Układ logiczny
z
z z k
1 2
OBIEKT
M
M
y
1
x
1
x
x
m
m
M
w
1
UKA
AD LOGICZNY
M
OPERATOR
y
2
w
l
Z obiektem sterowania związane są:
Z obiektem sterowania związane są:
- urządzenia służące do pomiaru i przetwarzania danych o stanie obiektu
(x1, x2, & , xm)  sensory,
- urządzenia służące do przetwarzania i wzmacniania sygnałów
urządzenia służące do przetwarzania i wzmacniania sygnałów
wykonawczych (y1, y2, & , yn)  aktory,
- wielkości zakłócające proces (z1, z2, & , zk ).
U
Urządzenia
U
Urządzenia
p
pomiarowe
w
wykonawcze
Prawa algebry logiki
Dwuelementowa algebra Boole a jest aksjomatyczną teorią funkcji
j d t j ji i t j k i k ji lt t i d ó h
jednoargumentowej negacji i n-argumentowej koniunkcji oraz alternatywy i dwóch
wartości 0; 1. Definicję negacji funkcji jednoargumentowej oraz koniunkcji
(iloczynu logicznego) i alternatywy (sumy logicznej) funkcji dwuargumentowej
przedstawiono w tabeli 1 a b c
przedstawiono w tabeli 1.a, b, c.
a) b) c)
y = x
y = x1x2 y = x1 + x2
x1 y x1 x2 y x1 x2 y
0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
Kolejność wykonywania działań, gdy wyrażenie nie zawiera nawiasów, jest
następująca: negacja, koniunkcja, alternatywa. Z definicji wyżej wymienionych
działań wynikają następujące zależności:
Prawa algebry logiki
Podstawowe prawa algebry Boole a są następujące:
- prawa przemienności
x + 0 = x x + x = x
0
x1 + x2 = x2 + x1
x +1= 1 x + x = 1 x1 �" x2 = x2 �" x1
- prawa łączności
x �"0 = 0 x �" x = x
(x1 + x2) + x3 = x1 + (x2 + x3) = x1 + x2 + x3
x �"1= x x �" x = 0
(x1x2)x3 = x1(x2x3) = x1x2x3
- p de Morgana
prawa g
x1 + x2 + x3 = x1 x2 x3
x1x2x3 = x1 + x2 + x3
- prawo podwójnego zaprzeczenia
x = x
- reguły sklejania
(x1 + x2)(x1 + x2)= x1, x1 + x1x2 = x1 + x2 ,
x1x2 + x1x2 = x1, x1 + x1x2 = x1 + x2 ,
Tworzenie funkcji logicznej
Postać normalna sumy tworzona jest na podstawie wszystkich wierszy tabeli zależności,
w których funkcja logiczna przyjmuje wartość 1. Poszczególne składniki tej sumy są
iloczynami ws ys c zmie yc wejśc owyc , p y c y enne posiadające w danym
oc y wszystkich ennych wejściowych, przy czymzmie e pos d jące w d y
wierszu wartość 0 pisane są ze znakiem negacji, natomiast posiadające wartość 1  bez
znaku negacji.
Postać normalna iloczynu tworzona jest na podstawie wszystkich wierszy tabeli zależności,
w których funkcja logiczna przyjmuje wartość 0. Poszczególne czynniki tego iloczynu są
sumą wszystkich zmiennych wejściowych, przy czym zmienne posiadające w danym
wierszu wartość 0 pisane są bez znaku negacji, natomiast posiadające wartość 1  ze
znakiem negacji.
Postać normalna iloczynu i postać normalna sumy są równoważne.
Przykład rozwiązania
y
x1 x2 x3
Lp.
