################################################################################
Co to takiego fizyka matematyczna ?
W. S. WÅ‚adimirow
Tytuł oryginału :  'B> B0:>5 <0B5<0B8G5A:0O D878:0 ?
Instytut Matematyczny im. W. A. Steklowa RAN
Moskwa 2006
********************************************************************************
Tłumaczenie z rosyjskiego: R. Waligóra
Ostatnia modyfikacja : 2013-04-10
Tłumaczenie całości artykułu.
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Il libro della natura e scritto in lingua matematica  Galileo Galilei
Fizyka matematyczna (FM )  jest to teoria matematycznych modeli zjawisk fizycznych. Odnosi siÄ™ ona do nauk
matematycznych, kryterium prawdy w tej teorii  to dowód matematyczny. Jednakże, w odróżnieniu od nauk czysto
matematycznych, w FM badane sÄ… zagadnienia fizyczne na poziomie matematycznym, a wyniki przedstawiane sÄ… w
postaci twierdzeń, wykresów, tabel itp. i nadawane są im fizyczne interpretacje. Przy takim szerokim rozumieniu MF
należy do niej odnosić i takie rozdziały mechaniki, jak mechanika teoretyczna, hydrodynamika i teoria sprężystości.
Pierwotnie MF sprowadzała się do zagadnień brzegowych dla równań różniczkowych. Kierunek ten stanowi przedmiot
klasycznej fizyki matematycznej, który zachował swoje znaczenie również i w chwili obecnej.
Klasyczna FM rozpoczęła swój rozwój od czasów Newtona, równolegle z rozwijając się z fizyką i matematyką.
W końcu XVII wieku odkryto rachunek różniczkowy i całkowy ( I. Newton, G. W. Leibniz ) i sformułowano
podstawowe prawa mechaniki klasycznej oraz prawo powszechnego ciążenia ( I. Newton ). W XVIII wieku metody FM
rozpoczęły się formować przy badaniu drgań strun, prętów, wahadeł, jak również zagadnień związanych z akustyką i
hydrodynamikÄ…, fundowano podstawy mechaniki analitycznej ( d Alembert, Euler, Bernoulli, Lagrange, Gauss, Laplace )
W XIX wieku metody FM otrzymały nowy impuls rozwoju w związku z zagadnieniami przewodnictwa cieplnego,
dyfuzji, teorii sprężystości, optyki, elektrodynamiki, nieliniowych procesów falowych itp. ; zbudowana zostaje teoria
potencjału, teoria stabilności ruchu ( Fourier, Poisson, Boltzmann, Cauchy, Ostrogradski, Dirichlet, Maxwell, Riemann,
Kowalewska, Stokes, Kirchoff, Poincare, Lapunow, Steklow, Hilbert, Hadamar )
W wieku XX pojawiają się nowe zagadnienia dynamiki gazów, teorii transportu cząstek i fizyki plazmy.
Pośród różnorakich zagadnień klasycznej FM rozpatruje się następujące trzy typy najprostszych równań różniczkowych
 klasycznych równań FM.
1) Równanie Poissona ( przy f = 0  równanie Laplace a ) :
- "u = f , u = u(x) , x = ( x1, x2 , ... , xn ) "G ‚" Rn (1)
gdzie " - jest operatorem Laplace a :
" = "2/"x12 + "2/"x22 + ... + "2/"xn2
2) Równanie przewodnictwa cieplnego :
"u/"t = a2"u + f , u = u(x, t) , x " G ‚" Rn , t > 0 (2)
3) Równanie falowe (* niejednorodne równanie falowe *) :
"2u/"t2 = a2"u + f , u = u(x, t) , x " G ‚" Rn , t > 0 (3)
W równaniach (2) i (3) t oznacza czas.
Równania (2) i (3), nie zależne od czasu, nazywamy równaniami stacjonarnymi. Równania stacjonarne (2) i (3)
sprowadzają się do równania Poissona (1).
Równania różniczkowe dopełniane są odpowiednimi dla warunkami brzegowymi. Przykładami warunków brzegowych
sÄ… :
Dla równania (1)  warunki graniczne :
u |x"S = v(x) lub "u/"n |x"S = v1(x) (4)
gdzie S  brzeg obszaru G, n  wektor jednostkowy normalnej do S
określają odpowiednio - zagadnienie Dirichleta lub zagadnienie Neumanna ( rys. 1 )
Dla równania (2)  warunek początkowy :
u(x, 0) = u0(x) , x " Rn (5)
określa zagadnienie Cauchy ego.
1
Rys. 1
Dla równania (3)  warunki początkowe :
u(x, 0) = u0(x ) , "u/"t |t=0 = u1(x) , x " Rn (6)
określają zagadnienia Cauchy ego.
