1. Matematická logika a teorie mno~in
1. MATEMATICKÁ LOGIKA A TEORIE MNO%7Ĺ„IN
as ke studiu: 3x60 minut
Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete um%1Ĺ‚t
" Lépe a pYesn%1Ĺ‚ji formulovat své myalenky.
" Lépe rozum%1Ĺ‚t vĹĽznamu myalenek druhĹĽch lidí.
" Tyto myalenky pYevést do matematického zápisu a dále s nimi pracovat.
1.1. Logika
VĹ»ROK je vyslovené nebo napsané tvrzení, o n%1Ĺ‚m~ má smysl rozhodnout, zda je
pravdivé nebo nepravdivé, pYi%0Ĺ„em~ musí nastat práv%1Ĺ‚ jedna z t%1Ĺ‚chto dvou mo~ností.
Mo~e to bĹĽt oznamovací v%1Ĺ‚ta pYirozeného jazyka nebo tvrzení vyjádYené matematickĹĽm zápisem
(symboly) nebo kombinace obojího.
Tedy, jak mohou vĹĽroky vypadat:
a) Praha je hlavní m%1Ĺ‚sto eské republiky. (pravdivĹĽ vĹĽrok)
b) V roce 1945 skon%0Ĺ„ila 2. sv%1Ĺ‚tová válka. (pravdivĹĽ vĹĽrok)
c) 2 + 3 = 6 (nepravdivĹĽ vĹĽrok)
128
d) = 23 (pravdivĹĽ vĹĽrok)
24
e) Rovnice x2 +1 = 0 má Yeaení. (?)
f) Matematika na základní akole je jednoduchá. (pravdivĹĽ vĹĽrok - nebo máte jinĹĽ názor?)
g) Za tĹĽden bude p%1Ĺ‚kné po%0Ĺ„así. (?)
Ur%0Ĺ„it%1Ĺ‚ si nyní pokládáte otázku, pro%0Ĺ„pak není u vĹĽroko e) a g) uvedeno, zda jsou pravdivé %0Ĺ„i
nepravdivé. U vĹĽroku g) je ur%0Ĺ„it%1Ĺ‚ v%1Ĺ‚tain%1Ĺ‚ z vás jasné, ~e o jeho pravdivosti mo~eme dopYedu t%1Ĺ‚~ko
rozhodnout. N%1Ĺ‚kdy se s pYedpov%1Ĺ‚dí netrefí ani zkuaení meteorologové. Jak si s takovĹĽmto problémem
poradíme? Jednoduae.
VĹĽroky, o nich~ v daném okam~iku nejsme schopni Yíct, zda jsou pravdivé %0Ĺ„i nepravdivé,
nazĹĽváme HYPOTÉZY (domn%1Ĺ‚nky).
i-li:
g) Za tĹĽden bude p%1Ĺ‚kné po%0Ĺ„así. (hypotéza)
1
1. Matematická logika a teorie mno~in
Jiná situace nastává u varianty e). Absolventi základní akoly by jist%1Ĺ‚ prohlásili, ~e se jedná o
vĹĽrok nepravdivĹĽ, neboe neumí vyYeait takovouto rovnici. Oproti tomu absolventi stYední
akoly by prohlásili, ~e se jedná o vĹĽrok pravdivĹĽ a jist%1Ĺ‚ by nám pohotov%1Ĺ‚ pYedlo~ili koYeny
{i,-i}. Ovaem pro matematika tohle tvrzení vĹĽrokem nebude, proto~e je pro n%1Ĺ‚j neĹ›plné. Ale
sta%0Ĺ„í malé dopln%1Ĺ‚ní a u~ bude ka~dĹĽ matematik spokojenĹĽ. Tak~e napY.:
e) x2 +1 = 0 má reálné Yeaení. (nepravdivĹĽ vĹĽrok)
e) x2 +1 = 0 má Yeaení v komplexních %0Ĺ„íslech. (pravdivĹĽ vĹĽrok)
Tímto pYíkladem jsme cht%1Ĺ‚li ukázat, ~e n%1Ĺ‚kdy naae rozhodování závisí na míYe dosa~enĹĽch znalostí.
VĹĽroky, u kterĹĽch naae rozhodování o pravdivosti závisí na ur%0Ĺ„itĹĽch okolnostech,
nazĹĽváme PODMÍNNÉ.
Je bYezen. je vĹĽrok podmín%1Ĺ‚nĹĽ, proto~e je pravdivĹĽ v bYeznu a nepravdivĹĽ po zbytek roku
V tomto okam~iku jste si ji~ ur%0Ĺ„it%1Ĺ‚ polo~ili otázku, jak vypadá jazykovĹĽ vĹĽraz, kterĹĽ není vĹĽrok.
Nabízíme n%1Ĺ‚kolik pYíklado:
a) Cesta do stYedu zem%1Ĺ‚. názvy a neĹ›plné oznamovací v%1Ĺ‚ty
b) 3 + 6 + 9 - 4 vĹĽrazy, kde není co porovnat
c) Okam~it%1Ĺ‚ vynes koa! rozkazovací v%1Ĺ‚ty
d) U~ máa napsané Ĺ›koly? tázací v%1Ĺ‚ty
e) íslo x je d%1Ĺ‚litelné sedmi. vĹĽrazy obsahující prom%1Ĺ‚nnou
Prom%1Ĺ‚nná je symbol, kterĹĽ ozna%0Ĺ„uje kterĹĽkoli objekt z dané mno~iny objekto.
My nevíme, jaké konkrétní %0Ĺ„íslo je x, ale zato víme, ~e n%1Ĺ‚která %0Ĺ„ísla jsou d%1Ĺ‚litelná sedmi a
jiná nikoliv a proto se o pravdivosti této v%1Ĺ‚ty prost%1Ĺ‚ nedá rozhodnout te ani v budoucnu.
Pozor ale na tvrzení, ve kterĹĽch se sice vyskytuje prom%1Ĺ‚nná, ale zároveH je Ye%0Ĺ„eno, jaké
hodnoty máme za prom%1Ĺ‚nnou dosadit.
e) Ka~dé liché %0Ĺ„íslo x je d%1Ĺ‚litelné sedmi. (vĹĽrok nepravdivĹĽ)
XeaenĹĽ pYíklad
" Pomocí prom%1Ĺ‚nnĹĽch zapiate vĹĽraz, kterĹĽ vyjadYuje rozdíl druhĹĽch mocnin dvou libovolnĹĽch
reálnĹĽch %0Ĺ„ísel.
Xeaení
2
x2 - y , x" R, y " R
2
1. Matematická logika a teorie mno~in
" Stanovte, které z danĹĽch jazykovĹĽch vĹĽrazo jsou vĹĽroky (pravdivé x nepravdivé), které jsou
hypotézy a které nejsou vĹĽroky:
a) íslo 8 je prvo%0Ĺ„íslo.
b) Xeate rovnici 3x -1 = 0 .
c) Zem%1Ĺ‚ není jediná planeta ve vesmíru, kde existuje ~ivot.
Xeaení
a) NepravdivĹĽ vĹĽrok - proto~e víme, ~e prvo%0Ĺ„ísla jsou %0Ĺ„ísla d%1Ĺ‚litelná pouze sama sebou a jedni%0Ĺ„kou,
avaak %0Ĺ„íslo 8 je d%1Ĺ‚litelné navíc dvojkou a %0Ĺ„tyYkou.
b) Není vĹĽrok - vĹĽraz není tvrzení, ale pYíkaz
c) Hypotéza - toto tvrzení zatím nebylo potvrzeno ani vyvráceno.
3
1. Matematická logika a teorie mno~in
Je-li vĹĽrok pravdivĹĽ, pak mo~eme také Yíct, ~e vĹĽrok platí.
Je-li vĹĽrok nepravdivĹĽ, pak mo~eme také Yíct, ~e vĹĽrok neplatí.
