Pewne pojęcia podstawowe
Rachunek prawdopodobieństwa
Pojęciem pierwotnym (czyli nie definiowalnym) w teorii
prawdopodobieństwa jest pojęcie zdarzenia elementarnego (np
Rachunek prawdopodobieństwa (probabilistyka) to dział
zdarzeniem elementarnym jest wynik rzutu kostką do gry). Zbiór
matematyki zajmujący się badaniem prawidłowości rządzących
wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego tworzy
zjawiskami losowymi. Do rozwoju tej dziedziny przyczynili siÄ™ m.in.
przestrzeń zdarzeń elementarnych i oznaczany jest literą &!, we
matematycy francuscy: Pierre de Fermat (1601-1665), Blaise
wspomnianym przypadku mamy
Pascal (1623-1662), Pierre Simon de Laplace (1749-1827), Siméon
&! = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
Denis Poisson (1781-1840), szwajcarski matematyk - Jakob
Bernoulli (1654-1705), niemiecki matematyk - Carl Friedrich Gauss
Każdy podzbiór zbioru &!, nazywamy zdarzeniem losowym lub
(1777-1855) oraz rosyjski matematyk Pafnucy Czebyszew
krótko zdarzeniem. Przejdziemy teraz do określenia pojęcia
(1821-1894).
prawdopodobieństwa. Zwyczajowo przyjmuje się klasyczną definicję
prawdopodobieństwa pochodzącą od Laplace a. Mianowicie
Podstawowe pojęcia kombinatoryki
Definicja
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe stosunkowi miary
Definicja
zbioru zdarzeń sprzyjających temu zdarzeniu do miary przestrzeni
Kombinatoryką nazywamy dziedzinę matematyki, której zadaniem
zdarzeń elementarnych &!, czyli
jest obliczanie liczby zbiorów w które można łączyć określone
przedmioty należące do danego zbioru.
Å»


P(A) =
Permutacje bez powtórzeń
Å»
Å»
&!
Definicja
Å»
Å»
Symbol &! lub wymiennie n(&!) lub |&!| oznacza miarÄ™ (moc) zbioru
Zbiór składający się z n-elementów uporządkowanych i różnych
&!, w przypadku gdy &! jest zbiorem skończonym (tzn, ma
nazywamy permutacją bez powtórzeń z n-elementów.
skończenie wiele elementów) miarą zbioru jest po prostu liczba jego
Liczba utworzonych zbiorów oznaczamy symbolem Pn i
elementów. w celu wyznaczenia mocy zbioru posługujemy się
obliczamy jako:
kombinatorykÄ….
Pn = n!.
Permutacje bez powtórzeń charakteryzują się tym, że:
" istotna jest kolejność, w jakiej ustawiamy rozróżnialne Wariacje bez powtórzeń
elementy;
Definicja
" żaden z elementów nie może wystąpić więcej niż raz
Wariacją bez powtórzeń z n-elementów po k-elementów k n
" nie wybieramy elementów, tylko je porządkujemy.
nazywamy zbiór składający się z k różnych elementów wybranych
spośród n różnych elementów.
Permutacje z powtórzeniami
Liczbę k-elementowych wariacji bez powtorzeń zbioru
Definicja
k
n-elementowego oznaczamy Vn i obliczamy korzystajÄ…c ze
Zbiór składający się z n-elementów uporządkowanych wśród
wzoru:
których pewne elementy powtarzają się odpowiednio n1, n2, . . . nk n!
k
Vn = .
razy nazywamy n-elementową permutacją z powtórzeniami. (n - k)!
n
Liczba utworzonych zbiorów oznaczamy symbolem Pn1,n2,...nk i
Wariacje bez powtorzeń charakteryzują się tym, że:
obliczamy jako:
" istotna jest kolejność, w jakiej ustawiamy elementy;
n! " żaden element nie może wystąpić w ustawieniu więcej niż
n1,n2,...nk
Pn = .
raz (dlatego k n).
n1! · n2! · nk!
Kombinacje bez powtórzeń
Wariacje z powtórzeniami
Definicja
Definicja
Kombinacją bez powtórzeń z n-elementów po k-elementów
Wariacją z powtórzeniami z n-elementów po k-elementów k n
nazywamy zbiór składający się z k różnych elementów wybranych
nazywamy uporządkowany zbiór składający się z k elementów
spośród n różnych elementów przy czym nie istotne jest jak te
różnych lub nie różniących się między sobą wybranych spośród n
elementy są rozłożone.
różnych elementów.
Liczbę k-elementowych kombinacji bez powtorzeń zbioru
LiczbÄ™ k-elementowych wariacji z powtorzeniami zbioru
k
k n-elementowego oznaczamy Cn i obliczamy korzystajÄ…c ze
n-elementowego oznaczamy V i obliczamy korzystajÄ…c ze
n
wzoru:

