Katedra Mechaniki Konstrukcji Strona
Politechniki Białostockiej 1
Mechanika teoretyczna
Zadanie nr 3
W tym zadaniu naszym celem jest wyznaczenie sił w prętach kratownicy płaskiej.
Wiadomości ogólne
1) Co to jest kratownica ???
Def.:
Kratownicą nazywamy układ zło\
ony z prętów prostych*, połączonych między sobą
w węzłach przegubowo (przegubami bez tarcia), obcią\
ony siłami skupionymi w przegubach;
siły przekrojowe w prętach kratownicy redukują się do stałej siły podłu\
nej.
* prętem nazywamy element, którego jeden wymiar (długość) jest znacznie większy od
pozostałych (grubość i szerokość).
Pręty zewnętrzne ograniczające kratownice od góry nazywamy pasem górnym (rys. 1 
czerwone), pręty ograniczające kratownice od dołu  pasem dolnym (rys. 1  zielone). Pręty
pionowe łączące oba pasy nazywamy słupkami (rys. 1  niebieskie), ukośne krzy\
ulcami
(rys. 1  pomarańczowe).
Rys. 1. Kratownica.
Obcią\
enia zewnętrzne przekazuje się na kratownice w postaci sił skupionych
przyło\
onych w jej węzłach i działających w płaszczyz
nie kratownicy (w przypadku
kratownic płaskich). Równie\
cię\
ar własny kratownicy zastępuje się siłami skupionymi,
przyło\
onymi w jej węzłach.
2) Sprawdzenie stopnia statycznej niewyznaczalności kratownicy
Sprawdzenie stopnia statycznej wyznaczalności kratownicy dokonujemy wzorem
ns = r + p - 2w
gdzie: ns  stopień statycznej niewyznaczalności,
r  liczba prętów reakcyjnych (reakcji podporowych),
p  liczba prętów prostych kratownicy,
w  liczba węzłów kratownicy.
Dla kratownicy przedstawionej na rys. 1 stopień ten wynosi
ns = 3 + 13 - 2 �" 8 = 0 ,
gdzie r = 3, p = 13 (4 pręty pasa górnego, 4 pręty pasa dolnego, 3 słupki, 2 krzy\
ulce), w = 8.
Katedra Mechaniki Konstrukcji Strona
Politechniki Białostockiej 2
3) Pręty zerowe
W kratownicy mogą występować pręty, w których pod danym obcią\
eniem siły
podłu\
ne są równe zero, pręty te nazywamy prętami zerowymi.
Zasady określania tych prętów są następujące:
a) jeśli w węz
le schodzą się dwa pręty pod pewnym kątem ą i węzeł jest nieobcią\
ony siłą
zewnętrzną, to siły przekrojowe w obu prętach są równe zeru (rys. 2a),
b) jeśli w węz
le schodzą się dwa pręty i węzeł jest obcią\
ony siłą zewnętrzną, równoległa do
jednego z nich, to w drugim pręcie siła przekrojowa jest równa zero (rys. 2b),
c) jeśli w węz
le schodzą się trzy pręty, z których dwa są równoległe i węzeł jest
nieobcią\
ony siłą zewnętrzną, to siła przekrojowa w pręcie trzecim jest równa zero
(rys. 2c).
a) b) c)
P
N1 N1 N1 N2
ą
N N N3
2 2
Rys. 2.
4) Metody rozwiązywania kratownic
Metody rozwiązywania kratownic
analityczne wykreślne
metody wyznaczające
metoda równowa\
enia
plan sił Cremony
siły w całej kratownicy
węzłów
metody wyznaczające
metoda Culmanna
metoda Rittera
siły w wybranych prętach
4a) Metoda równowa\
enia węzłów
Metoda ta polega na wypisywaniu równań równowagi dla ka\
dego myślowo
wyciętego węzła kratownicy.
Postępowanie:
1) Z równań równowagi wyznaczenie składowych reakcji podporowych,
2) W poszczególnych myślowo wyciętych węzłach kratownicy zapisuje się dwa równania
równowagi: ŁX = 0, ŁY = 0. W tym celu w węz
le zakłada się odpowiednie zwroty sił w
poszczególnych prętach,
3) Z zapisanych równań równowagi wyznacza się siły we wszystkich prętach kratownicy.
Rozwiązywanie najlepiej zacząć od węzła, w którym zbiegają się tylko dwa pręty
o nieznanych siłach, a następnie rozpatrywać kolejne węzły spełniające ten warunek.
Katedra Mechaniki Konstrukcji Strona
Politechniki Białostockiej 3
4b) Metoda Rittera (metoda przekrojów)
Metoda Rittera, podobnie jak metoda równowa\
enia węzłów jest sposobem analitycznym,
polega ona na wykorzystaniu twierdzenia o równowadze układu sił zewnętrznych
i wewnętrznych przyło\
onych do jednej części kratownicy. Analitycznych równań równowagi
mamy trzy, jeśli więc kratownice przetniemy przez nie więcej ni\
trzy pręty, to z równań
równowagi mo\
emy wyliczyć szukane siły przekrojowe. Metoda ta jest wygodniejsza
w przypadku, jeśli poszukiwane są siły w konkretnych prętach kratownicy.
Postępowanie:
1) Z równań równowagi wyznaczenie składowych reakcji podporowych,
2) Przeprowadza się przekrój ą-ą przez trzy pręty kratownicy nie zbiegające się w jednym
punkcie, w tym przez pręt (lub pręty), w których siłę chcemy wyznaczyć. Część
kratownicy oddzielona przekrojem ą-ą znajduje się w równowadze pod działaniem sił
zewnętrznych, składowych reakcji podpór oraz sił w prętach, przez które poprowadzono
przekrój (rys. 3b),
3) W odniesieniu do wydzielonej części kratownicy zapisuje się równania sumy momentów
wszystkich sił względem trzech punktów, w których przecinają się parami kierunki
poszukiwanych sił w prętach. Punkty te są nazywane punktami Rittera. Jeśli dwa
z prętów, przez które poprowadzono przekrój, są do siebie równoległe, to zapisuje się dwa
równania sumy momentów wszystkich sił działających na daną część kratownicy
względem punktów, w których trzeci pręt przecina się z prętami równoległymi, oraz
trzecie równanie sumy rzutów wszystkich sił na oś prostopadłą do prętów równoległych.
a)
ą
b)
ą
ą ą P
G
P
P
G
K
K
Ry
D D
ą
Rx Rx
ą
Rys. 3. Metoda Rittera
a) kratownica b) obie części kratownicy w równowadze
(na czerwono zaznaczono punkty Rittera)
Opracował: mgr in\
. Andrzej Leonczuk