VĹĽrokom se pYiYazují tzv. pravdivostní hodnoty. Pravdivému vĹĽroku se pYiYazuje pravdivostní
hodnota 1 a nepravdivému vĹĽroku se pYiYazuje pravdivostní hodnota 0.
VĹĽroky, o nich~ jsme doposud mluvili, se nazĹĽvají jednoduché vĹĽroky. Z jednoduchĹĽch vĹĽroko lze
vytváYet slo~ené vĹĽroky pomocí logickĹĽch spojek.
Základní slo~ené vĹĽroky vidíme v následující tabulce. Základní se jim Yíká proto, ~e vzniknou
pou~itím pouze jediné logické spojky.
Symbol Symbolické
logické Název slo~eného vĹĽroku ozna%0Ĺ„ení VyjádYení v jazyce
spojky vĹĽroku
Ĺąp
Ĺą negace vĹĽroku p není pravda, ~e p
p '" q
'" konjunkce vĹĽroko p , q p a q
p a zároveH q
( p i q , p a té~ q )
p (" q
(" disjunkce vĹĽroko p , q p nebo q , (nebo není vylu%0Ĺ„ovací!)
p Ň! q
Ň!
implikace vĹĽroku q vĹĽrokem jestli~e p , pak q
p
p je posta%0Ĺ„ující podmínkou pro q
q je nutnou podmínkou pro p
p Ô! q
Ô!
ekvivalence vĹĽroko p , q p práv%1Ĺ‚ tehdy kdy~ q
p tehdy a jen tehdy, kdy~ q
p je nutnou a posta%0Ĺ„ující podmínkou pro q
Proto~e %0Ĺ„eskĹĽ jazyk nám umo~Huje vyjádYit jednu v%1Ĺ‚tu n%1Ĺ‚kolika zposoby, uka~me si, jak mo~e
vypadat implikace:
" Jestli~e je 31. prosince, pak kon%0Ĺ„í rok.
" Je-li 31. prosince, kon%0Ĺ„í rok.
" Máme-li 31. prosince, potom kon%0Ĺ„í rok.
" Kdy~ je 31. prosince, kon%0Ĺ„í rok.
V%1Ĺ‚Yíme, ~e vĹĽznam ostatních spojek je %0Ĺ„tenáYi intuitivn%1Ĺ‚ jasnĹĽ.
4
1. Matematická logika a teorie mno~in
SamozYejm%1Ĺ‚, ~e z t%1Ĺ‚chto základních slo~enĹĽch vĹĽroko mo~eme vytváYet více slo~ené vĹĽroky aplikací
dalaích logickĹĽch spojek. Pokud je tYeba, pou~ijeme závorky. Slo~enĹĽm vĹĽrokem jsou napYíklad:
ŹŹp
Ĺąp '" (q Ň! Ĺąr)
Ĺą(Ĺąp '" Ĺąq)Ô! (p (" q)
Následující zápisy nejsou slo~enĹĽmi vĹĽroky, proto~e:
" p Ň!Ň! q vícekrát t%1Ĺ‚sn%1Ĺ‚ za sebou mo~e bĹĽt pouze spojka negace
nebo za sebou mohou následovat libovolná jiná spojka
následovaná spojkou negace
" Ĺąp '" (q Ň!) u základního slo~eného vĹĽroku v závorce chybí druhĹĽ vĹĽrok
" Ĺąp '" ((( (q Ň! )Ĺąr)Ô! p ) nejsou správn%1Ĺ‚ pou~ity závorky
Slo~enĹĽ podmínky jeho pravdivosti
vĹĽrok
Ĺąp
Je pravdivĹĽ vĹĽrok, práv%1Ĺ‚ kdy~ p je nepravdivĹĽ.
p '" q
Je pravdivĹĽ vĹĽrok, práv%1Ĺ‚ kdy~ vĹĽroky p , q jsou oba zároveH pravdivé.
p (" q
Je pravdivĹĽ vĹĽrok, práv%1Ĺ‚ kdy~ alespoH jeden z vĹĽroko p , q je pravdivĹĽ.
p Ň! q
Je pravdivĹĽ vĹĽrok, práv%1Ĺ‚ kdy~ nenastane, ~e vĹĽrok p je pravdivĹĽ a zároveH vĹĽrok q je
nepravdivĹĽ.
p Ô! q
Je pravdivĹĽ vĹĽrok, práv%1Ĺ‚ kdy~ jsou vĹĽroky p , q oba zároveH pravdivé, anebo oba
zároveH nepravdivé.
Na chvíli se zastavíme u implikace. p Ň! q je pravdivĹĽ vĹĽrok práv%1Ĺ‚ tehdy kdy~
" bu vĹĽrok p je nepravdivĹĽ
" nebo vĹĽrok p je pravdivĹĽ a zároveH je pravdivĹĽ i vĹĽrok q .
5
1. Matematická logika a teorie mno~in
XeaenĹĽ pYíklad
" Jsou dány vĹĽroky p : 4 `" 2 & ..nepravdivĹĽ vĹĽrok, q : 3 < 5 & & .pravdivĹĽ vĹĽrok. Rozhodn%1Ĺ‚te,
které z následujících slo~enĹĽch vĹĽroko jsou pravdivé a které nepravdivé:
a) Ĺąp
b) Ĺąq
c) p '" q
d) p (" q
e) p Ň! q
f) p Ô! q
g) Ĺąp Ň! Ĺąq
Xeaení
a) 4 = 2 vĹĽrok pravdivĹĽ
b) 3 e" 5 vĹĽrok nepravdivĹĽ
c) 4 `" 2 a zároveH 3 < 5 vĹĽrok nepravdivĹĽ, proto~e nejsou pravdivé oba vĹĽroky
d) 4 `" 2 nebo 3 < 5 vĹĽrok pravdivĹĽ, proto~e je pravdivĹĽ druhĹĽ vĹĽrok
e) jestli~e 4 `" 2 , pak 3 < 5 vĹĽrok pravdivĹĽ, proto~e z nepravdivého vĹĽroku mo~e
vzniknout vĹĽrok pravdivĹĽ
f) 4 `" 2 práv%1Ĺ‚ tehdy kdy~ 3 < 5 vĹĽrok nepravdivĹĽ, proto~e jeden z vĹĽroko je
nepravdivĹĽ a druhĹĽ je pravdivĹĽ
g) jestli~e 4 = 2 , pak 3 e" 5 vĹĽrok nepravdivĹĽ, proto~e z pravdivého vĹĽroku
nemo~e vzniknout vĹĽrok nepravdivĹĽ
Symboly p a q mohou pYedstavovat nejen ur%0Ĺ„ité vĹĽroky, ale také vĹĽrokové prom%1Ĺ‚nné, tj. prom%1Ĺ‚nné
zastupující vĹĽroky (základní i slo~ené).
VĹĽrazy vytvoYené z kone%0Ĺ„ného po%0Ĺ„tu vĹĽrokovĹĽch prom%1Ĺ‚nnĹĽch, logickĹĽch spojek a popY. závorek se
nazĹĽvají vĹĽrokové formule.
6
1. Matematická logika a teorie mno~in
Následující tabulka vyjadYuje pravdivostní hodnoty základních vĹĽrokovĹĽch formulí.
p q Ĺąp p '" q p (" q p Ň! q p Ô! q
0 0 1 0 0 1 1
0 1 1 0 1 1 0
1 0 0 0 1 0 0
1 1 0 1 1 1 1
Závorky u vĹĽrokovĹĽch formulí bĹĽvají zapotYebí proto, ~e vaechny logické spojky nemají stejnou
prioritu (pYednost).
Priorita:
1. dvojice závorek
2. Ĺą
3. '", ("
4. Ň!, Ô!
JinĹĽmi slovy, mám-li ur%0Ĺ„it pravdivostní ohodnocení libovolné slo~ené formule, nejprve zjiaeuji
ohodnocení formulí uvnitY závorek (jsou-li závorky vnoYeny do sebe, postupujeme od vnitYní k vn%1Ĺ‚jaí),
potom negací formulí, dále konjunkcí a disjunkcí formulí a nakonec implikací a ekvivalencí formulí.
