Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne ET3 przykłady do wykładu 2
Problem 1
Zmierzono poziom Morza Północnego w pewnym punkcie:
t [h] 0 2 4 6 8 10
h [m] 1,0 1,6 1,4 0,6 0,2 0,8
Pływ ma okres 12h.
Proszę aproksymować dane funkcją:
2Ą t 2Ą t
h*(t) = h0 + a1 sin + a2 cos
12 12
rozwiązując liniowe zadanie aproksymacji średniokwadratowej. (Nie jest
możliwe rozwiązanie tego zdania dla funkcji
2Ą ( t - t0 )
h( t ) = h0 + Asin ,
12
do której nie wszystkie parametry wchodzą liniowo.
t 0 2 4 6 8 10
� (t)=1
1 1 1 1 1 1
0
Ą 2Ą 4Ą 5Ą
sin sin sin sin
sin 0 sinĄ
2Ą t
3 3 3 3
� (t)= sin
1
12 3 3 3 3
0 0
- -
2 2 2 2
Ą 2Ą 4Ą 5Ą
cos cos cos cos
cos 0 cosĄ
2Ą t
3 3 3 3
� (t)= cos
2
1 1 1 1
12
1 - -1 -
2 2 2 2
h(t)
1,0 1,6 1,4 0,6 0,2 0,8
� ,�1 = 0, � ,� = 0, �1,� = 0,
0 0 2 2
1
Ą# ń#
ó#1Ą#
ó# Ą#
� ,� = [1 1 1 1 1 1]ó#1Ą# = 1+1+ 1+1+1+ 1 = 6
ó#1Ą#
0 0
ó# Ą#
ó#1Ą#
ó# Ą#
Ł#1Ś#
PW2 1
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne ET3 przykłady do wykładu 2
0
Ą# ń#
ó# Ą#
3
ó# Ą#
2
ó# Ą#
3
ó# Ą#
Ą# ń#
3 3 3 3 3 3 3 3
ó# Ą#
2
�1,�1 = = 0 + + + 0 + + = 3
ó#0 2 2 0 - - Ą#
ó# Ą#
0
2 2 4 4 4 4
Ł# Ś#
ó# Ą#
3
ó#- Ą#
2
ó# Ą#
3
ó# Ą#
ó#- Ą#
Ł# 2 Ś#
1
Ą# ń#
1
ó# Ą#
ó# Ą#
2
ó#
1Ą#
ó#- Ą#
1
Ą#1 - 1 1 1 1 1 1 1
ń#
2
� ,� = -1 - ó# = 1+ + +1+ + = 3
2 2
ó#
2 2 2 2Ą# ó# -1Ą# 4 4 4 4
Ł# Ś#
ó#- 1Ą#
Ą#
ó# 2Ą#
1
ó# Ą#
ó# Ą#
Ł# 2 Ś#
1,0
Ą# ń#
ó#1,6Ą#
ó# Ą#
� ,h = [1 1 1 1 1 1]ó#1,4Ą# = 1,0 +1,6 +1,4 + 0,6 + 0,2 + 0,8 = 5,6
ó#0,6Ą#
0
ó# Ą#
ó#0,2Ą#
ó# Ą#
Ł#0,8Ś#
1,0
Ą# ń#
ó#1,6Ą#
ó# Ą#
Ą# ń# ó#1,4Ą#
3 3 3 3
�1,h = =
ó#0 2 2 0 - - Ą# ó#0,6Ą#
2 2
Ł# Ś#
ó# Ą#
ó#0,2Ą#
ó# Ą#
Ł#0,8Ś#
3 3 3 3
= 0 +1,6�" +1,4�" + 0 - 0,2 �" - 0,8�" = 3
2 2 2 2
1,0
Ą# ń#
ó#1,6Ą#
ó# Ą#
ó#1,4Ą#
1
Ą#1 - 1 1 1
ń#
� ,h = -1 - = 1,0 + 0,8 - 0,7 - 0,6 - 0,1+ 0,4 = 0,8
2
ó#
2 2 2 2Ą# ó#0,6Ą#
Ł# Ś#
ó# Ą#
ó#0,2Ą#
ó# Ą#
Ł#0,8Ś#
Układ równań normalnych redukuje się do:
PW2 2
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne ET3 przykłady do wykładu 2
ż#
� ,� h0 = � ,h
0 0 0
�#
�#
�1,�1 a1 = �1,h
�#
�#
� ,� a2 = � ,h
�#
2 2 2
�#
6h0 5,6 h0 0,933
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó#3a Ą# ó# ó#a Ą# ó#0,577Ą#
= 3Ą# =
1 1
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# ó#a2 Ą# ó#0,267Ą#
Ł#3a2 Ś# Ł#0,8Ą# Ł# Ś# Ł# Ś#
Ś#
2Ą t 2Ą t
h*(t) = 0,933 + 0,577sin + 0,267cos
12 12
Problem 2
Rozwiaż liniowe zadanie aproksymacji średniokwadratowej danych z tabeli
*
funkcją f ( x ) = c0 + c1x :
x 1 3 4 6 7
f(x) -2,1 -0,9 -0,6 0,6 0,9
� (x)=1
0
Funkcje bazowe: . Współczynniki wag =1.
