Przedmiot: Logika
Wykładowca: Bartosz Orlewicz
Liczba godzin:
Literatura:
1. B. Stanosz "Wprowadzenie do logiki formalnej"
2. B. Stanosz "Ćwiczenia z logiki"
3. M. Tokarz "Metdyka, perswazja" ( zwłaszcza rozdział V i VI  sztuka argumentacji i sztuka dyskutowania)
Zaliczenie: egzaqmin pisemny: 2-3 pytania teoretyczne + 2-3 zadania praktyczne (z tym, że naistotniejsze jest
ostatnie zadanie, np. "Sprawdz
czy wniosek wynika logicznie z przesłanek". Jeśli ktoś nie będzie
potrafił opanować teorii, nie zrobi ostatniego zdania). Będzie można mieć ściągę w postaci tabelki
prawdowościowej). Jeśli ktoś nie może stawić się w wyznaczonym terminie zaliczenie może o
dbyć się na dyżurze lub na innym wykładzie. Wpoisy do indeksów odbywają się poprzez
starostów. Pracę oddajemy grupami. Praca musi zawierać: datę, specjalizację, imię i nazwisko 
DRUKOWANYMI LITERAMI!!!
Cel wykładów: nauka budowy argumentu. Język logiki służy wyrabianiu umiejętności budowania poprawnych
argumentów.
16 paz
dziernika 2010r.
LOGIKA FORMALNA
RACHUNEK ZDAC
RACHUNEK KWANTYFIKATORÓW
dotyczy zdań jako całości bez względu na ich treść w tym przypadku ważna jest wewnętrzna
budowa zdania
I. RACHUNEK ZDAC
 ma swój język (reguły łaczenia tego języka).
Używane symbole:
Symbol Nazwa Co oznacza
zmienna zdaniowa coś za co można wstawić dowolne zdanie lub stwierdzenie. Jeśli
p, q, r, s, t, v
przyporządkujemy daną literę jakiemuś zdaniu lub stwierdzeniu, to gdy
następnym razem ono się pojawi, zamiast pisać je powtórnie 
używamy danej litery.
)" (i) ale, lecz, a koniunkcja
v lub alternatywa
V albo alternatywa względna
4% Ani...., ani.... binegacja!!!
 Jeśli....., to......... implikacja materialna
"! wtedy równoważność
Formuły zdaniowe:
p v q (czyt: p albo q, lub alternatywa p i q)
p )" q (czyt: p i q, lub koniunkcja p i q)
p V q (czyt: p albo q)
p q (czyt: jeśli p, to q, lub p implikuje q)
(p v q) (r )" t)
SPÓJNIK FORMUA
Y
FORMUA
Y ZDANIOWE
nawiasy sprawiają, że te dwie formuły tworzą osobne formuły zdaniowe, nawet jeśli są
zbudowane z tej samej formuły i tych samych spójników. Umozliwiają ponadto znalezienie spójnika głównego
formuły, który znajduje się między nawiasami lub przed nawiasem.
IMPLIKACJA
(spójnik główny)
[ (p "! q) r] (s v t)
POPRZEDNIK
IMPLIKACJI IMPLIKACJA NAST
PNIK
IMPLIKACJI
NAST
PNIK
IMPLIKACJI
POPRZEDNIK IMPLIKACJI
Inne symbole:
1  prawda
0  fałsz.
~ - nie prawda, że (napisany przed pojedynczą literą odnosi się tylko do niej, stawiany przed
nawiasem dotyczy całego nawiasu)
tautologia  to formuła logicznie prawdziwa dla każdego wartościowania jej zmiennych. Tautologia rachunku
zdań to formuła logiczna tego rachunku, która jest prawdziwa dla każdego wartościowania jej zmiennych
zdaniowych.
Tabela prawdziwościowa
p q p )" q p v q P V q P 4% q P q p "! q
1 1 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 0 1 0
0 0 0 0 0 1 1 1
Wartość logiczna całej formuły zależy od ( i jest wyznaczona przez) wartości logicznych jej
części składowych, którymi mogą być inne formuły (np. (p v q), (p )" q) itp.) lub zmienne (najmniejsza możliwa
formuła np. p, q, r utd.)
Nazwa Cecha charakterystyczna
KONIUNKCJA jest prawdziwa tylko w jednym przypadku  kiedy wszystkie jej części
składowe są prawdziwe (pozostałe jej części są fałszywe).
ALTERNATYWA Jest prawdziwa w trzech przypadkach. Fałszywa jest tylko wtedy, gdy wszystkie
jej części składowe są fałszywe.
ALTERNATYWA Jest zbudowana za pomocą spójnika "albo".Jest prawdziwa tylko wtedy, gdy
ROZA