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
41000
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 1 1 1 1
7 1 1 1 1
Zgodnie z wyżej podanymi zasadami:
- normalna zupełna postać alternatywna (sumy)
normalna zupełna postać alternatywna (sumy)
y = x1x2 x3 + x1x2 x3 + x1x2 x3 + x1x2 x3
(a)
- normalna zupełna postać koniunkcyjna (iloczynu)
normalna zupełna postać koniunkcyjna (iloczynu)
(b)
y = (x1 + x2 + x3 )(x1 + x2 + x3 )(x1 + x2 + x3 )(x1 + x2 + x3 )
Minimalizacja funkcji logicznych
Minimalizacja funkcji logicznych
metodą Karnaugha
ą g
a) c) x x
3 4
x
2
x 0 1
1 00 01 11 10
x x
1 2
0
00
1
01
b)
x x
2 3
11
00 01 11 01
00 01 11 01
x
1
10
0
1
x x x
3 4 5
d)
000 001 011 010 110 111 101 100
-
x x
1 2
00
01
11
10
10
Tabele Karnaugha dla dla funkcji 2-, 3-, 4- i 5-cio argumentowych
Zadanie do rozwiązania
y
lp.
x1 x2 x3
0 0 0 0 0
1 0 0 1 1
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 0
5 1 0 1 0
6110 1
7 1 1 1 1
Wyznaczyć postacie minimalne (alternatywną i koniunkcyjną) funkcji logicznej określonej
Wyznaczyć postacie minimalne (alternatywną i koniunkcyjną) funkcji logicznej określonej
za pomocą powyższej tabeli metodą tabel Karnaugha.
Metoda Quine a McCluskeya
Metoda ta stosowana jest dla układów, które posiadają więcej niż
5 sygnałów wejściowych.
Metoda Quine a Mc Cluskey j y j y y y
ya jest zazwyczaj wykorzystywana
podczas komputerowo wspomaganej minimalizacji, ponieważ
oparta jest na dużej ilości stosunkowo prostych i powtarzalnych
kroków, polegających na porównywaniu ciągu znaków, które
można zapisać w postaci pętli.
Sygnał jest kształtowany zgodnie z określonym wcześniej przez
projektanta algorytmem.
O i t d Q i  M Cl k
Opis metody Quine a Mc Cluskeya
Pierwszy krok podstawowej jej wersji polega na wypisaniu (w postaci kolumnowej
ciągów zero-jedynkowych) wszystkich wartości składników postaci kanonicznej
sumy. Następnie porządkuje się tę kolumnę, dzieląc ją na grupy o jednakowej
liczbie jedynek w wierszu.
Mt d Q i  M Cl k d
Metoda Quine a Mc Cluskeya - cd
0100 0100 010- 1- 1 -
0101 ----- ----
0101 ----- ----
0111 0101 01-1
1111 1010 1-10
1110 ----- 101-
1011 0111 ----
1010 1110 -111
1011 111-
----- 1-11
----- 1-11
1111
Wiersze różniące się w jednym tylko miejscu skleja się, tworząc następną kolumnę, przy
czym sklejenie np. 010 z 011 daje 01-. Kreska (lub znak x) oznacza, że argument
yjp j () , g
odpowiadający tej pozycji nie wchodzi do zapisu. Wynik ten zapisywany jest w kolejnej
kolumnie. Uprzedni podział na grupy upraszcza wyszukiwanie wyrażeń sąsiednich, gdyż
wiadomo, że muszą one należeć do dwóch różnych kolejnych grup. Sklejone wyrażenia
oznacza się, aby podkreślić fakt, że są one reprezentowane w następnej kolumnie.
