WYKA
AD 6 16-11-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska
Definicja: Szereg liczbowy
{an}
Niech dany będzie ciąg Utwórzmy ciąg sum:
S1 =a1
S2 =a1 ƒÄ…a2
S =a1 ƒÄ…a2 ƒÄ…a3
3
...
Sn=a1 ƒÄ…a2 ƒÄ…a3 ƒÄ…...ƒÄ…an
{S } a1 ƒÄ…a2 ƒÄ…a3 ƒÄ…...ƒÄ…an
Ciąg nazywamy szeregiem liczbowym i oznaczamy lub krócej
n
"
a1 , a2 S1 , S
an liczby nazywamy wyrazami szeregu, a liczby sumami częściowymi
" 2
n=1
an Sn
szeregu. W szczególności wyraz nazywamy wyrazem ogólnym szeregu m a n-tą sumą
częściową.
Definicja: Zbieżność szeregu
"
Sn
Szereg an nazywamy zbieżnym jeżeli zbieżny jest ciąg sum częściowych Granicę
"
n=1
S=limn Śą" S
ciągu sum częściowych nazywamy sumą szeregu i zapisujemy:
n
"
S=a1 ƒÄ…a2 ƒÄ…a3 ƒÄ…...ƒÄ…an= an
"
n=1
Definicja: Twierdzenie o warunku koniecznym zbieżności szeregu
"
limn Śą " an=0
Jeżeli szereg an jest zbieżny to
"
n=1
Definicja: Zbieżność bezwzględna i warunkowa
"
Niech dany będzie szereg an o wyrazach dowolnych oraz szereg o wartościach
"
n=1
"
bezwzględnych #"an#" wówczas:
"
n=1
"
1. Jeżeli szereg wartości bezwzględnych jest zbieżny to i szereg an jest zbieżny.
"
n=1
"
Szereg an nazywamy wówczas szeregiem bezwzględnie zbieżnym
"
n=1
2. Szereg który jest zbieżny ale nie jest bezwzględnie zbieżny nazywamy szeregiem
warunkowo zbieżnym
Definicja: Twierdzenie o kryteriach ilorazowych (d'Alamberta)
"
Niech dany będzie szereg o wyrazach dowolnych an wówczas:
"
n=1
#"anƒÄ…1 #"
"
limn Śą " =g"ą1
1. Jeżeli to szereg an jest bezwzględnie zbieżny
"
n=1
#"an#"
#"anƒÄ…1 #"
"
limn Śą" =gą1
2. Jeżeli to szereg an jest rozbieżny
"
n=1
#"an#"
Definicja: Twierdzenie o kryteriach pierwiastkowych (Cauchy'ego)
1 WYKA
AD 6. 16-11-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska
"
Niech dany będzie szereg o wyrazach dowolnych an wówczas:
"
n=1
"
1. Jeżeli limn Śą " n #"an#"= g"ą1 to szereg an jest bezwzględnie zbieżny
ćą "
n=1
"
2. Jeżeli limn Śą" n n#"= gą1 to szereg an jest rozbieżny
"
ćą#"a
n=1
Definicja: Twierdzenie o kryteriach całkowych dla szeregów o wyrazach nieujemnych
n0 "N )#n0 , ƒÄ…"*#
f
Niech Jeżeli funkcja , określona w przedziale jest nieujemna, ciągła i
" "
f śąnźą
f śą xźą dx
nierosnąca, to całka oraz szereg " są jednocześnie zbieżne lub
+"
n=n0
n0
rozbieżne.
Definicja: Szereg harmoniczny (Dirichleta)
"
"
1
1
Szereg " nazywamy szeregiem harmonicznym. Szereg " nazywamy szeregiem
n=1
n=1
n
n·Ä…
·Ä…
harmonicznym rzędu i jest on:
1. zbieżny dla ·Ä…Ä…1
2. rozbieżny dla 0"Ä…·Ä…d"1
Definicja: Twierdzenie o kryteriach porównawczych
"
"
Niech dane będą szeregi
an i n=1 takie, że "n "nąn 0 d"and"bn wówczas:
bn
" " N
" 0 0
n=1
"
"
1. ze zbieżności szeregu
an
bn wynika zbieżność szeregu n=1
"
"
n=1
"
"
2. ze zbieżności szeregu
an wynika rozbieżność szeregu n=1
bn
"
"
n=1
2 WYKA
AD 6. 16-11-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska