Wydział Inżynierii Lądowej, Środowiska i Geodezji
Politechnika Koszalińska
ĆWICZENIE NR 1.
Wyznaczenie linii ugięcia belki.
Wykonał(-a):
ImiÄ™ Nazwisko,
gr. 2.x.y
Koszalin, 2015
d4w
( )
I. Równania różniczkowe: EJ " = -q x
dx4
1. Funkcja obciążenia:
5ØQÜ45ØdÜ
( ) ( )
5Ø8Ü5Ø=Ü = -5Ø^Ü5ØVÜ 5ØeÜ5ØVÜ , 5Ø^Ü5ØVÜ 5ØeÜ5ØVÜ - 5Ø\Ü5ØOÜ5ØPÜ5ØVÜąż5ØRÜ5Ø[Ü5ØVÜ5ØRÜ 5Ø_Ü5Ø\Ü5ØgÜÅ‚5Ø\Üż5Ø\Ü5Ø[Ü5ØRÜ:
5ØQÜ5ØeÜ4
( )
5Ø^Ü1 5ØeÜ1 = 7
( )
5Ø^Ü2 5ØeÜ2 = 0
( )
5Ø^Ü3 5ØeÜ3 = 0
( )
5Ø^Ü4 5ØeÜ4 = 0
2. Siła tnąca:
5ØQÜ35ØdÜ
( ) ( ) ( )
5Ø8Ü5Ø=Ü = 5ØGÜ5ØVÜ 5ØeÜ5ØVÜ , 5ØGÜ5ØVÜ 5ØeÜ5ØVÜ = +" -5Ø^Ü5ØVÜ 5ØeÜ5ØVÜ 5ØQÜ5ØeÜ
5ØQÜ5ØeÜ3
( )
5ØGÜ1 5ØeÜ1 = -75ØeÜ1 + 5Ø6Ü1
( )
5ØGÜ2 5ØeÜ2 = 5Ø6Ü2
( )
5ØGÜ3 5ØeÜ3 = 5Ø6Ü3
( )
5ØGÜ4 5ØeÜ4 = 5Ø6Ü4
3. Moment zginajÄ…cy:
5ØQÜ25ØdÜ
( ) ( ) ( )
5Ø8Ü5Ø=Ü = -5Ø@Ü5ØVÜ 5ØeÜ5ØVÜ , 5Ø@Ü5ØVÜ 5ØeÜ5ØVÜ = +" 5ØGÜ5ØVÜ 5ØeÜ5ØVÜ 5ØQÜ5ØeÜ
5ØQÜ5ØeÜ2
7
2
( )
5Ø@Ü1 5ØeÜ1 = - 5ØeÜ1 + 5Ø6Ü15ØeÜ1 + 5Ø7Ü1
2
( )
5Ø@Ü2 5ØeÜ2 = 5Ø6Ü25ØeÜ2 + 5Ø7Ü2
( )
5Ø@Ü3 5ØeÜ3 = 5Ø6Ü35ØeÜ3 + 5Ø7Ü3
( )
5Ø@Ü4 5ØeÜ4 = 5Ø6Ü45ØeÜ4 + 5Ø7Ü4
4. KÄ…t obrotu:
5ØQÜ5ØdÜ
( ) ( ) ( )
5Ø8Ü5Ø=Ü = 5Øß5ØVÜ 5ØeÜ5ØVÜ , 5Øß5ØVÜ 5ØeÜ5ØVÜ = +" -5Ø@Ü5ØVÜ 5ØeÜ5ØVÜ 5ØQÜ5ØeÜ
5ØQÜ5ØeÜ
7 1
3 2
( )
5Øß1 5ØeÜ1 = 5ØeÜ1 - 5Ø6Ü15ØeÜ1 - 5Ø7Ü15ØeÜ1 + 5Ø8Ü1
6 2
1
2
( )
5Øß2 5ØeÜ2 = - 5Ø6Ü25ØeÜ2 - 5Ø7Ü25ØeÜ2 + 5Ø8Ü2
2
1
2
( )
5Øß3 5ØeÜ3 = - 5Ø6Ü35ØeÜ3 - 5Ø7Ü35ØeÜ3 + 5Ø8Ü3
2
1
2
( )
5Øß4 5ØeÜ4 = - 5Ø6Ü45ØeÜ4 - 5Ø7Ü45ØeÜ4 + 5Ø8Ü4
2
5. Linia ugięcie:
( ) ( )
5Ø8Ü5Ø=Ü " 5ØdÜ5ØVÜ 5ØeÜ5ØVÜ = +" 5Øß5ØVÜ 5ØeÜ5ØVÜ 5ØQÜ5ØeÜ
7 1 1
4 3 2
( )
5ØdÜ1 5ØeÜ1 = 5ØeÜ1 - 5Ø6Ü15ØeÜ1 - 5Ø7Ü15ØeÜ1 + 5Ø8Ü15ØeÜ1 + 5Ø9Ü1