XeaenĹĽ pYíklad
" Ur%0Ĺ„ete pravdivostní ohodnocení formule [(p Ň! Ĺąq)Ô! Ĺą(p '" r)](" p .
Xeaení
p q Ĺąq p '" r u (" p
s = ( p Ň! Ĺąq) t = Ĺą( p '" r) u = (s Ô! t)
r
0 0 0 1 1 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0 1 1 1
0 1 0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 1 0 1 1 1
1 0 0 1 1 0 1 1 1
1 0 1 1 1 1 0 0 1
1 1 0 0 0 0 1 0 1
1 1 1 0 0 1 0 1 1
Abychom uaetYili místo v tabulce, pou~ili jsme nové vĹĽrokové prom%1Ĺ‚nné s, t, u pro ozna%0Ĺ„ení %0Ĺ„ástí
vĹĽrokové formule. PoYadí sloupco v tabulce udává poYadí vyhodnocování ohodnocení formule.
Poslední sloupec je pravdivostním ohodnocením celé formule.
Jak je vid%1Ĺ‚t, zadaná formule je nepravdivá, jsou-li sou%0Ĺ„asn%1Ĺ‚ nepravdivé vĹĽrokové prom%1Ĺ‚nné (vĹĽroky)
p a r . Formule je pravdivá ve vaech ostatních pYípadech.
7
1. Matematická logika a teorie mno~in
Formule, její~ vaechna pravdivostní ohodnocení jsou rovna 1, se nazĹĽvá tautologie.
Formule, její~ vaechna pravdivostní ohodnocení jsou rovna 0 , se nazĹĽvá kontradikce.
Tj. tautologie je formule, která platí (je pravdivá) za vaech okolností, zatímco kontradikce je formule,
která nikdy neplatí (je nepravdivá).
Formule z pYíkladu není ani kontradikce ani tautologie (v posledním sloupci je aest 1 a dv%1Ĺ‚ 0 ).
Dv%1Ĺ‚ vĹĽrokové formule jsou si rovny, obsahují-li stejné prom%1Ĺ‚nné a mají-li stejná
pravdivostní ohodnocení pro stejná ohodnocení prom%1Ĺ‚nnĹĽch.
Tj. pou~ijeme-li pro ob%1Ĺ‚ formule tabulky, musí se jejich poslední sloupce shodovat.
Nebo také, dv%1Ĺ‚ formule jsou si rovny, jsou-li ekvivalentní.
Dva dole~ité vztahy:
(p Ň! q) Ô! (Ĺąq Ň! Ĺąp) obm%1Ĺ‚na implikace
(p Ň! q) Ô! (Ĺąp (" q) náhrada implikace disjunkcí
Máme-li p Ň! q , potom q Ň! p je obrácená implikace.
XeaenĹĽ pYíklad
" Pro vĹĽroky p : Petr má hlad.
q : Duaan má hlad.
vyjádYete vĹĽrokovĹĽmi formulemi slo~ené vĹĽroky:
a) Petr ani Duaan nemají hlad.
b) AlespoH jeden z chlapco má hlad.
Xeaení
a) Ĺąp '" Ĺąq Petr nemá hlad a zároveH Duaan nemá hlad.
b) p (" q Petr má hlad nebo Duaan má hlad.
Spojka nebo není vylu%0Ĺ„ovací, tj. zahrnuje i pYípad, ~e mají hlad oba chlapci.
8
1. Matematická logika a teorie mno~in
" Vyslovte obm%1Ĺ‚ny a obrácení implikací:
a) Jestli~e si chci ve%0Ĺ„er %0Ĺ„íst, rozsvítím si sv%1Ĺ‚tlo.
b) Pokud dostanu chue na d~us, koupím si jej v obchod%1Ĺ‚.
Xeaení
a) Nerozsvítím-li si ve%0Ĺ„er sv%1Ĺ‚tlo, nechci si %0Ĺ„íst.
Rozsvítím-li ve%0Ĺ„er sv%1Ĺ‚tlo, chci si %0Ĺ„íst.
b) Nekoupím-li si v obchod%1Ĺ‚ d~us, nedostanu na n%1Ĺ‚j chue.
Jestli~e si koupím v obchod%1Ĺ‚ d~us, dostanu na n%1Ĺ‚j chue.
SprávnĹĽ vĹĽsledek mo~e bĹĽt zapsán i s mírnĹĽmi odchylkami, vĹĽznam tvrzení vaak musí zostat stejnĹĽ.
9
1. Matematická logika a teorie mno~in
1.2. Mno~iny
MNO%7Ĺ„INA je soubor libovolnĹĽch navzájem roznĹĽch objekto, které mají stejnou vlastnost,
vzhledem ke které jsou chápány jako jeden celek.
NapYíklad
a) mno~ina ~idlí
b) mno~ina vaech lidí majících alespoH 190 cm,
c) mno~ina vaech kladnĹĽch lichĹĽch %0Ĺ„ísel,
d) mno~ina vaech pYímek v rovin%1Ĺ‚, &
Mno~inu pokládáme za ur%0Ĺ„enou, je-li mo~no o ka~dém prvku jednozna%0Ĺ„n%1Ĺ‚ rozhodnout, zda do ní
patYí, %0Ĺ„i nikoliv.
Z pYedchozího pYíkladu pokládáme za ur%0Ĺ„ené mno~inu c) a d), nikoliv vaak mno~iny a) (zále~í na
naaem subjektivním názoru, co jeat%1Ĺ‚ pova~ujeme za ~idli a co u~ nikoliv) a b) (zále~í na míYe pYesnosti
m%1Ĺ‚Yení, nehled%1Ĺ‚ na to, ~e ráno je ka~dĹĽ %0Ĺ„lov%1Ĺ‚k o kousek vyaaí ne~ ve%0Ĺ„er).
Ka~dĹĽ z objekto, kterĹĽ patYí do mno~iny, se nazĹĽvá prvek mno~iny.
K ozna%0Ĺ„ování mno~in se v%1Ĺ‚tainou pou~ívají velká písmena latinské abecedy A, B, M ,... k ozna%0Ĺ„ování
jejich prvko malá písmena a, b, x,... VĹĽjimkou je napY. zna%0Ĺ„ení v geometrii.
Zna%0Ĺ„ení:
a " A& & & objekt a je prvkem (elementem) mno~iny A
b " A & & & objekt b není prvkem (elementem) mno~iny A
Mno~ina obsahující alespoH jeden prvek se nazĹĽvá neprázdná.
Mno~ina, která neobsahuje ~ádnĹĽ prvek se nazĹĽvá prázdná a zna%0Ĺ„í se " .
PYíkladem prázdné mno~iny by mohla bĹĽt mno~ina lidí majících 9 hlav nebo mno~ina pYirozenĹĽch
%0Ĺ„ísel menaích ne~ 1.
Z hlediska po%0Ĺ„tu prvko mo~eme mno~iny rozd%1Ĺ‚lit na
a) kone%0Ĺ„né mají kone%0Ĺ„nĹĽ po%0Ĺ„et prvko (prázdná mno~ina nebo mno~ina, její~ po%0Ĺ„et
prvko je pYirozené %0Ĺ„íslo). Po%0Ĺ„et prvko kone%0Ĺ„né mno~iny A ozna%0Ĺ„ujeme A .
b) nekone%0Ĺ„né ty, které nejsou kone%0Ĺ„né.
10
1. Matematická logika a teorie mno~in
Zposoby zadání mno~iny
a) vĹĽ%0Ĺ„tem prvko, tj. vyjmenováním vaech prvko mno~iny
M = {x1, x2 ,..., xn} M je mno~ina prvko x1, x2 , a~ xn
Pozor! mno~ina pYirozenĹĽch %0Ĺ„ísel N = {1,2,3,4,5,...} není dána vĹĽ%0Ĺ„tem prvko.
Tímto zposobem lze zadat pouze mno~inu kone%0Ĺ„nou.