� (x)= x
1
Układ równań normalnych
Ą# ń#
� ,� � ,� � , f
c0 Ą# 0 ń#
Ą# ń#
0 0 0 1
ó# Ą# = ó# Ą#
ó#c Ą#
� ,� � ,� � , f
ó# Ą# Ł# 1 Ś# ó# Ą#
1 0 1 1 1
Ł# Ś# Ł# Ś#
1
Ą# ń#
ó#1Ą#
ó# Ą#
Ą#
� ,� = [1 1 1 1 1]ó#1 =1 +1 +1 +1 +1 = 5
0 0
ó#1Ą#
ó# Ą#
ó#1Ą#
Ł# Ś#
1
Ą# ń#
ó#3Ą#
ó# Ą#
Ą#
� ,� = [1 1 1 1 1]ó#4 =1 + 3 + 4 + 6 + 7 = 21
0 1
ó#6Ą#
ó# Ą#
ó#7Ą#
Ł# Ś#
PW2 3
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne ET3 przykłady do wykładu 2
1
Ą# ń#
ó#3Ą#
ó# Ą#
Ą#
� ,� = [1 3 4 6 7]ó#4 =1 + 9 + 16 + 36 + 49 =111
1 1
ó#6Ą#
ó# Ą#
ó#7Ą#
Ł# Ś#
Ą#- 2,1
ń#
ó# Ą#
ó#- 0,9Ą#
Ą# =
� , f = [1 1 1 1 1]ó#- 0,6 -2,1 - 0,9 - 0,6 + 0,6 + 0,9 = -2,1
0
ó# Ą#
0,6
ó# Ą#
ó# Ą#
0,9
Ł# Ś#
Ą#- 2,1
ń#
ó# Ą#
ó#- 0,9Ą#
Ą# =
� , f = [1 3 4 6 7]ó#- 0,6 -2,1 - 2,7 - 2,4 + 3,6 + 6,3 = 2,7
1
ó# Ą#
0,6
ó# Ą#
ó# Ą#
0,9
Ł# Ś#
5 21 c0
ń# Ą# ń# 1 Ą# ń#Ą#- ń#
Ą# ń# Ą# ń# Ą#- 2,1 c0 111 - 21 2,1
= =
ó#21 111Ą# ó#c Ą# ó# Ą# ó#c Ą# Ą#ó# Ą#
2,7 555 - 441ó#- 21 5 2,7
Ł# Ś# Ł# 1 Ś# Ł# Ś# Ł# 1 Ś# Ł# Ś#Ł# Ś#
c0 1 111�"(- 2,1)+ (- 21)�" 2,7 289,8
Ą# ń# Ą# ń# 1 Ą# ń# Ą#- 2,5421
ń#
= = =
ó#c Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
114 (- 21)�"(- 2,1)+ 5 �" 2,7 114 57,6 0,5053
Ł# 1 Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
*
f ( x ) = -2,5421+ 0,5053x
Problem 3
Znajdz
wielomian interpolacyjny stosując
" Wzór Lagrange a
" Metodę rodziny trójkatnej
i 0 1 2 3
xi -2 1 2 4
yi 3 1 -3 8
PW2 4
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne ET3 przykłady do wykładu 2
Ze wzoru Lagrangea dla n = 3:
(x- x1)(x- x2) (x- x3) (x- x0)(x- x2)(x- x3) (x- x0)(x- x1)(x- x3)
Wn(x)= y0 +
(x0 - x1)(x0 - x2) (x0 - x3)+ y1 (x1 - x0)(x1 - x2)(x1 - x3)+ y2 (x2 - x0)(x2 - x1)(x2 - x3)
(x- x0)(x- x1)(x- x2)
+ y3 =
(x2 - x0)(x2 - x1)(x2 - x2)
(x-1)(x-2)(x-4) (x+2)(x-2)(x-4) (x+ 2)(x-1)(x- 4)+8(x+2)(x-1)(x- 2)
=3 -3
(-2-1)(- 2- 2)(- 2-4)+1 (1+2)(1- 2)(1-4) (2+ 2)(2-1)(2-4) (4+2)(4-1)(4-2)=
1 1 3 2
=- (x3 -7x2 +14x-8)+ (x3 -4x2 -4x+16)+ (x3 -3x2 -6x+8)+ (x3 - x2 -4x+ 4)=
24 9 8 9
2 3 25
= x3 - x2 - x+ 6
3 2 6
Metodą rodziny trójkątnej:
c0 = p (x0 )= 3
p(x1)- c0 1- 3 2