CZNA jedna z jej części składowych jest prawdziwa.
BINEGACJA "Ani nie ma Boga, ani nie ma Szatana"  oba zdania są prawdziwe, więc
binegacja jest prawdziwa tylko wtedy, gdy jej elementy składowe są fałszywe.
IMPLIKACJA Fałszywa jest tylko w jednym przypadku  kiedy poprzednik jest prawdziwy, a
MATERIALNA nastepnik fałszywy.
prawda prawda
fałsz prawdę
fałsz fałsz
RÓWNOWAŻNOŚĆ Jest prawdziwa tylko wtedy, gdy wszystkie elementy składowe mają tę samą
wartość logiczną (albo obie są prawdą, albo obie są fałszem)
Przykładowe zadanie egzaminacyjne dla 3 zmiennych !!!!
Jaką wartość logiczną posiada zdanie oznaczone literą "p", jeśli:

prawdą jest, że "p" tworzy fałszywą koniunkcję z dowolnym zdaniem,

p tworzy fałszywą alternatywę z niektórymi zdaniami,

implikacja, której poprzednikiem jest "p" jest zawsze prawdziwa,

implikacja, której poprzednikiem jest "p" jest niekiedy fałszywa.
Określanie wartości logiczne:
1) ( p v q ) r
(1) v (1) (0)
poprzednik (1) następnik (0)
wartość logiczna zdania = 0
2) ( p <-> q ) 4% ( s )" t )
(1) (0) (1) (0)
(0) (0)
(1)
p p - takie zdanie nazywamy autologią, tzw. prawo tożsamości. Każde zdanie implikuje samo siebie.
(1) (1) = 1
(0) (0) = 1
E!!! Sprawdz
czy podana formuła jest autonomią: [(p q) )" p] q
p q (p q) (p q) )" p [(p q) )" p] q
1 1 1 1 1
1 0 0 0 1
0 1 1 0 1
0 0 1 0 1
Przy rozwiązywaniu tego zadania należy posiłkować się tabelą prawdziwościową.
Odp. Podana formuła jest autologią.
1. (pzresłanka) p q
2. (przesłanka) p
3. (przesłanka) q
Schemat rozumowania niezawodnego  jest nią każda autologia. Rozumoanie niezawodne (oparte na schemacie
autologii), to takie, które o ile jego rzesłanki są prawdziwe, zawsze prowadzą do prawdziwego wniosku.
Zadanie. P. Maria jest podejrzana o zabójstwo swojego partnera. Załóżmy, ze po 10 godz. się przyznała.
Stwierdziła. Że udusiła konkubenta gołymi rękoma. Ale policjant ma wątpliwości. Jesli udusiła konkubenta
gołymi rękoma, to na jego szy powinny być odciski palców.
p  p. Maria zadusiła konkubenta rękoma
q  na szy konkubenta są odciski
Takie twierdzenie przedstawimy w następujący sposób:
jest to autologia,
[(p q) )" p] q
modus ponendo ponens  MPP
1. p q
2. p
Tautologia rachunku zdań mówi, że jeśli
uznajemy prawdziwość poprzednika
3. q
prawdziwej implikacji, to musimy uznać też
prawdziwość jej następnika
Zostały przeprowadzone badania, podczas których nie znaleziono odcisków kobiety, zatem:
1. p q jest to autologia,
modes tollendo tollens (MTT)
2. ~ q
wnioskowanie logiczne, reguła logiki
3. ~ p
mówiąca, że jeśli zaakceptujemy, że z p
wynika q oraz że q jest fałszywe, to musimy
zaakceptować też fałszywość p.
Jest to tylko schemat, ale w praktyce moży być on bardzo skomplikowany.
Zadanie. Sprawdz
czy podana formuła jest autologią: ~[(p v q) r ]
p q r p v q [(p v q) r ] ~ [ (p v q) r ]
1 1 1 1 1 0
1 1 0 1 0 1
1 0 0 1 0 1
0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 1 0
0 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 0
0 1 0 1 0 1
Odp.: Ta formuła nie jest autologią.
Zadanie. Sprawdz
, czy podana formuła jest autologią: ~ (p )" q) "! (~p v ~ q)
p q p )" q ~ (p )" q) ~p ~ q (~p v ~ q) ~ (p)"q) "! (~p v ~ q)
1 1 1 0 0 0 0 1
1 0 0 1 0 1 1 1
0 1 0 1 1 0 1 1
0 0 0 1 1 1 1 1
Odp.: ta formula jest utologią.
~ (p )" q) "! (~p v ~ q) tzw. Prawo negowania koniunkcji  negacja koniunkcji jest równoważna alternatywie
negacji.
Przykłady tożsamych zdań:
~ (p )" q )" r )" s) "! (~p )" ~ q )" ~ r )" ~s) = (p )" q )" r )" s) t
~ t
~ (p )" q )" r )" s)
Zadanie. Sprawdz
, czy podana formuła jest autologią: [(p q) )" (q r)] (p r)
p q r (p q) (q r) (p r)