Mno~ina vaech jednocifernĹĽch pYirozenĹĽch %0Ĺ„ísel M = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
b) charakteristickou vlastností, tj. vlastností, kterou mají práv%1Ĺ‚ jen prvky zadávané
mno~iny
Ozna%0Ĺ„me U mno~inu vaech prvko (tzv. základní mno~ina).
M = {x "U : V (x)} M je mno~ina vaech prvko x z mno~iny U , které mají vlastnost V .
Mno~ina vaech kladnĹĽch nejvĹĽae dvojcifernĹĽch celĹĽch %0Ĺ„ísel M = {x " Z : x > 0, x < 100}
Pozn.: Mo~né jsou i zápisy M = {x " Z; x > 0, x < 100} nebo M = {x " Z x > 0, x < 100}
c) jinak (jiné zposoby zadání mno~in se vyskytují jen zYídka, proto je nebudeme rozebírat)
Prvky mno~in mohou bĹĽt op%1Ĺ‚t mno~iny. Mno~inu, jejími~ prvky jsou jisté mno~iny, nazĹĽváme systém
mno~in. Vylu%0Ĺ„uje se pYípad mno~iny, která by obsahovala jako prvek samu sebe a pYípad mno~iny
vaech mno~in.
XeaenĹĽ pYíklad
" Ur%0Ĺ„ete vĹĽ%0Ĺ„tem prvko mno~iny
a) Mno~inu vaech celĹĽch %0Ĺ„ísel, která jsou lichá a zároveH jsou v%1Ĺ‚taí ne~ - 15 a menaí ne~ - 3 .
x + 5
Ĺ„Ĺ‚
b) M = " N : > 6 '" 3x < 34üĹ‚
ňĹ‚x ĹĽĹ‚
2
ół ţĹ‚
Xeaení
a) M = {-13,-11,-9,-7,-5}
x + 5 34
b) > 6 Ň! x > 7 3x < 34 Ň! x < M = {8,9,10,11}
2 3
11
1. Matematická logika a teorie mno~in
" Ur%0Ĺ„ete mno~inu pomocí její charakteristické vlastnosti: M = {2,4,6,8,10,12,14}.
Xeaení
M je mno~ina vaech sudĹĽch %0Ĺ„ísel od 2 do 14. M = {x " N : x = 2k, 1 d" k d" 7}
" Mno~inu zapiate symbolicky: mno~ina M reálnĹĽch %0Ĺ„ísel, jejich~ pYirozenĹĽ logaritmus je menaí
ne~ jejich druhá mocnina zmenaená o dv%1Ĺ‚.
Xeaení
M = {x " R : ln x < (x2 - 2)}
12
1. Matematická logika a teorie mno~in
Mno~inové vztahy a operace
M%1Ĺ‚jme dánu základní mno~inu U . Prvky mno~in A a B budou pouze n%1Ĺ‚které z prvko mno~iny U .
Vztahy mezi mno~inami A a B :
vztah symbol %0Ĺ„tení symbolu definice
Inkluze mno~in
A Ä…" B mno~ina A je A je podmno~inou B , práv%1Ĺ‚ kdy~ ka~dĹĽ prvek
A a B podmno~inou (%0Ĺ„ástí) mno~iny A je zároveH prvkem mno~iny B
mno~iny B
A Ä…" B Ô! ("x "U : x " A Ň! x " B)
Rovnost mno~in
A = B mno~ina A se rovná A a B jsou si rovny, práv%1Ĺ‚ kdy~ A Ä…" B a
A a B
mno~in%1Ĺ‚ B
zároveH B Ä…" A , tj. mají vaechny prvky stejné
A = B Ô! A Ä…" B '" B Ä…" A
A = B Ô! ("x "U : x " A Ô! x " B)
Ostrá inkluze A je vlastní podmno~inou B, práv%1Ĺ‚ kdy~
A ‚" B mno~ina A je vlastní
mno~in A a B podmno~inou A Ä…" B a zároveH A `" B
mno~iny B
A ‚" B Ô! A Ä…" B '" A `" B
Základní operace s mno~inami A a B :
operace symbol definice
Sjednocení mno~in A a B Sjednocení mno~in A a B je mno~ina vaech prvko
A *" B
z mno~iny U , které patYí alespoH do jedné z mno~in
A , B .
A *" B = {x "U : x " A (" x " B}
Pronik mno~in A a B Pronik mno~in A a B je mno~ina vaech prvko
A )" B
z mno~iny U , které patYí do mno~iny A a zároveH
do mno~iny B .
A )" B = {x "U : x " A '" x " B}
Rozdíl mno~in A a B A - B Rozdíl mno~in A a B je mno~ina vaech prvko
z mno~iny U , které patYí do mno~iny A a zároveH
nepatYí do mno~iny B .
A - B = {x "U : x " A '" x " B}
Dopln%1Ĺ‚k mno~iny A 2 Dopln%1Ĺ‚k mno~iny A je mno~ina vaech prvko
A
z mno~iny U , které nepatYí do mno~iny A .
2
A = {x "U : x " A}
13
1. Matematická logika a teorie mno~in
2
Pro A ‚" B nazveme rozdíl B - A doplHkem mno~iny A v mno~in%1Ĺ‚ B . Zna%0Ĺ„íme AB .
Xíkáme, ~e mno~ina A je disjunktní s mno~inou B , práv%1Ĺ‚ kdy~ mají mno~iny A a B
prázdnĹĽ pronik ( A )" B = " ), tj. nemají ~ádnĹĽ spole%0Ĺ„nĹĽ prvek.
XeaenĹĽ pYíklad
" M%1Ĺ‚jme základní mno~inu U = {a, b, c, d, e, f , g}, dále mno~inu A = {a, c, e, g} a mno~inu
B = {b, c, d, e}. (Vidíme, ~e A ‚" U a také B ‚" U .)
Ur%0Ĺ„ete základní vztahy mezi mno~inami A a B .
Xeaení
A Ä…" B, B Ä…" A, A `" B, A ‚" B, B ‚" A, A Ä…" B, A `" B, A ‚" B
/ / /
/ / /
" Ur%0Ĺ„ete základní operace s mno~inami A a B :
Xeaení
A *" B = {a, b, c, d, e, g}
A )" B = {c, e}& & & & ..mno~iny A a B tedy nejsou disjunktní
A - B = {a, g}
B - A = {b, d}
2
A = {b, d, f }
2
B = {a, f , g}
" M%1Ĺ‚jme základní mno~inu U = {a, b, c, d, e, f , g}, dále mno~iny A = {b, c, d, f , g}, B = {b, d},
C = {b, d}.
Ur%0Ĺ„ete základní vztahy mezi mno~inami A , B a C
Xeaení
A Ä…" B, A `" B, A ‚" B, A Ä…" C, A `" C, A ‚" C
/ /
/ /
B Ä…" A, B `" A, B ‚" A, B Ä…" C, B = C, B ‚" C
/
/
C Ä…" A, C `" A, C ‚" A, C Ä…" B, C = B, C ‚" B
/
14
1. Matematická logika a teorie mno~in
Základní mno~inové operace sjednocení a pronik lze zobecnit také pro systém mno~in.
sjednocení pronik
operace sjednocení systému mno~in
pronik systému mno~in M1, M ,L, M
2 n
M1, M ,L, M
2 n
n n
symbol
=M1 *" M *"L*" M =M1 )" M )"L)" M
UM i 2 n IM i 2 n
i=1 i=1
definice Sjednocení systému mno~in
Pronik systému mno~in M1, M ,L, M
2 n
M1, M ,L, M je mno~ina vaech prvko
2 n
je mno~ina vaech prvko z mno~iny U ,
z mno~iny U , které patYí alespoH do jedné které patYí do ka~dé z mno~in
z mno~in M1, M ,L, M . M1, M ,L, M .
