pomocą kwantyfikatora ogólnego
lub szczegółowego.
Funkcja zdaniowa, w której została związana jedynie część wolnych
zmiennych zdaniowych, pozostaje nadal funkcjÄ… zdaniowÄ….
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykład
Rozważmy funkcję zdaniową:
.
Przyjmijmy podstawienia i .
Wyrażenie:
{ }
jest funkcjÄ… zdaniowÄ… z wolnÄ… zmiennÄ… zdaniowÄ… .
Oznacza to, że powyższa funkcja nie jest zdaniem. Jeżeli tę zmienną zwiążemy, to uzyskamy zdanie:
{ }
.
Zdanie to będzie fałszywe (wystarczy rozwiązać odpowiednią nierówność z niewiadomą i parametrem ).
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykład
Zaprzeczymy ostatniemu zdaniu poprzedniego przykładu:
{ }
{ }
{ }
( )
{ }
.
Uzyskane zdanie jest prawdziwe.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Równania i nierówności
Warunek nałożony na niewiadome - każda złożona funkcja
)
zdaniowa uzyskana przez przekształcenie lub połączenie
prostych funkcji zdaniowych postaci :
)
·ð (dowolne równanie z niewiadomymi )
)
·ð oraz
)
·ð (dowolne nierównoÅ›ci z niewiadomymi ).
W tej sytuacji dowolne równanie lub nierówność jest warunkiem nałożonym
na niewiadome.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
)
Pierwiastek warunku - każde zdanie
takie, że zdanie
)
jest prawdziwe.
Każdy pierwiastek warunku nazywany też jest rozwiązaniem
szczegółowym warunku.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykład
·ð Zdanie jest pierwiastkiem równania:
,
bo zdanie jest prawdziwe.
·ð Zdanie jest pierwiastkiem nierównoÅ›ci:
,
bo zdanie jest prawdziwe.
·ð Zdanie jest pierwiastkiem równania:
,
bo zdanie jest prawdziwe. Zdanie nie jest
pierwiastkiem tego równania, bo zdanie jest fałszywe.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
RozwiÄ…zanie warunku polega na wyznaczeniu wszystkich
pierwiastków tego warunku, to jest na wyznaczeniu
rozwiązania ogólnego tego warunku.
Rozwiązanie ogólne - zbiór wszystkich pierwiastków
warunku.
Przykład
·ð Zdanie jest jedynym pierwiastkiem równania .
{ }
Zatem zbiór jest rozwiązaniem ogólnym tego równania.
)
·ð PrzedziaÅ‚ jest rozwiÄ…zaniem ogólnym nierównoÅ›ci
.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Implementacja WOLFRAM
Rozwiązanie ogólne warunku lub przykłady
rozwiązań szczegółowych danego warunku
możemy znalez
ć, zapisując w linii poleceń ten
warunek i następnie go zatwierdzając.
Rozwiązanie ogólne często jest przedstawione
w formie graficznej.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Metoda przekształceń równoważnych polega na zastępowaniu
warunku
)
przez warunek
)
taki, że równoważność:
) )
jest tożsamością.
)
Wtedy rozwiązanie ogólne warunku jest równe
)
rozwiązaniu ogólnemu warunku .
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykład
Do obu stron nierówności:
dodajemy i wykonujemy działania po obu stronach nierówności.
W ten sposób nierówność tę równoważnie przekształcamy do
nierówności:
.
Rozwiązaniem ogólnym każdej z tych nierówności jest przedział
)# )
.
WolframAlpha - zapisanie w linii poleceń warunku: x-2>=4.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykłady przekształceń równoważnych:
-ð obliczanie wartoÅ›ci wyrażeÅ„ wystÄ™pujÄ…cych w warunku,
-ð dodawanie do obu stron warunku tej samej wartoÅ›ci,
-ð mnożenie obu stron warunku przez wartość wiÄ™kszÄ… od
zera,
-ð zastÄ…pienie iloczynowej postaci warunku:
) )
przez alternatywÄ™:
) )
.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Metoda analizy starożytnych polega na zastępowaniu warunku
)
przez warunek
)
taki, że implikacja:
) )
jest tożsamością.
)
Wtedy rozwiązanie ogólne warunku zawiera rozwiązanie ogólne
)
warunku .
W każdym przypadku konieczne jest sprawdzenie, czy pierwiastki
otrzymanego ostatecznie warunku sÄ… pierwiastkami poczÄ…tkowego warunku.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykład
Rozwiążemy równanie:
.
"
Podnosimy to równanie obustronnie do kwadratu
.
{ }
Rozwiązanie ogólne tego równania: .
Zdanie nie jest pierwiastkiem rozwiązywanego równania.
Zdanie jest pierwiastkiem rozwiązywanego równania.
{ }
Rozwiązaniem ogólnym pierwszego równania jest zbiór .
WolframAlpha: zatwierdzić w linii poleceń warunek:
x=Sqrt[x+6] .
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
W szczególnym przypadku mogą istnieć warunki nieposiadające
pierwiastków. Oznacza to, że rozwiązanie ogólne takiego warunku
jest zbiorem pustym.
Jeśli dla dowolnych ustalonych wartości zdanie
) )
jest fałszywe, wtedy warunek
nazywamy warunkiem sprzecznym.
Przykład Równanie:
jest równaniem sprzecznym, gdyż lewa strona tego równania zawsze jest
dodatnia.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Układem warunków:
)
)
{
)
nazywamy koniunkcjÄ™:
) ) )
.
Implementacja WOLFRAM: Rozwiązanie ogólne warunku lub przykłady
rozwiązań szczegółowych danego układu warunków możemy znalez
ć,
zapisując w linii poleceń koniunkcję warunków i następnie zatwierdzając cały
układ. Rozwiązanie ogólne często jest przedstawione w formie graficznej.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
Przykład Rozwiążmy układ równań:
) )
{
) )
1. Postaci iloczynowe zastępujemy przez alternatywy.
Otrzymujemy układ warunków:
{ .
2. Rozwiązując występujące w tych warunkach równania liniowe i kwadratowe,
dostajemy układ warunków:
{ .
3. Ten układ warunków zastępujemy koniunkcją:
) )
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagajÄ…ca ekonomiÄ™, C.H. Beck 2013
4. Otrzymany warunek rozwiÄ…zujemy:
) )
) ) )
) ) )
) ) )
) )
) ) )
.
5. Ostatecznie otrzymujemy rozwiązanie ogólne rozwiązywanego układu równań:
) ) ) )
)
Identyczne rozwiązanie otrzymamy, zapisując w linii poleceń WolframAlpha:
(x-1)*(y^2-5*y+6)=0&&(x^2-9*x+20)*(y-6)=0.