Dla równań (2) i (3) stawia się również zagadnienia mieszane, które zawierają zarówno warunki graniczne typu (4), jak i
warunki poczÄ…tkowe (5) lub (6). Å‚Ä…cznie warunki graniczne i warunki poczÄ…tkowe zadajÄ… warunki brzegowe. (rys. 2)
Rys. 2
Należy zauważyć, ze przy badaniu zagadnień brzegowych Dirichleta lub Neumanna użyteczną jest następująca
nierówność : jeśli obszar G jest ograniczony, S jest kawałkami gładką powierzchnią, a funkcja f jest jednokrotnie
różniczkowalna w domknięciu G- i spełnia jeden z warunków :
a) +" f dx = 0
G
lub
b) f | x"S = 0
to :
Odkrycie tej nierówność przypisuje się K. Friedrichs owi, chociaż przy n = 3 w przypadku a) została ona dowiedziona
przez A. Poincarego (1894 ), a w przypadku b) dowiódł ją W. A. Stiekłow (1896)
Podali oni również dokładne stałe całkowania : C(G) = 1/0 , 0 - najmniejsza wartość własna zagadnienia Neumanna w
przypadku a) i zagadnienia Dirichleta w przypadku b).
Zatem poprawniej byłoby nazwać tą nierówność  nierównością Poincare- Stiekłowa. W przypadku n = 1, nierówność ta
przyjmuje postać :
[zobacz 17]
Wraz z rozwojem mechaniki kwantowej i energetyki jądrowej pojawiły się nowe typy równań i zagadnień brzegowych
MF.
4) Równanie Schrödingera dla funkcji falowej È(x, t) :
ih "È/"t = - (h2/2m) "È + V(x)È (7)
x = ( x1 , x2 , x3 ), h - stała Plancka.
W tym przypadku stawiamy zagadnienie Cauchy ego.
Dla stacjonarnego równania Schrödingera :
- (h2/2m) "È + V(x)È = 0 (8)
warunkiem granicznym może być np. taki warunek :
È " L2(R3 ) (9)
2
odzwierciedlający zachowanie rozwiązania w nieskończoności.
5) Dla równania Helmholtza :
"È + k2È = -f(x)
stawiane są warunki w nieskończoności o postaci :
È(x) = exp( ik(a,x) ) + v(x) , | a | = 1 , | x | "
gdzie funkcja v(x) spełnia warunki promieniowania Sommerfelda :
v(x) = O( | x |-1 ) , "v(x)/" |x | - ikv(x) = O( | x |-1 ) , | x | " (10)
gdzie : | x | = sqrt( x12 + x22 + x32 )  długość euklidesowa wektora x ; ( a, x ) = a1x1 + a2x2 + a3x3 +  iloczyn
skalarny wektorów x i a ; a = ( a1, a2 , a3 )
6) jednoprędkościowe równanie transportu cząstek, dla rozpraszania izotropowego :
gdzie È(x, &!, t )  gÄ™stość czÄ…stek, lecÄ…cych z prÄ™dkoÅ›ciÄ… v w kierunku &! , | &! | = 1 w punkcie x = ( x1, x2 , x3 ) w
&!
&!
&!
chwili t.
W tym przypadku stawiamy zagadnienie Cauchy ego.
Dla stacjonarnego równania transportu cząstek :
warunek graniczny dla obszaru wypukłego może być następujący ( zobacz rys. 1 ) :
È |x"S = 0 przy ( &!, n ) < 0 (13)
które wyraża niewystępowanie nadbiegającego strumienia cząstek.
Zauważmy, że zagadnienie brzegowe (12)  (13) jest równoważne całkowemu równaniu Peierlsa :
dla średniej gęstości :
Podstawowymi narzędziami matematycznymi badania zagadnień klasycznej FM jest teoria równań różniczkowych i
całkowych, teoria funkcji i analiza funkcjonalna, rachunek wariacyjny, teoria prawdopodobieństwa, metody przybliżone i
teoria obliczeń numerycznych.
Pośród zagadnień MF wydzielić możemy ważną klasę zagadnień poprawnie postawionych według Hadamara tj.
zagadnień dla których istnieje rozwiązanie  jest ono przy tym jednoznacznie i w sposób ciągły zależy od wartości
parametrów danego zagadnienia. Chociaż takie wymagania na pierwszy wzgląd wydają się zupełnie naturalne, tym
niemniej należy je dowieść w ramach przyjętego modelu matematycznego. Dowód poprawności  jest to pierwszy krok
akceptacji modelu matematycznego : model jest niesprzeczny ( istnieje rozwiÄ…zanie ), model opisuje jednoznacznie
proces fizyczny ( rozwiązanie jest jednoznaczne ), model jest mało czuły ze względu na dokładność pomiaru wielkości
fizycznych wchodzących do niego ( rozwiązanie w sposób ciągły zależy od parametrów danego zagadnienia ).
Przykładowo, podane wcześniej zagadnienia brzegowe są postawione poprawnie.