2 n 2 n
n n
= =
UM i IM i
i=1 i=1
={x"U:x"M1("x"M ("L("x"M } ={x"U:x"M1'"x"M '"L'"x"M }
2 n 2 n
Systém mno~in se nazĹĽvá disjunktní práv%1Ĺ‚ tehdy, kdy~ jsou ka~dé jeho dv%1Ĺ‚ mno~iny
disjunktní (tzv. po dvou disjunktní mno~iny).
XeaenĹĽ pYíklad
" M%1Ĺ‚jme základní mno~inu U = {a, b, c, d, e, f , g}, dále mno~iny A = {b, c, d, g}, B = {b, d},
C = {a, d, e}.Ur%0Ĺ„ete jejich sjednocení a pronik.
Xeaení
A *" B *" C = {a, b, c, d, e, g}, A )" B )" C = {d}.
" Zdovodn%1Ĺ‚te, zda platí mno~inová rovnost {1,3,5,7}={5+2,1+1,1+4,1}?
Xeaení
Mno~inová rovnost neplatí, proto~e dané mno~iny mají sice stejnĹĽ po%0Ĺ„et prvko, ale navzájem se liaí
v jednom prvku mno~iny.
" Je následující zápis platná mno~inová inkluze? c ‚" {a, b, c}
Xeaení
Zápis c ‚" {a, b, c} není mno~inová inkluze, proto~e podmno~inou mno~iny mo~e bĹĽt pouze mno~ina,
nikoliv jen jednotlivé prvky. Správná mno~inová inkluze by byla {c}‚" {a, b, c}.
15
1. Matematická logika a teorie mno~in
2
" VyjádYete vĹĽ%0Ĺ„tem prvko mno~inu M = {x " Z : x < 2} a ur%0Ĺ„ete systém vaech podmno~in této
mno~iny.
Xeaení
M ={x"Z:x2<2}, tzn. M = {-1,0,1}
Systém vaech podmno~in mno~iny M je S = {", {-1}, {0}, {1}, {-1,0}, {-1,1}, {0,1}, M}.
" Jsou dány mno~iny A = {1,3,5,7,9}, B = {2,4,6,8}. Ur%0Ĺ„ete A *" B, A )" B, A - B, B - A.
Xeaení
A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8}
A*"B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A)"B="
A-B="
B-A="
16
1. Matematická logika a teorie mno~in
Grafické znázorn%1Ĺ‚ní mno~in
íselné mno~iny nej%0Ĺ„ast%1Ĺ‚ji znázorHujeme na %0Ĺ„íselné ose a to bu pYímo na ní, nebo pomocí
vodorovnĹĽch %0Ĺ„ar rovnob%1Ĺ‚~nĹĽch s %0Ĺ„íselnou osou. Pokud %0Ĺ„íselná mno~ina obsahuje nekone%0Ĺ„n%1Ĺ‚ mnoho
racionálních nebo reálnĹĽch %0Ĺ„ísel (viz dále), potom je celá mno~ina nebo její %0Ĺ„ást zadána intervalem,
kterĹĽ mo~e, ale nemusí obsahovat krajní hodnoty. Pokud krajní hodnota intervalu do mno~iny patYí,
vyzna%0Ĺ„íme tuto hodnotu plnĹĽm kole%0Ĺ„kem. Pokud do mno~iny nepatYí, vyzna%0Ĺ„íme ji kole%0Ĺ„kem
prázdnĹĽm. To, zda krajní hodnota do intervalu patYí, %0Ĺ„i ne, poznáme podle uzávorkování intervalu.
`pi%0Ĺ„atá závorka ozna%0Ĺ„uje hodnotu, která jeat%1Ĺ‚ do intervalu patYí a kulatá závorka hodnotu, která u~ do
intervalu nepatYí.
XeaenĹĽ pYíklad
" Je dána mno~ina A = {x " R : x " (-5; 3,5 }, znázorn%1Ĺ‚te ji na %0Ĺ„íselné ose.
Xeaení
Ne%0Ĺ„íselné mno~iny a mno~iny %0Ĺ„íselné, které z n%1Ĺ‚jakého dovodu nelze nebo není vhodné znázornit na
%0Ĺ„íselné ose, znázorHujeme pomocí tzv. mno~inovĹĽch diagramo. Jedná se o grafické znázorn%1Ĺ‚ní
mno~iny v rovin%1Ĺ‚.
Základní mno~inu U znázorHujeme obdélníkem. Pokud v mno~inovém diagramu tento obdélník není,
znamená to, ~e základní mno~inu zobrazuje celá rovina. Podmno~iny mno~iny U , tedy mno~iny
A,B,..., jsou znázorn%1Ĺ‚ny oválnĹĽmi obrazci uvnitY obdélníku znázorHujícího mno~inu U . Chceme-li
zobrazit prvek x"M , ud%1Ĺ‚láme kYí~ek %0Ĺ„i kole%0Ĺ„ko uvnitY obrazce znázorHujícího mno~inu M . Pro
snadnou orientaci nezapomeneme vyzna%0Ĺ„ené mno~iny a prvky ozna%0Ĺ„it.
17
1. Matematická logika a teorie mno~in
Mno~inové diagramy znázorHující vztahy mezi mno~inami a operace s mno~inami se
nazĹĽvají Vennovy diagramy.
A Ä…" B A Ä…" B A Ä…" B
/ /
VĹĽsledky operací s mno~inami se vyzna%0Ĺ„ují arafováním %0Ĺ„i vybarvením.
A *" B
A *" B
A - B
B - A
18
1. Matematická logika a teorie mno~in
2
A
2
AB
Chceme-li VennovĹĽm diagramem znázornit dv%1Ĺ‚ libovolné mno~iny, o nich~ zatím nic nevíme,
musíme pou~ít ten nejobecn%1Ĺ‚jaí obrázek.
Do %0Ĺ„ástí neobsahujících ~ádnĹĽ prvek vepíaeme znak " .
Následující dva obrázky
mo~eme pYekreslit takto:
19
1. Matematická logika a teorie mno~in
Vlastnosti mno~inovĹĽch operací
Platnost následujících rovností si mo~ete snadno ov%1Ĺ‚Yit sestavením VennovĹĽch diagramo. Sta%0Ĺ„í
sestavit Vennov diagram pro levou stranu rovnosti a dalaí pro pravou stranu rovnosti a oba diagramy
mezi sebou porovnat.
A *" B = B *" A komutativní zákon pro sjednocení mno~in
A )" B = B )" A komutativní zákon pro pronik mno~in
2
A - B = A )" B
2
B - A = A )" B
2 2 2
(A*" B) = A )" B
2 2 2
(A)" B) = A *" B
2 2 2
Pro A Ä…" B platí: A - B = A )" B = " , B - A = A )" B = AB .
Z VennovĹĽch diagramo mo~eme také ur%0Ĺ„it po%0Ĺ„et prvko kone%0Ĺ„nĹĽch mno~in:
obecné mno~iny: A *" B = A - B + A )" B + B - A = A + B - A )" B
disjunktní mno~iny: A *" B = A + B
20
1. Matematická logika a teorie mno~in
XeaenĹĽ pYíklad
" Pomocí VennovĹĽch diagramo ov%1Ĺ‚Yte platnost následující mno~inové rovnosti (tzv. de Morganovy
2 2
formule) pro libovolné dv%1Ĺ‚ mno~iny A,B: (A*" B)2 = A )" B .
Xeaení
2 2
(A *" B)2 = A )" B
A*" B (A*" B)2
2 2 2 2
A B A )" B
21
1. Matematická logika a teorie mno~in
KartézskĹĽ sou%0Ĺ„in mno~in
N -tice prvko x1, x2 ,...xn ; (n " N, n e" 2) je kone%0Ĺ„ná mno~ina o n prvcích
{x1, x2 ,..., xn}, kde nezále~í na poYadí prvko.
UspoYádaná n -tice prvko (kone%0Ĺ„ná posloupnost prvko) (x1, x2 ,..., xn ) , kde
n " N, n e" 2 je kone%0Ĺ„ná mno~ina o n prvcích, kde zále~í na poYadí prvko.