24 6 2
1 1
3 2
( )
5ØdÜ2 5ØeÜ2 = - 5Ø6Ü25ØeÜ2 - 5Ø7Ü25ØeÜ2 + 5Ø8Ü25ØeÜ2 + 5Ø9Ü2
6 2
1 1
3 2
( )
5ØdÜ3 5ØeÜ3 = - 5Ø6Ü35ØeÜ3 - 5Ø7Ü35ØeÜ3 + 5Ø8Ü35ØeÜ3 + 5Ø9Ü3
6 2
1 1
3 2
( )
5ØdÜ4 5ØeÜ4 = - 5Ø6Ü45ØeÜ4 - 5Ø7Ü45ØeÜ4 + 5Ø8Ü45ØeÜ4 + 5Ø9Ü4
6 2
II. Określenie warunków brzegowych:
( )
1. 5Ø@Ü1 0 = 0 5Ø7Ü1 = 0 5Ø7Ü1 = 0
( )
2. 5ØdÜ1 0 = 0 5Ø9Ü1 = 0 5Ø9Ü1 = 0
7
( )
3. 5Ø@Ü1 6 = 0 65Ø6Ü1 + 5Ø7Ü1 = 126
- " 62 + 5Ø6Ü1 " 6 + 5Ø7Ü1 = 0
2
( )
4. 5Ø@Ü2 0 = 0 5Ø7Ü2 = 0 5Ø7Ü2 = 0
( ) ( )
5. 5ØGÜ1 6 = 5ØGÜ2 0 -7 " 6 + 5Ø6Ü1 = 5Ø6Ü2 5Ø6Ü1 - 5Ø6Ü2 = 42
7 1 1
( ) ( )
6. 5ØdÜ1 6 = 5ØdÜ2 0 -365Ø6Ü1 - 185Ø7Ü1 + 65Ø8Ü1 + 5Ø9Ü1 - 5Ø9Ü2 = -378
64 - 5Ø6Ü1 " 63 - 5Ø7Ü1 " 62 + 5Ø8Ü1 " 6 + 5Ø9Ü1 = 5Ø9Ü2
24 6 2
( ) ( )
7. 5Ø@Ü2 2 = 5Ø@Ü3 0 5Ø6Ü2 " 2 + 5Ø7Ü2 = 5Ø7Ü3 25Ø6Ü2 + 5Ø7Ü2 - 5Ø7Ü3 = 0
1
( ) ( )
8. 5Øß2 2 = 5Øß3 0 -25Ø6Ü2 - 25Ø7Ü2 + 5Ø8Ü2 - 5Ø8Ü3 = 0
- 5Ø6Ü2 " 22 - 5Ø7Ü2 " 2 + 5Ø8Ü2 = 5Ø8Ü3
2
1 1 8
( )
9. 5ØdÜ2 2 = 0
- 5Ø6Ü2 " 23 - 5Ø7Ü2 " 22 + 5Ø8Ü2 " 2 + 5Ø9Ü2 = 0 - 5Ø6Ü2 - 25Ø7Ü2 + 25Ø8Ü2 + 5Ø9Ü2 = 0
6 2 6
( )
10. 5ØdÜ3 0 = 0 5Ø9Ü3 = 0 5Ø9Ü3 = 0
( ) ( )
11. 5ØGÜ3 5 = 5ØGÜ4 0 + 15 5Ø6Ü3 = 5Ø6Ü4 + 15 5Ø6Ü3 - 5Ø6Ü4 = 15
( ) ( )
12. 5Ø@Ü3 5 = 5Ø@Ü4 0 5Ø6Ü3 " 5 + 5Ø7Ü3 = 5Ø7Ü4 55Ø6Ü3 + 5Ø7Ü3 - 5Ø7Ü4 = 0
1 25
( ) ( )
13. 5Øß3 5 = 5Øß4 0
- 5Ø6Ü3 " 52 - 5Ø7Ü3 " 5 + 5Ø8Ü3 = 5Ø8Ü4 - 5Ø6Ü3 - 55Ø7Ü3 + 5Ø8Ü3 - 5Ø8Ü4 = 0
2 2
1 1 125 25
( ) ( )
14. 5ØdÜ3 5 = 5ØdÜ4 0
- 5Ø6Ü3 " 53 - 5Ø7Ü3 " 52 + 5Ø8Ü3 " 5 + 5Ø9Ü3 = 5Ø9Ü4 - 5Ø6Ü3 - 5Ø7Ü3 + 55Ø8Ü3 + 5Ø9Ü3 - 5Ø9Ü4 = 0
6 2 6 2
( )
15. 5Ø@Ü4 4 = 0 5Ø6Ü4 " 4 + 5Ø7Ü4 = 0 45Ø6Ü4 + 5Ø7Ü4 = 0
1 1 64
( )
