Politechnika A
ódzka
Katedra Mechaniki Konstrukcji
Zakład Konstrukcji Stalowych
dr inż. A
ukasz Supeł
Przykład obliczeniowy rusztowej konstrukcji
wsporczej stropu monolitycznego
Geometria konstrukcji wsporczej stropu:
Długość belki:
B := 6.4�"m
Liczba belek:
n := 5
Rozstaw belek:
a := 1.8�"m
Długość dz
wigara:
L := n�"a = 9 m
a/2 a
a/2 (n-1) x a a/2
n x a = L
Przekrój belki stropowej walcowanej:
2
Pole powierzchni:
Ab := 45.9�"cm
Ab, Iy,b
4
Moment bezwładności:
Iy.b := 5790�"cm
Przekrój spawany dz
wigara:
Szerokość pasów:
bf := 220�"mm
Grubość pasów:
tf := 14�"mm
Wysokość środnika
hw := 700�"mm
Grubość środnika:
tw := 6�"mm
tw
bf
Obciążenie powierzchni stropu / grubość płyty stropowej:
Qk := 4�"kPa tc := 120�"mm
B
f
t
w
h
h
f
t
Wyniki obliczeń statycznych belki stropowej
Wykres momentu zginającego:
0
0
My(x)
4
5�10
0
0 0.64 1.28 1.92 2.56 3.2 3.84 4.48 5.12 5.76 6.4
x
Moment w środku rozpiętości:
My(0.5�"B) = 92.4�"kNm
Wykres siły tnącej:
4
5�10
Vz(x)
0
0
4
-5�10
0 0.64 1.28 1.92 2.56 3.2 3.84 4.48 5.12 5.76 6.4
x
Siła tnąca przy podporze / reakcja podporowa:
Vz(0�"m) = 57.7�"kN
Ugięcie belki w środku rozpiętości: Ugięcie dopuszczalne belki:
B
z(0.5�"B) = 24.2�"mm = 25.6�"mm
250
Wyniki obliczeń statycznych dz
wigara
Przekroje, w których przyłożone jest obciążenie:
Xi =
�"m
0.90
2.70
4.50
6.30
8.10
Wykres momentu zginającego:
0
0
5
2�10
My(x)
5
4�10
0
0 0.9 1.8 2.7 3.6 4.5 5.4 6.3 7.2 8.1 9
x
Moment w środku rozpiętości:
My(0.5�"L) = 684.6�"kNm
Momenty w miejscach przyłożenia sił skupionych
My Xi =
( )
�"kNm
263.1
579.2
684.6
579.2
263.1
Wykres siły tnącej:
5
2�10
Vz(x)
0
0
5
-2�10
0 0.9 1.8 2.7 3.6 4.5 5.4 6.3 7.2 8.1 9
x
Reakcja podporowa
R = 292.7�"kN
Siła tnąca przed skrajną belką:
Vz(0�"m) = 292.7�"kN
Siła tnąca za skrajną belką:
Vz X1 = 176.5�"kN
( )
Ugięcie dz
wigara w środku rozpiętości: Ugięcie dopuszczalne dz
wigara
L
z(0.5�"L) = 21.1�"mm = 25.7�"mm
350
kNm := kN�"m
1. GEOMETRIA STROPU
Rozpiętość belek stropowych:
B := 6.4�"m
Rozstaw belek stropowych:
a := 1.8�"m
Liczba belek:
n := 5
Rozpiętość dz
wigarów:
L := n�"a = 9m
2. ZEBRANIE OBCI
ŻEC
- BELKA STROPOWA
1. Obciążenia stałe: ciężar płyty 12 cm, ciężar warstw wykończenia 0,3 kN/m2, ciężar własny belki IPE270,
2. Obciążenia zmienne: obciążenie eksploatacyjne 4,0 kN/m2.
3. OBLICZENIA BELKI STROPOWEJ
1. Warunek nośności belki przy zginaniu,
2. warunek nośności przekroju przy ścinaniu,
3. sprawdzenie ugięć granicznych,
4. warunki nośności belki w miejscu połączenia z dz
wigarem.