i b dk ślić f kt ż tt j k l i
Mt d Q i  M Cl k d
Metoda Quine a Mc Cluskeya - cd
Tabela implikantów do wyznaczenia p j
py postaci minimalnej
funkcji logicznej
0100 0101 0111 1111 1110 1011 101
0
� �
010-
� �
01-1
-111 � �
111 � �
� � � �
1-1-
1 1
R li j f k ji l i j
Realizacja funkcji logicznej
Symbol graficzny Tabela zależności
Nazwa funkcji
Negacja x
0 1
x y
NOT
y
y
1 0
1 0
=
y x
x
1 0 0 1 1
Koniunkcja
x
1
AND
y
x
2 0 1 0 01
x
2
=
y x1 x2
y
y
0 0 0 1
0 0 0 1
x
1 0 0 1 1
Negacja koniunkcji
x
1
y
NAND x
2 0 1 0 01
x
2
=
y x1x2
y
1 1 1 0
x
1 0 0 1 1
Alternatywa
x
1
OR y
x
2 0 1 0 01
x
2
=
y x1 + x2
y
0 1 1 1
x
1 0 0 1 1
Negacja alternatywy
x
1
NOR
y
x
2 0 1 0 01
x
2
=
y x1 + x2
y
1 0 0 0
x
1 0 0 1 1
Nierównoważność
x
1
EXOR
y
x
2 0 1 0 01
x
2
=
y x1x2 + x1x2
y
0 1 1 0
Realizacja funkcji logicznej - cd
a)
x
y = x x
1
y = x1 + x2
x
x
2
x
1
y x
y = x
x
x
y = x x
y = x1x2
0
x
2
b)
b)
x
1
y = x
x
x
2 y = x1 + x2
x
1
x
2
y = x
x
y = x1x2
1
x
1
x
2
Realizacja funkcji logicznych negacji, alternatywy i koniunkcji za pomocą elementów
a) NOR, b) NAND
Realizacja funkcji logicznej - cd
Do realizacji funkcji logicznych (schematów tych funkcji) stosowane są elementy:
Do realizacji funkcji logicznych (schematów tych funkcji) stosowane są elementy:
elektroniczne (tranzystory), elektryczne (przekaz
niki), pneumatyczne (zawory
rozdzielające) i inne. W przeszłości (przed pojawieniem się sterowników) wiele
firm na świecie projektowało systemy funkcjonalnie pełne elementów logicznych
firm na świecie projektowało systemy funkcjonalnie pełne elementów logicznych,
a układy sterowania realizowano przy użyciu tych elementów. Obecnie układy
sterujące realizowane są w sterownikach dzięki opracowywanym programom.
ym niemniej w py y y y, ją
Tyj przemyśle maszynowym układy sterowania, realizujące
określone funkcje logiczne, budowane są z elementów pneumatycznych
rozdzielających (zawory rozdzielające), sterujących kierunkiem przepływu
powietrza.
Realizacja funkcji logicznej - cd
Znaczenie symboli na elementach pneumatycznych:
A, B, C, ...  przyłącza robocze (wyjściowe) ,
P il i i t t ść ł ó 1
P  zasilanie powietrzem  wartość sygnału równa 1,
R, S, T, ...  odpowietrzenie  wartość sygnału równa 0,
X, Y, Z, ...  przyłącza sterujące (wejściowe).
A Zawór rozdzielający dwupołożeniowy
ją y p y
(dwa pola) dwudrogowy normalnie zamknięty
X
sterowany z jednej strony sprężyną
z drugiej strony sygnałem ciśnieniowym
P
(wzrost ciśnienia)
B Zawór rozdzielający dwupołożeniowy
ją y p y
Z
Z
trzydrogowy normalnie otwarty sterowany
z jednej strony sprężyną z drugiej strony
sygnałem elektrycznym
R
P
A B Zawór rozdzielający dwupołożeniowy
A B Zawór rozdzielający dwupołożeniowy
czterodrogowy normalnie zamknięty
X Y
sterowany obustronnie sygnałem
ciśnieniowym (wzrost ciśnienia)
R
P
A B Zawór rozdzielający dwupołożeniowy
A B Zawór rozdzielający dwupołożeniowy
Z pięciodrogowy sterowany z jednej strony
przyciskiem z drugiej strony sygnałem
elektrycznym
R P S
Realizacja funkcji logicznej - cd
A B Zawór rozdzielający trzypołożeniowy
czterodrogowy w położeniu środkowym
t d ł ż i ś dk
Y
X
zamknięty, obustronnie sterowany sygnałem
ciśnieniowym (spadek ciśnienia)
P T
Zawór podwójnego sygnału
A
(koniunkcji A = X Y)
X Y
A
Zawór przełącznik biegu
(alternatywy A = X + Y
X Y
Realizacja funkcji logicznej
Realizacja funkcji logicznej -
przykłady
y
a) y = x
x
x
x
y
y
y
b) y = x
x
x
x
y
y
x
1
c) y = x + x
1 2
x
2
y
y
x y
1
x
2
x x
1 2
x
2
d) y = x x
1 2
y
y
y
x
2
x y
1
x
2
x
x 1
1
Realizacja funkcji logicznej
Realizacja funkcji logicznej -
przykłady
p y y
e) y = x + x
1 2
x
1 y
x
1 y
x
2
x
2
f) y = x x + x x x
1 2 1 2 1
x + x
1 2
x
1
y
y
x
2
x
2
.
x + x
1 2
Dziękuję za uwagę
Dziękuję za uwagę