16. 5ØdÜ4 4 = 0
- 5Ø6Ü4 " 43 - 5Ø7Ü4 " 42 + 5Ø8Ü4 " 4 + 5Ø9Ü4 = 0 - 5Ø6Ü4 - 85Ø7Ü4 + 45Ø8Ü4 + 5Ø9Ü4 = 0
6 2 6
III. Obliczeniu układu równań wyznaczenie stałych całkowania (program Matlab).
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]-1 [ ]
5ØCÜ " 5ØKÜ = 5ØDÜ , wyznaczamy 5ØKÜ = 5ØCÜ " 5ØDÜ
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5Ø6Ü1
6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5Ø7Ü1 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5Ø8Ü1 126
1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5Ø9Ü1 0
-36 -18 6 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0
5Ø6Ü2 42
0 0 0 0 2 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0
5Ø7Ü2 -378
0 0 0 0 -2 -2 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0
8
5Ø8Ü2
0
0 0 0 0 - -2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0
5Ø9Ü2
0
[ ] , 5ØKÜ = , 5ØDÜ =
5ØCÜ = 0 0 0 0 06 [ ]
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 5Ø6Ü3 [ ]
0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 5Ø7Ü3
0
0 0 0 0 0 0 0 0 5 1 0 0 0 -1 0 0 5Ø8Ü3
15
25
5Ø9Ü3 0
0 0 0 0 0 0 0 0 - -5 1 0 0 0 -1 0
2 5Ø6Ü4 0
125 25
0
0 0 0 0 0 0 0 0 - - 5 1 0 0 0 -1 5Ø7Ü4 0
5Ø8Ü4
6 2
[ ]
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 0 0 0
[5Ø9Ü4]
64
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - -8 4 1
[ ]
26
IV. Wyznaczenie punktów i obliczenie ugięć
(potrzebnych do narysowania linii ugięcia belki).
Charakterystyka materiałowo geometryczna
(stal; dwuteownik zwykły I200):
5ØAÜ 5ØXÜ5ØAÜ
5Ø8Ü = 2105Ø:Ü5ØCÜ5ØNÜ = 210 " 109 = ï"
[ ]
} , 5Ø8Ü5Ø=Ü = ï" 5ØWÜ5ØRÜ5ØQÜ5Ø[Ü5Ø\Ü5Ø`Ü5ØaÜ5ØXÜ5ØNÜ 5ØXÜ5ØAÜ 5ØVÜ 5ØZÜ
5ØZÜ2 5ØZÜ2
5Ø=Ü = 21405ØPÜ5ØZÜ4 = ï" 5ØZÜ4
1
4 3
( ) ( )
·ð 5ØdÜ1 5ØeÜ1 = 0,295ØeÜ1 - 3,55ØeÜ1 + 90,265ØeÜ1
5Ø8Ü5Ø=Ü
Wyznaczone stałe całkowania:
( )
5ØdÜ1 0 = 0,0 5ØZÜ
( )
5ØdÜ1 1 = 0,019 5ØZÜ
5Ø6Ü1 21,00
( )
5ØdÜ1 2 = 0,035 5ØZÜ
5Ø7Ü1 0,00
( )
5ØdÜ1 3 = 0,044 5ØZÜ
5Ø8Ü1 90,26
( )
5ØdÜ1 4 = 0,047 5ØZÜ
5Ø9Ü1 0,00
( )
5ØdÜ1 5 = 0,043 5ØZÜ
5Ø6Ü2 -21,00
( )
5ØdÜ1 6 = 0,036 5ØZÜ
5Ø7Ü2
0,00
5Ø8Ü2 -95,78
5Ø9Ü2
163,56
5Ø6Ü3 =
11,33
1
3
( ) ( )
·ð 5ØdÜ2 5ØeÜ2 = 3,55ØeÜ2 - 95,785ØeÜ2 + 163,56
5Ø7Ü3 -42,00
5Ø8Ü5Ø=Ü
( )
5Ø8Ü3 -53,78 5ØdÜ2 0 = 0,036 5ØZÜ
( )
5Ø9Ü3 0,00 5ØdÜ2 0,5 = 0,026 5ØZÜ
5Ø6Ü4 -3,67 ( )
5ØdÜ2 1 = 0,016 5ØZÜ
14,67 ( )
5Ø7Ü4 5ØdÜ2 1,5 = 0,007 5ØZÜ
14,56 ( )
5ØdÜ2 2 = 0,000 5ØZÜ
5Ø8Ü4
{ }
20,00
{5Ø9Ü4}
1
3 2
( ) (-1,895ØeÜ3 + 215ØeÜ3 - 53,785ØeÜ3