wzoru:
n n!
k
k
Cn = = .
V = nk.
n
k (n - k)!k!
Wariacje z powtórzeniami charakteryzują się tym, że:
Kombinacje bez powtórzeń charakteryzują się tym, że:
" istotna jest kolejność, w jakiej ustawiamy elementy;
" nie jest istotna kolejność, w jakiej ustawiamy elementy;
" każdy element może wystąpić dowolną liczbę razy.
" każdy element może wystąpić tylko raz.
Aksjomaty prawdopodobieństwa
Własności prawdopodobieństwa
W literaturze spotkamy także następującą aksjomatyczną
Twierdzenie
definicję prawdopodobieństwa.
1. P(") = 0;
Definicja
Niech &! oznacza przestrzeÅ„ zdarzeÅ„ elementarnych, zaÅ› A ‚" &! 2. Jeżeli A ‚" B to P(A) P(B);
zdarzenie sprzyjające. Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję P
3. Jeżeli A ‚" &! jest dowolnym zdarzeniem to P(A) 1;
przyporządkowującą każdemu zdarzeniu A liczbę P(A) określoną
4. Jeżeli A ‚" B to P(B \ A) = P(B) - P(A);
następującymi warunkami:
5. Jeżeli A1, A2, A3, . . . An są zdarzeniami rozłącznymi parami to
1. P(A) 0 dla każdego zdarzenia A;
2. P(&!) = 1; PP(A1 *" A2 *" · · · *" An) = P(A1) + P(A2) + · · · + P(An);
3. Jeżeli A1, A2, A3, . . . An jest dowolnym ciągiem parami
6. P(A) + P(A ) = 1;
rozłącznych zdarzeń to
7. P(A *" B) = P(A) + P(B) - P(A )" B).
P(A1 *"A2 *"· · ·*"An *". . . ) = P(A1)+P(A2)+· · ·+P(An)+. . .
Prawdopodobieństwo warunkowe Prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa
Niech A i B będą dowolnymi zdarzeniami. Zdarzenie polegające Jeśli zdarzenia B1, B2, . . . , Bn spełniają warunki:
na zajściu zdarzenia A, przy założeniu, że zaszło zdarzenie B
" Bi )" Bj = ", i = j;

oznaczamy symbolem A/B, a prawdopodobieństwo tego
" B1 *" B2 · · · *" Bn = &!,
zdarzenia P(A/B) nazywamy prawdopodobieństwem
wtedy mówimy, że tworzą układ zupełny zdarzeń.
warunkowym. Obliczamy je korzystając z następującej
tożsamości: Twierdzenie
Niech A będzie dowolnym zdarzeniem losowym i niech zdarzenia
P(A )" B)
losowe B1, . . . Bn, P(Bi) > 0 dla i = 1, . . . n, tworzą układ zupełny
P(A/B) = , gdzie P(B) > 0.
P(B)
zdarzeń w przestrzeni &!. Wtedy prawdziwa jest równość
Z powyższej równości mamy:
P(A) = P(A/B1)P(B1) + · · · + P(A/Bn)P(Bn).
P(A )" B) = P(A/B) · P(B).
Twierdzenie
Definicja
(założenia takie jak w prawdopodbieństwie całkowitym)
Mówimy, że zdarzenie A jest niezależne od zdarzenia B jeżeli
P(Bk) · P(A/Bk)
P(Bk/A) = n
P(A )" B) = P(A) · P(B). P(Bi ) · P(A/Bi)
i=1