(p q) )" (q r) [(p q) )" (q r)] (p r)
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 0 1
Odp. Ta formuła jest autologią.
Skrócona metoda rozwiązywania tego problemu !!!
Autologiczne zdanie to takie, którego wnisek zawsze jest prawdą (niezależnie czy jego części
składowe są prawdziwe czy fałszywe).
Krok 1. "Ufałszywiamy wniosek" tj. Podstawiamy do jego zmiennych takie wartości, aby wyszedł nam fałsz. W
przypadku implikacji materialnej fałsz następuje wtedy, kiedy poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy,
zatem:
[(p q) )" (q r)] (p r)
 (1) (0)
Krok 2. Wiadomo już, że "p" musi mieć wartość (1), a "r" 0. Podstawiamy do reszty wzoru wartości "p" i "r"
[(p q) )" (q r)] (p r)
(1) (0) (1) (0)
Krok 3. Aby nasze zdanie nie było autologią, i skoro następnik jest fałszywy, to muzimy sprawić, aby poprzednik
był prawdziwy. Dlatego proponuję nadać zmiennej "q" wartość dodatnią.
[(p q) )" (q r)] (p r)
(1) (1) (1) (0) (1) (0)
(1) (0) (0)
(0) ..
(1)
Jeśli ta implikacja jest autolgią, to nie ma takiego wartościowania, dla którego poprzednik tej implikacji
byłby prawdziwy, a następnik fałszywy. Autologia to formuła zawsze prawdziwa. Nieisana zasada mówi o tym,
że przy tego typu zadaniach ufałszywiamy następnik a uprawdziwamy poprzednik.
30 paz
dziernika 2010r.
Zadanie. Zbadaj, które z podanych niżej wnioskoań są dedukcyjne.
Aby móc rozwiązać to polecenie należy wiedzieć co to jest WNIOSKWANIE DEDUKCYJNE.
W tym zaś celu nalezy wiedzieć, czym jest WYNIKANIE LOGICZNE.
X
WYNIKANIE LOGICZNE:
(Z1 Z2)
Zdanie Z2 wynika logicznie ze zdania Z1 wtedy, i tylko wtedy gdy całe zdanie (Z1 Z2) jest
tautologią.
1. p q
2. p
3. q
Mając na uwadze te trzy przesłanki sprawdz
czy z dwóch pierwszych przesłanek wynika "q".
Zapiszemy to tak:
[(p q) )" p] q
pierwsza przesłanka zdania łaczące poprzednik druga przesłanka wniosek
łaczymy za pomocą koniunkcji
Ćwiczenie 1. Jeśli Jan uczy się Pilnie, to otrzymuje dobre stopnie, a jeśli nie otrzymuje dobrych stopni, to traci
humor. Jan nie taci humoru, zatem Jan uczy się pilnie.
p  Jan uczy się pilnie,
q  Jan otrzymuje dobre stopnie
~q  Jan nie otrzymuje dobrych stopni
r  Jan traci humor
1. pq
2. ~q r
3. ~ r
4. p
[(p q) )" (~q r) )" ~r] p
(0) (1) (0) (0) (1) (0)
(0) (0) (1) (1) (0)
(1) (1)
(1)
(1)
(0)
(1) lub (0) ta formuła nie jest tautologią.
Ćwiczenie 2. Jeżeli Jan jest zdolniejszy od Pitra, a Piotr ma lepsze wyniki w nauce, to Jan mógłby się uczyć
pilniej. Niestety Jan nie mógł się uczyć pilniej, a piotr ma lepsze wyniki w nauce, zatem Jan nie jest zdolniejszy
od Piotra.
p  Jan jest zdolniejszy od Piotra
1. (p )" q) r
2. ~ r )" q
q  a Piotr ma lepsze wyniki w nauce
r  Jan mógłby się uczyć lepiej
3. ~ p
[( p )" q ) r] )" ( ~ r )" q)] ~ p
1 1 0 1 1 0
1 1
0
0
1
Ćwiczenie 3. Jęsli Jan nie lubi logiki, to twierdzi, że ma zainteresowania humanistyczne i uważa, że znajomość
logiki jest humanistom niepotrzebna. Zatem jeśli Jan twierdzi, że ma zainteresowania humanistyczne, to uważa,
że znajomość logiki jest humanistom niepotrzebna.
p  Jan nie lubi logiki
1. p (q)"r)
q  to uważa, że ma zainteresowania humanistyczne
r  uważa, ze logika jest niepotrzebna
2. q r
[p (q r)] (q r)
)"
0 1 0 1 0
0 0
1
0
Ćwiczenie 4. Jesli Jan nie będzie schlebiał Piotrowi, to straci posadę. Jeśli Jan straci posadę, to rzuci go
kochanka. Jeżeli Jan będzie schlebiał Piotrowi, to straci dobrą opinię. Zatem Jan straci kochankę lub straci dobrą
opinię.
p - schlebianie 1. ~ p q
2. p r
q - posada
3. p s
r - kochanka
s  dobra opinia 4. r v s
[( ~p q) )" (p r) )" (p s)] r v s
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1
0 1
0 0
1