Zapamatujte si, ~e zápis uspoYádané n -tice prvko se od zápisu neuspoYádané n -tice prvko liaí
v pou~ití závorky. Závorka mo~e bĹĽt
" kulatá, napY. pro zápis souYadnic vektoru: u = (u1, u2 ,..., un )
" hranatá, napY. pro zápis souYadnic bodu: A = [a1, a2 ,..., an ]
" api%0Ĺ„atá, napY. pro zápis prvko uspoYádané báze u%0Ĺ„ivo V`: B = b1, b2 ,..., bn
NeuspoYádaná n -tice mo~e bĹĽt takté~ uzávorkována, ale pouze závorkou mno~inovou, jak plyne ze
samotné definice.
Dv%1Ĺ‚ n -tice prvko se rovnají, obsahují-li práv%1Ĺ‚ tyté~ prvky, tj. pokud se rovnají pYísluané
mno~iny.
Dv%1Ĺ‚ uspoYádané n-tice prvko se rovnají práv%1Ĺ‚ tehdy, kdy~ mají stejné prvky na stejnĹĽch
místech, nebo-li:
2 2 2 2 2 2
(x1, x2 ,..., xn ) = (x1, x2 ,..., xn ) Ô! x1 = x1 '" x2 = x2 '" ... '" xn = xn .
KartézskĹĽm sou%0Ĺ„inem mno~in A, B, kterĹĽ zna%0Ĺ„íme A× B , nazveme mno~inu vaech
uspoYádanĹĽch dvojic prvko, kde první prvek je z mno~iny A a druhĹĽ prvek je z mno~iny
B .
A× B = {(xi , y ), xi " A, y " B, "i = 1,2,..., n, "j = 1,2,.., m}.
j j
Pro po%0Ĺ„et prvko kartézského sou%0Ĺ„inu dvou mno~in A, B platí: A× B = A Ĺ" B .
Nebo-li po%0Ĺ„et prvko kartézského sou%0Ĺ„inu dvou mno~in se rovná sou%0Ĺ„inu po%0Ĺ„tu prvko první mno~iny
s po%0Ĺ„tem prvko druhé mno~iny.
22
1. Matematická logika a teorie mno~in
KartézskĹĽm sou%0Ĺ„inem mno~in M1, M ,..., M , n " N, n e" 2 , kterĹĽ zna%0Ĺ„íme
2 n
M1 × M ×...× M , nazveme mno~inu vaech uspoYádanĹĽch n -tic prvko (x1, x2 ,..., xn ),
2 n
kde x1 " M1, x2 " M ,..., xn " M .
2 n
Po%0Ĺ„et prvko kartézského sou%0Ĺ„inu n kone%0Ĺ„nĹĽch mno~in M1, M ,..., M ( n " N, n e" 2 ), které mají
2 n
M1 , M ,..., M prvko, je M1 × M ×...× M = M1 Ĺ" M L M .
2 n 2 n 2 n
XeaenĹĽ pYíklad
" Jsou dány mno~iny A = {a, b, c} , B = {Ä…, ˛}, C = {1,2,3}Ur%0Ĺ„ete: A× C, B2 , A× C × B .
Xeaení
A×C = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3)}
B2 = B × B = {(Ä…,Ä…),(Ä…, ˛ ),(˛, ˛ )}
A×C × B = {(a,1,Ä…),(a,1, ˛ ),(a,2,Ä…),(a,2, ˛ ),(a,3,Ä…),(a,3, ˛ ),
(b,1,Ä…),(b,1, ˛ ),(b,2,Ä…),(b,2, ˛ ),(b,3,Ä…),(b,3, ˛ ),
(c,1,Ä…),(c,1, ˛ ),(c,2,Ä…),(c,2, ˛ ),(c,3,Ä…),(c,3, ˛ )}
" Ur%0Ĺ„ete kartézskĹĽ sou%0Ĺ„in A× B , je-li A = {1,2}, B = {x " N : x < 4}.
Xeaení
A = {1,2}, B = {x " N : x < 4}= {1,2,3}
A× B = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)}
23
1. Matematická logika a teorie mno~in
Mno~inová zobrazení
Neche A,B jsou neprázdné mno~iny.
Zobrazení mno~iny A do mno~iny B je mno~ina F uspoYádanĹĽch dvojic
(x, y) " A× B , kde ke ka~dému prvku x " A pYiYadíme práv%1Ĺ‚ jeden prvek y " B .
Zna%0Ĺ„ení: F : A B
Prvek x je vzor prvku y v zobrazení F .
Prvek y je - obraz prvku x v zobrazení F .
- hodnota zobrazení F v bod%1Ĺ‚ x (v prvku x ) zna%0Ĺ„ení: y = F(x)
Mno~ina A je defini%0Ĺ„ní obor zobrazení F zna%0Ĺ„ení: A=D(F)
Obor hodnot zobrazení F zna%0Ĺ„ení: H(F)
Platí H (F) Ä…" B . Obor hodnot je mno~ina vaech obrazo v zobrazení F .
XeaenĹĽ pYíklad
" Zobrazení mno~iny A do mno~iny B .
Xeaení
Zobrazení mno~iny A do sebe je takové zobrazení, kde A=B .
Zna%0Ĺ„ení: F : A A
Zobrazení se také Yíká zobrazení v mno~in%1Ĺ‚ A .
PYíkladem takového zobrazení je funkce jedné reálné prom%1Ĺ‚nné nebo geometrická zobrazení v rovin%1Ĺ‚
a v prostoru.
24
1. Matematická logika a teorie mno~in
Zobrazení mno~iny A na mno~inu B je mno~ina F uspoYádanĹĽch dvojic
(x, y) " A× B , kde ka~dĹĽ prvek mno~iny B je obrazem alespoH jednoho prvku mno~iny
A . Nebo-li B = H (F) .
XeaenĹĽ pYíklad
" Zobrazení mno~iny A na mno~inu B .
Xeaení
Zobrazení F je prosté, jestli~e je v tomto zobrazení ka~dĹĽ prvek y " H (F) obrazem
práv%1Ĺ‚ jednoho prvku x " A = D(F) .
JinĹĽmi slovy zobrazení F je prosté, kdy~ pro ka~dé dva rozné vzory x1,x2 dostaneme dva rozné
obrazy F(x1), F(x2 ) .
Zapsáno symbolicky: x1 `" x2 Ň! F(x1 ) `" F(x2 ) nebo F(x1 ) = F(x2 ) Ň! x1 = x2 , co~ je
toté~.
XeaenĹĽ pYíklad
" Prosté zobrazení mno~iny A do mno~iny B .
Xeaení
25
1. Matematická logika a teorie mno~in
" Prosté zobrazení mno~iny A na mno~inu B .
Xeaení
Prosté zobrazení je vĹĽjime%0Ĺ„né v tom, ~e k n%1Ĺ‚mu existuje práv%1Ĺ‚ jedno op%1Ĺ‚t prosté zobrazení, které
ke ka~dému prvku y " H (F) pYiYazuje prvek x " D(F) .
-1
Jedná se o inverzní zobrazení F k zobrazení F .
-1
Ozna%0Ĺ„ení: F : B A .
-1 -1
Platí: D(F ) = H (F), H (F ) = D(F),
-1
x = F (y) Ô! y = F(x) .
Neche je dáno zobrazení G : A B a zobrazení F : B1 C pYi%0Ĺ„em~ platí H (G) Ä…" B1 .
Potom existuje zobrazení F o G : A C , které se nazĹĽvá slo~ené zobrazení ze zobrazení
G,F v tomto poYadí.
Vaimn%1Ĺ‚te si, ~e pYi skládání zobrazení zále~í na poYadí zobrazení a také si vaimn%1Ĺ‚te, ~e zobrazení se
skládá odzadu .
Skládání zobrazení konkrétn%1Ĺ‚:
Ka~dému prvku x " A pYiYadíme práv%1Ĺ‚ jeden prvek y "C ve dvou krocích:
1. Najdeme prvek u = G(x) , tj. k prvku x sestrojíme v zobrazení G jeho obraz u. Platí, ~e
u " H (G) a podle definice musí platit také, ~e u " B1.
