ILOCZYN WEKTOROWY, MIESZANY
rð rð
rð rð
1 . Czy wektory a [1, 1,2, 2] , b [2,0,1,0] , c [3,5,0,10], d [0,1, 1,2] sÄ… liniowo
niezależne?
rð
rð rð
2. Dane sÄ… wektory a [1,1,0], b [1,0,1] , c [0,1,1] .
(a) Czy te wektory są liniowo niezależne?
rð
(b) Wyrazić wektor u [1,3, 1] jako kombinację liniową powyższych wektorów.
rð rð
rð rð
3. Dane sÄ… wektory a [1,2,3], b [ 1,3,2], c [2,12], d [5,2,6]. Znalez
ć liczby
rð rð
rð rð
k,l, m R , takie, by wektory ka , , mc , tworzyły łamaną zamkniętą.
lb d
rð
rð rð
4. Niech a [3,1,4], b [2, 3,2], c [1,5,2]
rð rð
rð rð rð rð
(a) Obliczyć iloczyny wektorowe a b, b c, a c .
rð
rð rð
(b) Czy wektory a, b, c leżą na jednej płaszczyz
nie?
rð
rð
(c) Obliczyć pole równoległoboku wyznaczonego przez wektory b i c .
5. Dane są punkty A (1,2,3) , B(1,1, a) , C ( 1,a,1) , D (2,2,4) . Dla jakiej wartości
a wektory , AC , tworzą wspólną płaszczyznę
AD
AB
6. Dane są punkty A (4,1, 2) , B (6,0,1) ,C (2,3, 2) . Obliczyć pole i obwód trójkąta ABC .
7. Dane sÄ… punkty A1 ( 1, 2,2) A2 (2, 1,4)
, , A3(3,1,1) .
(a) Sprawdzić, czy punkty te wyznaczają jednoznacznie płaszczyznę.
(b) Znalez
ć wektor prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez punkty A1, A2 , A3 .
(c) Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach A1, A2 , A3 .
(d) Obliczyć wysokość spuszczoną z wierzchołka .
A2
8. Dane są punkty A (1,1,1) , B (1,0,5) , C ( 1,6, 1) , D (2,1,2) . Obliczyć wysokość
równoległościanu rozpiętego na wektorach AB, AC, AD , spuszczoną z wierzchołka D
na płaszczyznę wyznaczoną przez wektory .
Odpowiedzi.
rð
rð rð rð
5 3 1
1. nie 2. (a) tak (b) u a b c 3 k 2, l 1, m 1, det G 5
2 2 2
rð rð
rð rð rð rð
4. (a) a b [14,2, 11], b c [ 16, 2,13], a c [ 18, 2,14] (b) nie (c) 429
5. a2 5a 6 0 ; a 2 lub a 3 6. pole 3 , obwód 2( 3 2 13)
1 1 10
7. (b) [ 7,11,5] lub [7, 11, 5] (c) 195 (d) 30 8. 2
2 2 7