W1-1 (przykłady) Notatki do wykładu  Sygnały dyskretne Instytut Automatyki PA

Ą�
1 z
Z{�1(n)}�=� z-�n =� =�
��
z -�1
1-� z-�1
n=�0
Ą�
Z{�e-�an}�=�
��e-�anz-�n =� z
z -� e-�a
n=�0
Ą�
z
Z{�an )}�=�
��anz-�n =�
z -� a
n=�0
z
Z{�n1(n)}�=�
(�z -�1)�2
Przykłady
1
Ą�
n
1 1
�� ��
1.a)
Z =� z-�1 =� ez
�� ż� (� )�
��n!
n!
�� ��
n=�0
b) Z{1,1,2,2,0,0,0,0,& ..}=1+1/z+2/z2+2/z3=(z3+z2+2z+2)/z3
z z z z5 +� z3 -� 2z z4 +� z2 -� 2 (z -�1)(z3 +� z2 +� 2z +� 2)
+� -� 2 =� =� =�
Z{1,1,2,2,0,0,0,0,& ..} =
z -�1
(�z -�1)�z2 (�z -�1)�z4 (�z -�1)�z4 (�z -�1)�z3 (�z -�1)�z3
c) Z{1,1,2,2,3,3,4,4,& ..}=
z z z z
=� +� +� +� +�L� =�
z -�1
(�z -�1)�z2 (�z -�1)�z4 (�z -�1)�z6
z 1 1 1 z 1 z z2
ć�1+� +� +� +�L��� ć� ��ć� �� ć� ��ć� ��
=� =� =�
�� �� �� ���� �� �� ���� ��
z -�1Ł� z -�1ł�Ł� ł� Ł� z -�1ł��� ł�
z2 z4 z6 1-� z-�2 z2 -�1��
ł� Ł�
Ł�
1 1 1 1 z2
d) Z{1,0,1,0,1,0,& ..}=
1+� +� +� +�L� =� =�
z2 z4 z6 1-� z-�2 z2 -�1
więc {1,1,2,2,3,3,4,4,& ..}= {1,1,1,1, & ..}*{1,0,1,0,1,0,& ..}
Z sinw�t =� ?
2.
{� }�
t=�nT
jf�
e =� cosf� +� j sinf�
e-� jf� =� cosf� -� j sinf�
1
jf�
cosf� =� e +� e-� jf�
(� )�
2
1
jf�
sinf� =� e -� e-� jf�
(� )�
2 j
1
jnw�T
sinnw�T =� e -� e-� jnw�T
(� )�
2 j
1
jnw�T
Z sinnw�T =� Z e -� Z e-� jnw�T
{� }�
(� {� }� {� }�
)�
2 j
z z
z
jnw�T
Z e-�an =� Z e-� jnw�T =�
{� }� Z e =� {� }�
{� }�
jw�T
z -� e-�a z -� e z -� e-� jw�T
jw�T
ć�
z z -� e-� jw�T -� z z -� e
(� )� (� )���
1
1 zz
��
����
Z sinnw�T =�-� = =
{� }�
��
jw�T jw�T
��
2 j
2 j z -� e z -� e-� jw�T �� z -� e z -� e-� jw�T ��
Ł�ł� (� )�(� )�
Ł�ł�
jw�T
ć�
z e -� e-� jw�T �� z sinw�T
(� )�
1
����
= =
jw�T
��
2 j
z2 -� z e +� e-� jw�T +�1�� z2 -� 2z cosw�T +�1
(� )�
Ł�ł�
W1-2 (przykłady) Notatki do wykładu  Sygnały dyskretne Instytut Automatyki PA