2. Najdeme prvek y = F(u) , tj. k prvku u sestrojíme v zobrazení F jeho obraz y. Platí
y = F(G(x)) .
Defini%0Ĺ„ní obor: D(F o G) = A
Obor hodnot: H (F o G) = oboru hodnot mno~iny H (G) v zobrazení F , H (F o G) Ä…" H (F)
26
1. Matematická logika a teorie mno~in
XeaenĹĽ pYíklad
" Slo~ené zobrazení.
Xeaení
" Zobrazení mno~iny A = {1,2,3,4,5,6,7} na mno~inu B je dáno mno~inou uspoYádanĹĽch dvojic
{[1,6], [2,5], [3,4], [4,5], [5,5], [6,7], [7,6]}. Ur%0Ĺ„ete mno~inu B . Je toto zobrazení prosté?
Xeaení
Jedná se o zobrazení mno~iny A na mno~inu B = {4,5,6,7}.
Toto zobrazení není prosté, proto~e %0Ĺ„íslo 6 z mno~iny B je pYiYazeno %0Ĺ„íslom 1 a 7 z mno~iny A ,
dále %0Ĺ„íslo 5 z mno~iny B je pYiYazeno %0Ĺ„íslom 2,4,5 z mno~iny A .
Aby zobrazení bylo prosté, muselo by ka~dému %0Ĺ„íslu z mno~iny A odpovídat práv%1Ĺ‚ jedno %0Ĺ„íslo z
mno~iny B a naopak ka~dému %0Ĺ„íslu z mno~iny B by muselo odpovídat práv%1Ĺ‚ jedno %0Ĺ„íslo z mno~iny
A .
27
1. Matematická logika a teorie mno~in
Úlohy k Yeaení
Úloha 1.1.
Pomocí prom%1Ĺ‚nnĹĽch zapiate vĹĽraz, kterĹĽ vyjadYuje:
a) tYetí mocninu sou%0Ĺ„tu dvou libovolnĹĽch reálnĹĽch %0Ĺ„ísel
b) libovolné sudé %0Ĺ„íslo
c) libovolné liché %0Ĺ„íslo
d) pronik dvou libovolnĹĽch pYímek dané roviny
f&
Úloha 1.2.
Stanovte, které z danĹĽch jazykovĹĽch vĹĽrazo jsou vĹĽroky (pravdivé x nepravdivé), které jsou
hypotézy a které nejsou vĹĽroky:
a) StYedoakolská matematika.
b) 2 Ĺ" 5 e" 7
c) íslo 5 je sudé.
d) x > 0, x " R
e) Pro ka~dé reálné %0Ĺ„íslo x platí sin x d" 1.
f) PYímka p je v rovin%1Ĺ‚ rovnob%1Ĺ‚~ná s pYímkou q .
g) Dnes je ned%1Ĺ‚le.
h) Venku sn%1Ĺ‚~í.
i) Je (-2)2 e" 0?
j) M%1Ĺ‚síc srpen má 31 dní.
f&
Úloha 1.3.
K danĹĽm vĹĽrokom p : íslo 9 je d%1Ĺ‚litelné dv%1Ĺ‚ma. nepravdivĹĽ vĹĽrok
q : íslo 9 je d%1Ĺ‚litelné tYemi. pravdivĹĽ vĹĽrok
vytvoYte slo~ené vĹĽroky Ĺąp, p '" q, p (" q, p Ň! q, p Ô! q a zjist%1Ĺ‚te, zda jsou pravdivé %0Ĺ„i
nepravdivé.
f&
28
1. Matematická logika a teorie mno~in
Úloha 1.4.
Na ve%0Ĺ„írek bylo pozváno 5 pYátel, které ozna%0Ĺ„íme K, L, M , N, P . Jejich odpov%1Ĺ‚di na pozvání lze
vyjádYit vĹĽroky:
a) PYijde K a pYijde L.
b) PYijde L nebo pYijde M.
c) Jestli~e pYijde M, pak pYijde také N.
d) P pYijde práv%1Ĺ‚ tehdy, kdy~ pYijde M.
Pro nepYíznivé po%0Ĺ„así nepYiael nikdo z nich. Rozhodn%1Ĺ‚te, kteYí z pozvanĹĽch pYesto neporuaili slib,
tj. které z vĹĽroko a) a~ d) jsou pravdivé.
f&
Úloha 1.5.
Stanovte, zda jsou pravdivé tyto implikace:
a) Je-li 9 sudé %0Ĺ„íslo, pak také 92 je sudé %0Ĺ„íslo.
b) Je-li 6 prvo%0Ĺ„íslo, pak 11 je prvo%0Ĺ„íslo.
c) Jestli~e je dané pYirozené %0Ĺ„íslo sou%0Ĺ„inem dvou lichĹĽch %0Ĺ„ísel, potom je toto %0Ĺ„íslo liché.
f&
Úloha 1.6.
Pro dané vĹĽroky p :pYijede otec,
q : pYijede matka,
vyjádYete vĹĽrokovĹĽmi formulemi slo~ené vĹĽroky:
a) Jestli~e pYijede otec, pak pYijede matka.
b) PYijede alespoH jeden z rodi%0Ĺ„o.
c) PYijede nejvĹĽae jeden z rodi%0Ĺ„o.
d) PYijede práv%1Ĺ‚ jeden z rodi%0Ĺ„o.
f&
Úloha 1.7.
Vyslovte obm%1Ĺ‚ny a obrácení implikací:
a) Jsem-li unavenĹĽ, ihned usínám.
b) Jestli~e jede automobil v deati, Yidi%0Ĺ„ svítí potkávacími sv%1Ĺ‚tly.
c) Jestli~e se Yidi%0Ĺ„ automobilu pYipravuje zm%1Ĺ‚nit sm%1Ĺ‚r jízdy, zapíná ukazatele zm%1Ĺ‚ny sm%1Ĺ‚ru.
f&
29
1. Matematická logika a teorie mno~in
Úloha 1.8.
Ur%0Ĺ„ete vĹĽ%0Ĺ„tem prvko
a) mno~inu vaech celĹĽch %0Ĺ„ísel, která jsou v%1Ĺ‚taí ne~ ln1 a menaí ne~ 55
b) A = {x " N : x2 = 9}
c) B = {x " R : x2 +1 = 0}
f&
Úloha 1.9.
Ur%0Ĺ„ete mno~inu pomocí její charakteristické vlastnosti:
a) M1 = {3,6,9,12,15}
b) M = {1,4,9,16,25}
2
f&
Úloha 1.10.
Mno~inu zapiate symbolicky:
a) mno~inu A vaech pYirozenĹĽch %0Ĺ„ísel od 10 do 50 .
b) mno~inu B vaech celĹĽch %0Ĺ„ísel, která jsou násobky %0Ĺ„ísla 7 .
c) mno~inu C vaech reálnĹĽch %0Ĺ„ísel, jejich~ tYetí mocnina je menaí ne~ jejich p%1Ĺ‚tinásobek
f&
Úloha 1.11.
VyjádYete, mezi kterĹĽmi dvojicemi danĹĽch mno~in existují vztahy rovnosti %0Ĺ„i inkluze:
A = {1,2,3,4,5}, B = {2,4,5}, C = {2,5}, D = {5,4,2}.
f&
Úloha 1.12.
Ur%0Ĺ„ete systém vaech podmno~in mno~iny M = {a, b, c, d}.
f&
Úloha 1.13.
Jsou dány mno~iny A={a,b,c,d,e},B={a,d,e},C={e, f ,g,h}. Ur%0Ĺ„ete mno~iny A*"B , B*"C , A*"C ,
2 2
A)"B,B)"C,A)"C,A-B,B-C,A-C,AB ,BA .
f&
30
1. Matematická logika a teorie mno~in
Úloha 1.14.
