Ć w i c z e n i e 8
WYZNACZANIE WSPÓA
CZYNNIKA LEPKOÅšCI CIECZY
METOD
STOKESA
8.1 Opis teoretyczny
Przepływ cieczy rzeczywistej charakteryzuje zawsze pewien poślizg jej warstewek. Gdy na przy-
kład ciecz spływa po nachylonej gładkiej powierzchni, to jej warstewki znajdujące się blisko dna
płyną wolniej niż warstewki znajdujące się bliżej jej powierzchni (rys 8.1). Najszybciej porusza się
warstwa powierzchniowa cieczy, natomiast warstwa przylegająca bezpośrednio do dna nie porusza
siÄ™ wcale.
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
Rys.8.1. Poślizg powierzchni wewnętrznych cieczy przy jej przepływie
Ponieważ w cieczach rzeczywistych istnieją siły międzycząsteczkowe (siły van der Waalsa) więc
takim poślizgom towarzyszy opór poślizgu zwany tarciem wewnętrznym lub oporem lepkości.
Opór lepkości cieczy występuje nie tylko przy ruchu cieczy względem nieruchomych ścianek, jak
np. przy przepływie przez rurki, ale również przy ruchu ciała względem nieruchomej cieczy. Ten
drugi przypadek jest przedmiotem omawianego ćwiczenia. Każde ciało poruszające się w cieczy
pociąga za sobą, dzięki istnieniu sił międzycząsteczkowych, sąsiadujące z nim warstewki. Zobra-
zować to można na przykładzie kulki poruszającej się w cieczy. Kulka unosi ze sobą warstwę przy-
legającego płynu, a ten na skutek zjawiska tarcia wewnętrznego wprawia w ruch następne warstwy.
W ogólnym przypadku siła oporu FT jaką płyn stawia poruszającemu się ciału jest proporcjonalna
do wielkoÅ›ci ciaÅ‚a i zależy od jego ksztaÅ‚tu, prÄ™dkoÅ›ci ruchu kulki V oraz od współczynnika ·
określającego lepkość ośrodka, w którym odbywa się ruch. Zależność tę można wyrazić wzorem:
r r
FT = - k a · V (8.1)
gdzie: k  współczynnik proporcjonalności zależny od kształtu ciała, a  wielkość charakteryzująca
wymiary ciała.
We wzorze pojawia się minus, gdyż siła oporu skierowana jest przeciwnie niż wektor prędkości
ciała.
W przypadku ciała o kształcie kuli o promieniu r powyższy wzór przyjmuje postać:
r r
FT = - 6 Ä„ r · V (8.2)
Zależności wyrażone równaniami (8.1) i (8.2) noszą nazwę prawa Stokesa. Zasadnicze cechy tego
prawa to proporcjonalność oporu lepkości do prędkości ruchu V.
Wzór (8.2) jest słuszny, gdy kulka porusza się w nieograniczonej objętości cieczy. W przypadku,
gdy ruch kulki odbywa się wzdłuż osi cylindra o wewnętrznym promieniu R, pojawia się dodatko-
we hamowanie ruchu kulki na wskutek zachodzenia dodatkowego tarcia poruszajÄ…cych siÄ™ warstw
cieczy (pociąganych przez kulkę) o nie poruszającą się warstwę cieczy zwilżającą cylinder. Im
ścianka cylindra znajduje się bliżej poruszającej się kulki, tym efekt ten jest silniejszy. Zależy on od
stosunku promieni r/R . Po uwzględnieniu tej poprawki wzór (8.2) przyjmuje postać:
r r
r
ëÅ‚1 öÅ‚
FT = - 6 Ä„ r · V + 2,4 (8.3)
ìÅ‚ ÷Å‚
R
íÅ‚ Å‚Å‚
Ponieważ gÄ™stość materiaÅ‚u kulki Á jest wiÄ™ksza od gÄ™stoÅ›ci cieczy ÁC , w ćwiczeniu obserwu-
K
jemy opadanie kulki zanurzonej w cieczy w polu grawitacyjnym Ziemi.
Na kulkę podczas jej ruchu działają trzy siły:
1) siła ciężkości kulki skierowana w dół
r
4
FG = Ä„ r3 ÁK (8.4)
3
2) siła wyporu cieczy skierowana do góry
r
4
FW = Ä„ r3 ÁC (8.5)
3
3) siła Stokesa wyrażona wzorem (8.3) i skierowana przeciwnie do ruchu kulki, a więc ku
górze.
Siła wypadkowa działająca na kulką jest sumą powyższych sił:
r r r r
F = FG + FW + FT (8.6)
Uwzględniając wyrażenia (8.3), (8.4) i (8.5) oraz kierunki działania sił można zapisać wzór na war-
tość bezwzględną siły wypadkowej w postaci:
4 r
ëÅ‚1 öÅ‚
F = Ä„ r3g ( ÁK - ÁC ) - 6 Ä„ r · V + 2,4 (8.7)
ìÅ‚ ÷Å‚
3 R
íÅ‚ Å‚Å‚
Dla prędkości V = 0 jest ona największa. Pod jej działaniem kulka będzie opadać coraz szybciej.
Ale ponieważ w miarę wzrostu prędkości siła F maleje, w pewnym monęcie ustali się osiągnie ona
wartość zera i od tej chwili kulka porusza się już ruchem jednostajnym (ze stałą prędkością zwaną
dalej graniczną Vgr) . Kładąc we wzorze (8.7) F = 0 po przekształceniach otrzymujemy:
2 r2 g ( ÁK - ÁC )
· = (8.8)
r
ëÅ‚1 öÅ‚
9 + 2,4 Vgr
ìÅ‚ ÷Å‚
R
íÅ‚ Å‚Å‚
Vgr można łatwo wyznaczyć przez pomiar czasu opadania kulki t na określonej drodze L w czasie
L
jej ruchu jednostajnego: Vgr = co daje końcowo wyrażenie:
t
2 r2t g ( ÁK - ÁC )
· = (8.9)
r
ëÅ‚1 öÅ‚
9 L + 2,4
ìÅ‚ ÷Å‚
R
íÅ‚ Å‚Å‚
Wyznaczanie współczynnika lepkości metodą Stokesa polega na bezpośrednim pomiarze wszyst-
kich wielkości występujących po prawej stronie powyższego wzoru.
8.2 Opis układu pomiarowego
PrzyrzÄ…d do pomiaru · skÅ‚ada siÄ™ ze szklanego cylindra napeÅ‚nionego badanÄ… cieczÄ…, na którym
znajdują się dwa poziome paski położone w odległości L jeden od drugiego. Górny pasek musi być
umieszczony w wystarczająco dużej odległości od powierzchni cieczy, aby zagwarantować jedno-
stajny ruch kulki. Odległość między paskami mierzy się przymiarem metrowym, a czas opadania
kulki  stoperem. W ćwiczeniu używamy kulek ołowianych ( śrutu ), których średnicę mierzy się
śrubą mikrometryczną. Po przeliczeniu średnicy na promień r , kulkę należy wrzucić do cylindra w
celu wykonania pomiaru czasu t.
Dane do ćwiczenia: R = 50ą1 mm
Á = 1,23 g / cm3
gliceryny
Á = 0,86 g / cm3
parafiny
ÁPb = 11,3 g / cm3
L = 100,0 Ä… 0,2 cm
8.3. Przebieg pomiarów
1. Śrubą mikrometryczną zmierzyć średnicę kulki ołowianej {aby nie deformować kulek, nie nale-
ży ich mocno ściskać).
2. Wrzucić kulkę do cylindra nie dotykając lejka, który jest wstawiony, aby nadać kulce odpo-
wiedni kierunek ( tor kulki powinien pokrywać się z osią cylindra).
3. Zmierzyć czas opadania kulki między dwoma paskami (należy tak patrzeć na krawędz
paska,
aby uniknąć błędu paralaksy).
4. Pomiary wedÅ‚ug pkt. 1 ÷ 3 wykonać przynajmniej dla 10 kulek
5. Pomiary wedÅ‚ug pkt. 1 ÷ 4 powtórzyć dla drugiej cieczy.
8.4. Opracowanie wyników pomiarów.
1. Korzystając ze wzoru (8.9) obliczyć współczynnik lepkości dla każdej pary wyników: promień
kulki  czas jej spadku w cieczy.
2. Obliczyć wartość średnią otrzymanych wyników współczynnika lepkości i jej średni błąd kwa-
dratowy.
3. Punkty 1 ÷ 2 powtórzyć dla drugiej cieczy.
4. Otrzymane rezultaty porównać z wartościami tablicowymi i wyciągnąć odpowiednie wnioski.
8.5. Pytania kontrolne
1. Co nazywamy lepkością cieczy i jaki jest jej powód?.
2. Sformułować i wyrazić wzorem prawo Stokesa.
3. Jakie warunki muszą być spełnione, aby przedstawiona teoria ruchu ciała w ośrodku ciągłym
była słuszna?.
L i t e r a t u r a
[1] Dryński. T.: Ćwiczenia laboratoryjne PWN, Warszawa 1976.
[2] Massalski J.M.: Fizyka dla inżynierów, cz.2, WNT, Warszawa 1975.
[3] Jaworska B., Dietław A., Miłkowska L., Siergiejew G.: Kurs Fizyki tom I Mechanika,
Podstawy fizyki czÄ…steczkowej i termodynamiki, PWN, Warszawa 1974.