3.1 WARUNEK NOŚNOŚCI BELKI PRZY ZGINANIU
Moment zginający w belce: (wyniki obliczeń statycznych wzięto z załączonego pliku)
My.Ed := 92.4�"kNm
Przekrój: dwuteownik równoległościenny IP270E ze stali S235
Wysokość
h := 270�"mm
Szerokość
b := 135�"mm
Grubości części
tf := 10.2�"mm tw := 6.6�"mm
Promień zaokrąglenia
r := 15�"mm
Szerokość środnika
hw := h - 2�"tf = 249.6�"mm
Granica plastyczności
fy := 235�"MPa � := 1
Współczynniki częściowe
łM0 := 1.0 łM1 := 1.0
Klasa przekroju
h - 2�"r - 2�"tf
środnik <
= 33.273 72�"� = 72
tw
b - tw - 2�"r
stopka <
= 4.824 9�"� = 9
2�"tf
Przekrój przy zginaniu jest klasy 1.
Wskaz
nik plastyczny przekroju
2
hw �"tw 2 hw
�ł �ł
Wpl.y := b�"tf�" - tf + 2�"r �" �" �"r
(h )+ (h - r)- Ą�"r2 �ł + 4 - 3�"Ą �ł = 483.997�"cm3
w
4 2 3�"Ą
�ł łł
1z12
Nośność plastyczna przekroju:
Wpl.y�"fy
Mc.y.Rd := = 113.739�"kNm
łM0
Belka pasem górnym (ściskanym) jest stężona bocznie na całej długości. Pominięto zwichrzenie.
�LT := 1
Nośność zwichrzeniowa belki:
Wpl.y�"fy
Mb.y.Rd := �LT�" = 113.739�"kNm
łM1
Warunek stateczności elementu:
My.Ed
< 1,0
= 0.812
Mb.y.Rd
Warunek jest spełniony.
3.2 WARUNEK NOŚNOŚCI PRZEKROJU PRZY ŚCINANIU
Siła tnąca przy podporze
Vz.Ed := 57.7�"kN
Sprawdzenie wrażliwości na miejscową utratę stateczności
współczynnik
� := 1.2
hw
�
środnik <
= 37.818 72�" = 60
tw �
Środnik nie jest wrażliwy na utratę stateczności miejscowej.
Pole brutto przekroju:
2 2
A := 2�"tf�"b + - 2�"tf w + (4 - Ą)�"r = 45.945�"cm
(h )�"t
Pole czynne przy ścinaniu
2
AV := max - 2�"b�"tf + tf�" + tw w�"tw = 22.138�"cm
�łA łł
(2�"r ), ��"h �ł
�ł
Nośność plastyczna przekroju:
AV�"fy
Vc.z.Rd := = 300.365�"kN
3�"łM0
Warunek wytrzymałości przekroju:
Vz.Ed
< 1,0
= 0.192
Vc.z.Rd
Warunek jest spełniony.
2z12
3.3 SPRAWDZENIE UGI
Ć GRANICZNYCH
Ugięcie belki w środku rozpiętości: Ugięcie dopuszczalne belki:
B
<
wmax := 24.2�"mm = 25.6�"mm
250
Warunek jest spełniony.
3.4 WARUNKI NOŚNOŚCI BELKI W MIEJSCU POA

CZENIA Z Dy
WIGAREM
Reakcja podporowa belki:
R := Vz.Ed = 57.7�"kN
Połączenie zakładkowe dociskowe (kategorii A). Przyjęto 2 śruby M16 kl. 8.8
1
Siła tnąca na jeden łącznik:
FEd := �"R = 28.85�"kN
2
2
0.6�"161�"mm �"800�"MPa
Nośność śruby na ścinanie:
Fv.Rd := = 61.824�"kN
1.25
FEd
< 1,0
= 0.467
Fv.Rd
Warunek jest spełniony.