Jsou dány mno~iny U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A = {1,2,3,4,5}, B = {2,4,6}.Ur%0Ĺ„ete následující
mno~iny a znázorn%1Ĺ‚te je u~itím VennovĹĽch diagramo:
2
a) A
b) A *" B
c) A )" B
d) A - B .
f&
Úloha 1.15.
2
Ur%0Ĺ„ete kartézskĹĽ sou%0Ĺ„in A× B, A2 , B , je-li A = {1,2,3}, B = {-1,0,1,2}.
f&
Úloha 1.16.
Je dán kartézskĹĽ sou%0Ĺ„in A× B = {(3,2), (4,3), (3,1), (3,3), (4,2), (4,1)}. Ur%0Ĺ„ete mno~iny A,B .
f&
Úloha 1.17.
Stanovte, jaké typy zobrazení pYedstavují pYiYazení:
a) Ka~dému ob%0Ĺ„anu x naaí republiky pYiYadíme práv%1Ĺ‚ jedno celé %0Ĺ„íslo y udávající jeho v%1Ĺ‚k (po%0Ĺ„et
let).
b) Ka~dĹĽ z návat%1Ĺ‚vníko kina odlo~il svoj kabát v aatn%1Ĺ‚, tak~e ka~dĹĽ kabát y v aatn%1Ĺ‚ je pYiYazen
(patYí) práv%1Ĺ‚ jednomu návat%1Ĺ‚vníkovi x .
f&
Úloha 1.18.
A je mno~ina vaech diváko v kin%1Ĺ‚, B je mno~ina vaech vstupenek na dané pYedstavení, D je
mno~ina vaech sedadel v kin%1Ĺ‚. Neche G je zobrazení mno~iny A do mno~iny B a F je zobrazení
mno~iny B do mno~iny D . Ur%0Ĺ„ete slo~ené zobrazení F o G .
f&
31
1. Matematická logika a teorie mno~in
VĹĽsledky
1.1.
a) (x + y)3 , x" R, y " R
b) 2k, k " Z
c) 2k + 1, k " Z
d) p )" q, p, q ‚" Á, Á je rovina
1.2.
a) není vĹĽrok
b) pravdivĹĽ vĹĽrok
c) nepravdivĹĽ vĹĽrok
d) není vĹĽrok
e) pravdivĹĽ vĹĽrok
f) není vĹĽrok
g) podmín%1Ĺ‚nĹĽ vĹĽrok
h) podmín%1Ĺ‚nĹĽ vĹĽrok
i) není vĹĽrok
j) pravdivĹĽ vĹĽrok
1.3.
a) Ĺąp : íslo 9 není d%1Ĺ‚litelné dv%1Ĺ‚ma. Pravda
b) p '" q : íslo 9 je d%1Ĺ‚litelné dv%1Ĺ‚ma a tYemi. Nepravda
c) p (" q : íslo 9 je d%1Ĺ‚litelné dv%1Ĺ‚ma nebo tYemi. Pravda
d) p Ň! q : Je-li %0Ĺ„íslo 9 d%1Ĺ‚litelné dv%1Ĺ‚ma, pak je d%1Ĺ‚litelné tYemi. Pravda
e) p Ô! q : íslo 9 je d%1Ĺ‚litelné dv%1Ĺ‚ma práv%1Ĺ‚ tehdy, kdy~ je d%1Ĺ‚litelné tYemi. Nepravda
1.4. Pravdivé jsou vĹĽroky c) a d), tj. slib neporuaily osoby N a P .
1.5. Implikace je
a) pravdivá
b) nepravdivá
c) pravdivá
1.6.
a) p Ň! q
b) p (" q
c) Ĺąp (" Ĺąq
d) ( p '" Ĺąq) (" (Ĺąp '" q)
32
1. Matematická logika a teorie mno~in
1.7.
Obm%1Ĺ‚ny implikací:
a) Jestli~e ihned neusínám, pak nejsem unavenĹĽ.
b) Jestli~e Yidi%0Ĺ„ nesvítí potkávacími sv%1Ĺ‚tly, pak automobil nejede v deati.
c) Jestli~e Yidi%0Ĺ„ automobilu nezapíná ukazatele zm%1Ĺ‚ny sm%1Ĺ‚ru, pak se nepYipravuje zm%1Ĺ‚nit sm%1Ĺ‚r jízdy.
Obrácení implikací:
a) Jestli~e ihned usínám, pak jsem unavenĹĽ.
b) Jestli~e Yidi%0Ĺ„ svítí potkávacími sv%1Ĺ‚tly, pak automobil jede v deati.
c) Jestli~e Yidi%0Ĺ„ automobilu zapíná ukazatele zm%1Ĺ‚ny sm%1Ĺ‚ru, pak se pYipravuje zm%1Ĺ‚nit sm%1Ĺ‚r jízdy.
1.8.
a) M = {1,2,3,4,5,6,7}
b) A = {- 3,3}
c) B = "
1.9.
a) mno~ina vaech trojnásobko celĹĽch %0Ĺ„ísel od 1 do 5 : M1 = {x " Z : x = 3k,1 d" k d" 5}
2
b) mno~ina vaech druhĹĽch mocnin celĹĽch %0Ĺ„ísel od 1 do 5 : M = {x " Z : x = k , 1 d" k d" 5}
2
1.10.
a) A = {x " N : 10 d" x d" 50}
b) B = {x " Z : x = 7k, k " Z}
c) C = {x " R : x3 < 5x}
1.11. B = D, B Ä…" A, C Ä…" A, D Ä…" A, C Ä…" B, C Ä…" D
1.12. . S={",{a},{b},{c},{d}{a,b}{a,c}{a,d}{b,c}{b,d}{c,d}{a,b,c}{a,b,d}{a,c,d}{b,c,d},M}
, , , , , , , , , ,
1.13.
A *" B = {a, b, c, d, e}, B *" C = {a, d, e, f , g, h}, A *" C = {a, b, c, d, e, f , g, h}
2
A)"B={a,d,e},B)"C={e}, A)"C={e}, A-B={b,c},B-C={a,d}, A-C={a,b,c,d},BA =A-B={b,c},
2
AB není definováno, proto~e A Ä…" B .
/
33
1. Matematická logika a teorie mno~in
1.14.
2
a) A = {6,7,8,9,10}
b) A *" B = {1,2,3,4,5,6}
c) A )" B = {2,4}
d) A - B = {1,3,5}.
1.15. A× B = {(1,-1), (1,0), (1,1), (1,2), (2,-1), (2,0), (2,1), (2,2), (3,-1), (3,0), (3,1), (3,2)}
A2 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}
34
1. Matematická logika a teorie mno~in
2
B = {(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (-1,2), (0,-1), (0,0), (0,1), (0,2), (1,-1), (1,0), (1,1), (1,2),
(2,-1), (2,0), (2,1), (2,2)}
1.16. A = {3,4}, B = {1,2,3}
1.17.
a) Jedná se o zobrazení mno~iny vaech ob%0Ĺ„ano naaí republiky do mno~iny vaech celĹĽch
nezápornĹĽch %0Ĺ„ísel. Zobrazení není prosté, proto~e existuje více lidí majících stejnĹĽ v%1Ĺ‚k.
b) Jedná se o zobrazení mno~iny vaech návat%1Ĺ‚vníko kina na mno~inu vaech kabáto v aatn%1Ĺ‚.
Zobrazení je prosté.
1.18.
G : A B je zobrazení, které pYiYazuje ka~dému divákovi v kin%1Ĺ‚ vstupenku
F : B D je zobrazení, které pYiYazuje ka~dé vstupence pYísluané sedadlo v kin%1Ĺ‚
F o G : A D je zobrazení, které pYiYazuje ka~dému divákovi v kin%1Ĺ‚ sedadlo
35
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Logika matematycznaLogika MatematycznaIS Matematyka C S 01 logikaD1 Logika matematycznaLogika matematycznaAnaliza Matematyczna 2 ZadaniaLogika3handSprawdzian 5 kl 2 matematyka zadaniaLogika wykładymatematyka prwięcej podobnych podstron