·ð 5ØdÜ3 5ØeÜ3 = )
5Ø8Ü5Ø=Ü
( )
5ØdÜ3 0 = 0,000 5ØZÜ
( )
5ØdÜ3 1 = -0,0077 5ØZÜ
( )
5ØdÜ3 2 = -0,0086 5ØZÜ
( )
5ØdÜ3 3 = -0,0052 5ØZÜ
( )
5ØdÜ3 4 = -0,00002 E" 0 5ØZÜ
( )
5ØdÜ3 4,5 = 0,004 5ØZÜ
( )
5ØdÜ3 5 = 0,0044 5ØZÜ
<< Zmiana znaku na wykresie, obliczany dla jakiego x3 ugięcie jest równe zero >>
3 2
(-1,895ØeÜ3 )
-1,895ØeÜ3 + 215ØeÜ3 - 53,785ØeÜ3 = 5ØeÜ3 2 + 215ØeÜ3 - 53,78 = 0 " 5ØeÜ3 = 4,00 5ØZÜ
1
3 2
( ) ( )
·ð 5ØdÜ4 5ØeÜ4 = 0,615ØeÜ4 - 7,335ØeÜ4 + 14,565ØeÜ4 + 20
5Ø8Ü5Ø=Ü
( )
5ØdÜ4 0 = 0,0045 5ØZÜ
( )
5ØdÜ4 1 = 0,0062 5ØZÜ
( )
5ØdÜ4 2 = 0,0055 5ØZÜ
( )
5ØdÜ4 3 = 0,0032 5ØZÜ
( )
5ØdÜ4 4 = 0,0 5ØZÜ
<< Dla każdego przedziału obliczamy ugięcie w min. 5 punktach:
początek + koniec przedziału + min. 3 punkty w środku
(dla L<1m można policzyć 2 pkt. w środku)! >>
V. Narysowanie linii ugięcia belki.
<< Na czystej kartce duży, czytelny i odpowiednio opisany rysunek >>
VI. Sprawdzenie poprawności otrzymanej linii ugięcia w programie RM-win.
WIELKOÅšCI PRZEKROJOWE (I200):
Nr. A[cm2] Ix[cm4] Iy[cm4] Wg[cm3] Wd[cm3] h[cm] Materiał:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 33,5 2140 117 214 214 20,0 2Stal St3
STAAE MATERIAAOWE:
Materiał: Moduł E: Napręż.gr.: AlfaT:
[N/mm2] [N/mm2] [1/K]
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 Stal St3 205000 215,000 1,20E-05
OBCIŻENIA:
15,0
7,0 7,0
1 2 3
W Y N I K I
PRZEMIESZCZENIA WZAÓW: T.I rzędu
Węzeł: Ux[m]: Uy[m]: Wypadkowe[m]: Fi[rad] ([deg]):
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 0,00000 -0,00000 0,00000 -0,02057 (-1,179)
2 0,00000 -0,03728 0,03728
3 0,00000 -0,00000 0,00000 0,01226 (0,702)
4 0,00000 -0,00000 0,00000 0,00337 (0,193)
PRZEMIESZCZENIA:
VII. Sprawdzenie poprawności otrzymanej linii ugięcia w programie Robot.
WIELKOÅšCI PRZEKROJOWE (IN 200):
HY=9,0, HZ=20,0 [cm]
AX=33,40 [cm2]
IX=14,60, IY=2140,00, IZ=117,00 [cm4]
Materiał=STAL
STAAE MATERIAAOWE:
MateriaÅ‚ E (MPa) G (MPa) NI LX (1/°C) CW (kN/m3) Re (MPa)
STAL 205000,00 80000,00 0,30 0,00 77,01 215,00
OBCIŻENIA:
PRZEMIESZCZENIA:
VIII. Wnioski.
1. Jak wyglÄ…dajÄ… obliczenia?
Porównanie 3 metod obliczenia ugięć belki (analityczna, RM-win oraz Robot). Jakie są ich
plusy i minusy, która była najlepsza, a która najmniej przyjazna?
2. Jak wyglądają ugięcia?
Porównanie wyników otrzymanych w Robocie, RM-winie oraz obliczeń analitycznych. Ile
jest % różnicy między wynikami, skąd może ona wynikać? Co z dokładnością obliczeń?