40�"mm
Nośność otworu na docisk: ąd := = 0.741
3�"18�"mm
ąb := min , ąd 0.741
(1 )=
�ł2.5 40�"mm �ł
k1 := min , 2.8�" - 1.7 = 2.5
�ł �ł
18�"mm
�ł łł
t := tw = 6.6�"mm
d := 16�"mm
k1�"ąb�"d�"t�"360�"MPa
Fb.Rd := = 56.32�"kN
1.25
FEd
< 1,0
= 0.512
Fb.Rd
Warunek jest spełniony.
Rozerwanie blokowe: Belka została podcięta dwustronnie na głębokość: 35x160 mm
2
An.v := (h - 70�"mm - 2�"18�"mm)�"tw = 10.824�"cm
An.v�"235�"MPa
Feff.1.Rd := = 146.857�"kN
3�"1.0
R
< 1,0
= 0.393
Feff.1.Rd
Warunek jest spełniony.
3z12
Złożony stan naprężenia w miejscu podcięcia:
R = 57.7�"kN
M1 := R�"(160�"mm - 40�"mm) = 6.924�"kNm
h1 := h - 70�"mm
2
h1 �"tw
3
Wy := = 44�"cm
6
R
� := = 43.712�"MPa
h1�"tw
M1
� := = 157.364�"MPa
Wy
fy
2 2
<
�red := � + 3�"� = 174.63�"MPa = 235�"MPa
łM0
Warunek jest spełniony.
4. OBLICZENIA Dy
WIGARA
1. Warunek nośności dz
wigara przy zginaniu,
2. warunek nośności przekroju przy ścinaniu,
3. sprawdzenie ugięć granicznych,
4. dobór żeber ze względu na ścinanie
5. połączenie dz
wigara ze słupem.
4.1 WARUNEK NOŚNOŚCI Dy
WIGARA PRZY ZGINANIU
Moment zginający w dz
wigarze
My.Ed := 685�"kNm
Przekrój: dwuteownik spawany 700x6/220x14 ze stali S275
Wysokość środnika
hw := 700�"mm
Szerokość
b := 220�"mm
Grubości części
tf := 14�"mm tw := 6�"mm h := hw + 2�"tf
Granica plastyczności
fy := 275�"MPa � := 0.924
Współczynniki częściowe
łM0 := 1.0 łM1 := 1.0
Klasa przekroju
hw
środnik >
= 116.667 124�"� = 114.576
tw
b - tw
stopka <
= 7.643 9�"� = 8.316
2�"tf
Przekrój przy zginaniu jest klasy 4, przy czym wrazliwy na utratę stateczności jest tylko środnik.
4z12
Cechy przekroju brutto:
1
4
�łh3
Iy := �" �"b - - 2�"tf �" - tw = 95668.645�"cm
(h )3(b )łł
�ł �ł
12
2
A := 2�"tf�"b + - 2�"tf w = 103.6�"cm
(h )�"t
Środnik
współczynnik rozkładu naprężeń normalnych na szerokości ścianki
� := -1
parametr niestateczności miejscowej:
k� := 23.9
hw 1
smukłość względna
w := �" w = 0.909
tw 28.419�"��" k�
w - 0.055�"(3 + �)
współczynnik redukcyjny
�w := �w = 0.967
2
w
hw
szerokość strefy ściskanej
bc := bc = 350�"mm
1 - �
szerokości współpracujące
beff := bc�"�w = 338.509�"mm
be.1 := 0.4�"beff = 135.404�"mm
be.2 := 0.6�"beff = 203.106�"mm
tw�" - beff
�ł łł
(b )�"�ł0.5�"h - tf - be.1 - 0.5�"(b - beff)�ł 1.399�"mm
c c
zmiana położenia środka ciężkości
"zc := =
A - tw�" - beff
(b )
c
Cechy przekroju współpracującego:
1
2 4
Ieff.y := Iy + A�""zc - �" - beff �"tw ... = 95365.828�"cm
(b )3
c
12
+ (-1)�"tw�" - beff w + "zc - be.1 - 0.5�" - beff
�ł łł
(b )�"�ł0.5�"h (b )�ł2
c c
Ieff.y
3
Weff.y := = 2609.908�"cm
0.5�"h + "zc
Nośność sprężysta przekroju:
Weff.y�"fy
Mc.y.Rd := = 717.725�"kNm
łM0
Weryfikacja nośności przekroju dz
wigara:
My.Ed
< 1,0
= 0.954
Mc.y.Rd
Warunek jest spełniony.
