MMF 1  Egzamin pisemny FM + FT + IS  29.01.2009
1. (3+1 pkt) Znajdz
wszystkie pierwiastki równania
z4 + (1 - i)z2 - i = 0
Każdy z pierwiastków przedstaw w każdej z trzech postaci liczby zespolonej:
algebraicznej, trygonometrycznej i wyk
ladniczej. Nastepnie wykorzystujac naj-
Ä… Ä…
4 4
dogodniejsza postać oblicz zk oraz zk gdzie zk to znalezione wcześniej
Ä…
k=1 k=1
pierwiastki. Ostatnie dwa wyniki przedstaw w postaci algebraicznej.
2. (1+2+2 pkt) Dana jest macierz
îÅ‚ Å‚Å‚
1 + i i 1 - i
ïÅ‚ śł
A = i i 0 ûÅ‚
ðÅ‚
1 + i 0 1
a) Oblicz wyznacznik det A metoda rozwiniecia Laplace a,
Ä… Ä…
b) Znajdz
macierz odwrotna A-1 metoda Gaussa,
Ä… Ä…
c) Znajdz
macierz odwrotna A-1 metoda dope algebraicznych.
lnień
Ä… Ä…
3. (3+2 pkt) Podaj liczbe rozwiazań uk równań w zależności od wartości para-
ladu
Ä… Ä…
metru a. W przypadkach kiedy istnieja rozwiazania znajdz
je.
Ä… Ä…
ax - 2y + az = -1
x + ay + az = 4
2x - y + (a + 1)z = 3
4. (2+3+1 pkt) Prosze znalez
ć wartości w i wektory w macierzy
lasne lasne
Ä…
îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 1 i
ïÅ‚ śł
1 0 1 i
ïÅ‚ śł
B = ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
1 1 0 i
-i -i -i 0
Nastepnie prosze wybrać cztery ortonormalne wektory w (jeśli trzeba to za-
lasne
Ä… Ä…
stosuj do wybranych wektorów metode ortonormalizacji Grama-Schmidta) oraz
Ä…
zbudować z nich unitarna macierz U diagonalizujaca macierz B poprzez trans-
Ä… Ä… Ä…
formacje podobieÅ„stwa U BU = › i podać jawna postać macierzy ›.
Ä… Ä…