c1 = = = -
(x1 - x0 ) 1+ 2 3
2
p(x2 )- c0 - c1(x2 - x0 )= - 3 - 3 + 3 (2 + 2) 5
c2 = = -
(x2 - x0 )(x2 - x1) (2 + 2)(2 -1) 6
p(x3 )- c0 - c1(x3 - x0 )- c (x3 - x0 )(x3 - x1)
2
c3 = =
(x3 - x0 )(x3 - x1)(x3 - x2 )
2 5
8 - 3 + (4 + 2)+ (4 + 2)(4 -1)
2
3 6
= =
(4 + 2)(4 -1)(4 - 2) 3
Po podstawieniu współczynników c do p(x) dostajemy:
p(x)=c0 +c1(x- x0)+c2(x- x0)(x- x1)+c3 (x- x0)(x- x1)(x- x2)=
2 5 2
=3- (x+ 2)- (x+2)(x-1)+ (x+2)(x-1)(x-2)=
3 6 3
2 4 5 2
=3- x- - (x2 + x-2)+ (x3 - x2 -4x+ 4)=
3 3 6 3
2 3 25
= x3 - x2 - x+6
3 2 6
Problem 4
2 3 25
p(x)= x3 - x2 - x+6 dla x=1 .:
Oblicz metodą Hornera wartość
3 2 6
P(x) = a0x3 + a1x2 + a2x + a3 =
= ((a0x + a1)x + a2)x + a3
b0=a0 a1 a2 a3
+x b0 +x b1 +x b2
PW2 5
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne ET3 przykłady do wykładu 2
=b1 = b2 = b3=P(x)
P(x) = a0xn + a1xn-1 +L+ an-1x + an
b0 = a0
bi = ai + xbi-1, i = 1,L,n
P(x) = bn
2/3 -3/2 -25/6 6
+1 2/3 -1 5/6 -1 5
=-5/6 = -5 1
Problem 5
Znajdz
wielomian interpolacyjny dla sin(x) stosując węzły  1, -1/3, 1/3, 1. Oszacuj błąd
interpolacji.
x -1 -1/3 1/3 1
y=sin(x) -0.8415 -0.3272 0.3272 0.8415
c0 = p (x0 )= - 0.8415
p(x1)- c0 - 0.3272 + 0.8415
c1 = = = 0.7714
1
(x1 - x0 )
- +1
3
1
�#
ź#
p(x2 )- c0 - c1(x2 - x0 )= - 0.3272 + 0.8415 - 0.7714 ś# +1ś#
3
�# #
c2 = = ......
1 1 1
(x2 - x0 )(x2 - x1) �# �# ś#
+1ś# +
ś# ź# ś# ź#
3 3 3
�# # �# #
p(x3)- c0 - c1(x3 - x0 )- c (x3 - x0 )(x3 - x1)
2
c3 = = ........
(x3 - x0 )(x3 - x1)(x3 - x2 )
& & & & & & & & & & ..
P(x)=-0.1576x3 +0.9991x
n
1
(n+1)
f (x) - P(x) = f (� ) - xi )
"(x
(n +1)!
i=0
3
1
sin(x) - P(x) = sin(4)(� ) - xi )
"(x
4!
i=0
sin(4)(� ) = cos(3)(� ) = (-sin(x))''= (- cos x)'= sin(x)
3
Ą# ń#
1
sin(x) - P(x) d" max[sin(x)]maxó# - xi )
"(x Ś#
Ą#
-1d"xd"1 -1d"xd"1
4!
i=0
Ł#
PW2 6
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne ET3 przykłady do wykładu 2
1
sin(x) - P(x) d" 0.8415 0.1975 =0.0069
4!
Stosując węzły Czebyszewa dostajemy:
P(x)= -0.1585x3 +0.9990x
Porównanie wyników: blue  węzły równoodległe, red węzły Czebyszewa
(linia pozioma = 2-n):
n=3
n=6
n=12
PW2 7