5z12
Zwichrzenie - metoda uproszczona
Lc := 1.8�"m
579.2
� := = 0.846
684.6
1
kc := = 0.952
1.33 - 0.33�"�
1 1
3 3 4
Iz.f := �"b �"tf + �"hw�"tw = 1242.477�"cm
12 72
1
2
Af := b�"tf + �"hw�"tw = 37.8�"cm
6
Iz.f
iz.f := = 5.733�"cm
Af
1 := 93.9�"� = 86.764
c.0 := 0.4
Lc�"kc Mc.y.Rd
<
f := = 0.344 c.0�" = 0.419
iz.f�"1 My.Ed
Nie przekroczono granicznej wartości smukłości giętnej pasa przy wyboczeniu z płaszczyzny dz
wigara. Warunek
stateczności elementu sprowadza się do warunku wytrzymałości przekroju. Warunek zatem jest spełniony.
4.2 WARUNEK NOŚNOŚCI Dy
WIGARA PRZY ŚCINANIU
Zastosowano żebra podporowe i pośrednie. Przy podporze przyjęto rozstaw obliczeniowy 900 mm, na długości
przęsła 1800 mm.
Panel środnika przy podporze:
a := 900�"mm hw = 700�"mm
Siła tnąca przy podporze
Vz.Ed.1 := 293�"kN
Parametr niestateczności:
2
hw
�ł �ł
�ł �ł
k� := 5.34 + 4�" = 7.76
a
�ł łł
Sprawdzenie wrażliwości na miejscową utratę stateczności
hw
�
>
= 116.667 31�" k��" = 66.493
tw �
Panel środnika jest wrażliwy na utratę stateczności przy ścinaniu.
6z12
Smukłość względna
hw 1
w := �" = 1.212
tw 37.4�"��" k�
Współczynnik redukcyjny niestateczności
1.37
�w := = 0.717
0.7 + w
Nośność wyboczeniowa środnika na ścinanie:
�w�"hw�"tw�"fy
Vbw.Rd.1 := = 477.825�"kN
3�"łM1
Warunek nośności na ścinanie panela:
Vz.Ed.1
< 1,0
= 0.613
Vbw.Rd.1
Warunek jest spełniony.
Panel środnika za pierwszą belką
a := 1800�"mm hw = 700�"mm
Siła tnąca za pierwszą belką
Vz.Ed.2 := 177�"kN
Parametr niestateczności:
2
hw
�ł �ł
�ł �ł
k� := 5.34 + 4�" = 5.945
a
�ł łł
Sprawdzenie wrażliwości na miejscową utratę stateczności
hw
�
>
= 116.667 31�" k��" = 58.2
tw �
Panel środnika jest wrażliwy na utratę stateczności przy ścinaniu.
Smukłość względna
hw 1
w := �" = 1.385
tw 37.4�"��" k�
Współczynnik redukcyjny niestateczności
1.37
�w := = 0.657
0.7 + w
Nośność wyboczeniowa środnika na ścinanie:
�w�"hw�"tw�"fy
Vbw.Rd.2 := = 438.244�"kN
3�"łM1
7z12
Warunek nośności na ścinanie panela:
Vz.Ed.2
< 1,0
= 0.404
Vbw.Rd.2
Warunek jest spełniony.