p�
z sin
p�
��sinn ��
z
2
Z =� Z sinnw�T p�
3. =
��ż�
=�
{� w�T =� }�
2 p�
2
���� z2 +�1
z2 -� 2z cos +�1
2
����
��e-� t ��
T
t�
-�n
����
Z sinw�t =�
��ż�
4.
Z sinnw�T
��e t� ż�
����
����
�� t=�nT ��
F(z) =� Z{�fn}��� Z{�e-�an fn}�=� F(zea )
T
-�
T t�
-�n ze sinw�T
����
Z sinnw�T
=
��e t� ż� 2TT
-�-�
���� t�
t�
z2e -� 2ze cosw�T +�1
Z at sinw�t =�
5.
{� }� Z anT sinnw�T
{� }�
t=�nT
-�n
Ą� Ą�
z z
n
Z{�an fn}�=� fnć� �� =� Fć� ��
�� �� �� ��
��a fnz-�n =� ��
a a
Ł� ł� Ł� ł�
n=�0 n=�0
z
sinw�T
aT
=�
Z anT sinnw�T
=
{� }� 2
zz
ć� ��
-� 2 cosw�T +�1
�� ��
aT aT
Ł� ł�
2( n +�1)
����
Z =� 2Z e-�2nn +� 2Z e-�2n
{� }� {� }�
��ż�
6.
e2n ��
��
7. Jaki ciąg jest splotem ciągu jednostkowego i ciągu {0, 1, 0 , 0 & .}? Skorzystaj a) z definicji
splotu, b) z transformaty splotu.
8. Wyznacz transformatę Z ciągu, który w przedziale od 0 do N narasta liniowo od 0 do A i dla
n>N pozostaje stały = A
{�f0 , f1, f2 , f3, f4 ,.......
}�
9. F(z) jest transformatą ciągu . Napisz ciąg, którego transformatą jest
F( z ) +� F( -�z )
a) G( z ) =�
2
F( z ) -� F( -�z )
b) H( z ) =�
2
Korzystając z otrzymanego wyniku oblicz transformaty Z ciągów
{�1,0,1,0,1,.......}� i {�0,1,0,1,0,.....}�.
}�. Jaka będzie transformata Z ciągu
10. F(z) jest transformatą ciągu {�f0 , f1, f2 , f3, f4 ,.......
�� ��
�� ��
f0 ,0,L�,0,f1,0,L�,0,f2 ,0,L�,0,f3 ,0,L�,0,f4 ,....... ?
�� ż�
1�2�3� 1�2�3� 1�2�3� 1�2�3�
�� ��
�� N -�1 N -�1 N -�1 N -�1 ��
W1-3 (przykłady) Notatki do wykładu  Sygnały dyskretne Instytut Automatyki PA

Korzystając z otrzymanego wyniku oblicz transformatę Z ciągu {�1,0,1,0,1,.......
}�
Zadania do samodzielnego rozwiązania:
11. Znajdz
transformaty Z poniższych funkcji. Sprawdz
poprawność rozwiązania obliczając
pierwsze 3 wyrazy ciągu metodą podzielenia licznika transformaty przez mianownik.
t
-�
t�
tcosw�t e cosw�t
cosw�t
a) , , ,
t=�nT t=�nT t=�nT
b) f (n) = ne3n oraz funkcji opóz
nionej o dwie próbki i funkcji przyspieszonej o dwie próbki
w stosunku do f (n)
c) f (n) = n2e2n oraz funkcji opóz
nionej o dwie próbki i funkcji przyspieszonej o dwie próbki
w stosunku do f (n)
12. Stosując twierdzenia graniczne wyznacz początkową i końcową wartość ciągu, którego
(1-� e-�t� )z
X( z ) =�
( z -�1)( z -� e-�t� )
transformatą jest oraz ciągów, których transformaty wyznaczyłeś w
punkcie 11.
13. Znajdz
transformaty Z funkcji:
{ 2,2,4,4,2,2,2,& ..}
{ 0,0,2,2,4,4,2,2,2,& ..}
{ 4,4,2,2,2,& ..}
Sprawdz
poprawność rozwiązania obliczając pierwsze 3 wyrazy ciągu metodą podzielenia
licznika transformaty przez mianownik.
z2
( z -�1)2
14. Znajdz
oryginał ciągu o transformacie korzystając twierdzenia o ciągu
przyśpieszonym.
15. Wyznacz transformatę funkcji f (n) = n3 , f (n) = n4