4.3 SPRAWDZENIE UGI
Ć GRANICZNYCH
Ugięcie dz
wigara w środku rozpiętości: Ugięcie dopuszczalne dz
wigara
L
<
wmax := 21.1�"mm = 25.7�"mm
350
Warunek jest spełniony.
4.4. DOBÓR ŻEBER ZE WZGL
DU NA ŚCINANIE
Żebro podporowe sztywne
Żebro podporowe przyjęto jako zdwojone żebro dwustronne z płaskownika 100x8, w odstępie osiowo 150 mm
bst := 100�"mm tst := 8�"mm e := 150�"mm
bst
<
= 12.5 14�"� = 12.936
tst
Żebro jest stateczne
2
4�"hw�"tw
2 2
>
Ast := 2�"bst�"tst = 16�"cm = 6.72�"cm
e
Warunek jest spełniony.
hw
>
e = 150�"mm = 70�"mm
10
Warunek jest spełniony.
Żebro przyjęto właściwie.
Żebro pośrednie sztywne
Przyjęto żebra pośrednie 100x8
a := 900�"mm hw = 700�"mm
3 3
hw �"tw
1
4 4 4
>
Ist := �" + tw �"tst + 2.5�"��"tw = 583.087�"cm 1.5�" = 13.72�"cm
(2�"b )3
st
2
12
a
Warunek jest spełniony.
Żebro przyjęto właściwie.
8z12
4.5 POA

CZENIE Dy
WIGARA ZE SA
UPEM
Reakcja podporowa dz
wigara:
R := Vz.Ed.1 = 293�"kN
Połączenie zakładkowe dociskowe (kategorii A). Przyjęto 4 śruby M20 kl. 8.8.
1
Siła tnąca na jeden łącznik:
FEd := �"R = 73.25�"kN
4
2
0.6�"245�"mm �"800�"MPa
Nośność śruby na ścinanie:
Fv.Rd := = 94.08�"kN
1.25
FEd
< 1,0
= 0.779
Fv.Rd
Warunek jest spełniony.
100�"mm 1
Nośność otworu na docisk: ąd := - = 1.265
3�"22�"mm 4
ąb := min , ąd 1
(1 )=
�ł2.5 40�"mm �ł
k1 := min , 2.8�" - 1.7 = 2.5
�ł �ł
22�"mm
�ł łł
(grubość żeber podporowych)
t := tst = 8�"mm
d := 20�"mm
k1�"ąb�"d�"t�"430�"MPa
Fb.Rd := = 137.6�"kN
1.25
FEd
< 1,0
= 0.532
Fb.Rd
Warunek jest spełniony.
4.5 POA

CZENIE SPAWANE PASA I ŚRODNIKA Dy
WIGARA
Siła tnaca:
Vz.Ed.1 = 293 kN
Moment zginający w przekrojach w pobliżu podpory ma niewielką wartość, zatem jest pomijany:
4
Moment bezwładności:
Iy = 95668.645cm
1
3
Moment statyczny pasa:
S := �"b�"tf�" - tf 1099.56 cm
(h )=
2
Grubość spoiny pachwinowej:
a := 3�"mm
Vz.Ed.1�"S
360�"MPa
Naprężenie styczne: <
� := = 56.126 MPa = 207.846 MPa
Iy�"2�"a
3�"0.8�"1.25
Warunek jest spełniony.
9z12
5. OBLICZENIA SA
UPA ŚCISKANEGO MIMOŚRODOWO
Długość słupa swobodnie podpartego:
H := 6.6�"m
Słup należy sprawdzić w dwóch przypadkach, gdy:
1. dz
wigary obciążają słup osiowo,
2. dz
wigary obciążają słup mimośrodowo (na jednym dz
wigarze nie ma obciążenia zmiennego, Qk=0)
Przekrój: dwuteownik szerokostopowy HE220A ze stali S275
Wysokość
h := 210�"mm
Szerokość
b := 220�"mm
Grubości części
tf := 11�"mm tw := 7�"mm
Promień zaokrąglenia
r := 18�"mm
Szerokość środnika
hw := h - 2�"tf = 188�"mm
Granica plastyczności
fy := 275�"MPa � := 1
Klasa przekroju  ŚCISKANIE
hw - 2�"r
środnik <
= 21.714 33�"� = 33
tw
b - tw - 2�"r
pas <
= 8.045 9�"� = 9
2�"tf
Przy ściskaniu przekrój jest klasy 1. Przy zginaniu czy zginaniu ze ściskaniem będzie on również klasy 1.
Przekrój zachowywać się bedzie plastycznie.
Momenty bezwładności
4 4 6 4
Iy = 5409.701�"cm Iz = 1954.561�"cm Iw = 193266.08�"cm IT = 21.671�"cm
Wskaz
niki plastyczne
3 3
Wpl.y = 568.457�"cm Wpl.z = 270.595�"cm
Pole powierzchni
2
A = 64.341�"cm
Promienie bezwładności
iy = 9.169�"cm iz = 5.512�"cm io = 10.698�"cm is = 10.698�"cm
Nośność charakterystyczna przekroju przy ściskaniu:
Nc.Rk := A�"fy = 1769.384�"kN
Nośność charakterystyczna przekroju przy zginaniu
Mc.y.Rk := Wpl.y�"fy = 156.326�"kNm
10z12
Siła krytyczna wyboczenia giętnego względem osi słabej
2
Ą �"E�"Iz
Ncr.z := = 929.994�"kN
2
H
Współczynnik wyboczenia:
Nc.Rk
z := = 1.379
Ncr.z
�ł1
Ś := 0.5�" + 0.49�" - 0.2 z = 1.74
( )+ 2łł
z
�ł �ł
1
�z := = 0.357
2 2
Ś + Ś - z
Moment krytyczny zwichrzenia (moment liniowo zmienny, �=0)
C1 := 1.879 kz := 1 kw := 1
2
kz Iw G�"IT
�ł �ł
�ł �ł
Mcr := C1�"Ncr.z�" �" + = 296.121�"kNm
�ł �ł
kw Iz Ncr.z
�ł łł
Współczynnik zwichrzenia:
Mc.y.Rk
LT := = 0.727
Mcr
2
�ł1 łł
Ś := 0.5�" + 0.34�" - 0.4 0.75�"LT = 0.753
( )+
LT
�ł �ł
1
�LT := = 0.856
2 2
Ś + Ś - 0.75�"LT
5.1 PRZYPADEK 1: OBCI
ŻENIE OSIOWE
Reakcje z dz
wigarów
R1 := 293�"kN R2 := 293�"kN
NEd := R1 + R2 = 586�"kN
Warunek stateczności pręta ściskanego osiowo
NEd
< 1,0
= 0.928
Nc.Rk
�z�"
łM1
Warunek jest spełniony.
11z12
5.2 PRZYPADEK 2: OBCI
ŻENIE MIMOŚRODOWE
Reakcje z dz
wigarów
R1 := 293�"kN R2 := 120�"kN
(R.2  ustalono jako reakcję dz
wigara przy Qk=0)
Mimośród przyłożenia obciążenia z dz
wigara na słup (odległość od osi słupa do płaszczyzny ścinania śrub)
h
e := = 105�"mm
2
NEd := R1 + R2 = 413�"kN My.Ed := R1�"e - R2�"e = 18.165�"kNm
współczynnik interakcji (moment liniowo zmienny �=0)
CmLT := 0.6
0.05�"z NEd NEd
�ł �ł
0.05
�ł �ł
kzy := max 1 - �" , 1 - �" = 0.907
CmLT - 0.25 Nc.Rk CmLT - 0.25 Nc.Rk
�ł �ł
�z�" �z�"
�ł �ł
łM1 łM1
�ł łł
Warunek stateczności pręta zginanego i ściskanego
NEd My.Ed
< 1,0
+ kzy�" = 0.777
Nc.Rk Mc.y.Rk
�z�" �LT�"
łM1 łM1
Warunek jest spełniony.
12z12