W XX wieku pojawiają się nowe rozdziały fizyki : mechanika kwantowa (MQ), kwantowa teoria pola (KTP), kwantowa
fizyka statystyczna , teoria względności (STW) i grawitacja ( Poincare, Hilbert, Dirac, Einstein, Bogolubow , Fok,
Schrödinger, Weyl, Feynman, von Neumann, Heisenberg )
Dla badania nowych zjawisk, zbiór wykorzystywanych metod matematycznych znacznie się rozszerzył  wraz z
tradycyjnymi obszarami matematyki szeroko zaczęto stosować teorię operatorów, teorię funkcji uogólnionych, teorię
funkcji wielu zmiennych zespolonych, metody topologiczne i algebraiczne, teoriÄ™ liczb, analizÄ™ p-addycznÄ…, metody
asymptotyczne. Wraz z pojawieniem się komputerów istotnie rozszerzyła się klasa modeli matematycznych, poddających
się szczegółowej analizie, pojawiła się realna możliwość prowadzenia eksperymentów numerycznych np. modelowanie
wybuchu bomby atomowej lub pracy reaktora atomowego w czasie rzeczywistym.
W tym intensywnie oddziałującym ze sobą obszarze współczesnej fizyki teoretycznej i współczesnej matematyki
uformowała się nowa dziedzina  współczesna fizyka matematyczna. Jej modele nie zawsze sprowadzają się do
zagadnień brzegowych dla równań różniczkowych, są one często formułowane w postaci układu aksjomatów.
3
( W matematyce, a w szczególności w geometrii i teorii zbiorów, metoda aksjomatyczna już dawno była
wykorzystywana. Tak jak każdy układ aksjomatów, powinien być on niesprzeczny, niezależny, realizowalny fizycznie i
zupełny )
Taką tendencje rozwoju fizyki teoretycznej XX wieku dobrze rozumiał Dirac. Jeszcze w 1930 roku w swym znanym
artykule, w którym teoretycznie przewidział istnienie pozytonu, pisał :
 Wydaje się prawdopodobnym, że proces ciągłego abstrahowania będzie kontynuowany również w przyszłości i że
postęp fizyki powinien w większym stopniu opierać się na ciągłych modyfikacjach i uogólnieniach aksjomatów na
poziomie matematycznym .
Dalszy rozwój fizyki teoretycznej w pełni potwierdził przewidywania Diraca.
Wyraz
nym przykładem wprowadzenie i zastosowania metody aksjomatycznej w fizyce teoretycznej jest aksjomatyzacja
kwantowej teorii pola (KTP), po raz pierwszy zaproponowana przez N. N. Bogolubowa w latach 50-tych XX wieku.
Ważnym wówczas problemem był problem rozbieżności ultrafioletowych (UV) przy wykorzystaniu formalizmu
hamiltonowego. Bogolubow zaproponował nowe podejście do tego zagadnienia. Po pierwsze odszedł on od formalizmu
Hamiltona i przyjÄ…Å‚ za podstawÄ™ teoriÄ™ macierzy rozpraszania (macierzy S ), wprowadzonÄ… przez Heisenberga.
Bogolubow istotnie rozszerzył zbiór dopuszczalnych obiektów matematycznych  elementy macierzy rozpraszania
zakładano jako należące do klasy funkcji uogólnionych o wartościach operatorowych.
Przy tym wymaga się, aby macierz rozpraszania spełniała podstawowe postulaty fizyczne (aksjomaty ) :
- relatywistyczną kowariantność
- unitarność
- przyczynowość
- spektralność
N. N. Bogolubow rozpatrywał matematykę nie tylko jako narzędzie dla obliczeń, ale jako metodę otrzymywania nowych
wiadomości wynikających z kilku oczywistych postulatów ( aksjomatów ), jak mówią  odkryć na końcu pióra
( analogia z odkryciem planety Neptun w wyniku czystych obliczeń przeprowadzonych przez Adamsa i Le Verrier a,
odkrycie nowej cząstki za pomocą teorii grup, wyprowadzenie związków dyspersyjnych w KTP, dopuszczających
eksperymentalną weryfikacje ) Zaproponowany przez Bogolubowa układ aksjomatów KTP faktycznie umożliwił
postawienie pierwszych kroków ku rozwiązaniu VI problemu Hilberta :  Zaksjomatyzować te nauki fizyczne, w których
ważną rolę odgrywa matematyka .
Organiczne połączenie matematyki i fizyki jakie przejawiało się w naukowej twórczości N. N. Bogolubowa pozwoliło
mu faktycznie ufundować nowe podstawy współczesnej FM. Już w 1963 roku miał on całkowite podstawy
opublikowania następującego stwierdzenia :
 Podstawowe pojęcia i metody KTP stały się w pełni matematyczne .
Pełną ocenę tendencji we współczesnej teoretycznej i matematycznej fizyce sformułował on w programowym
wystąpieniu na otwarciu Międzynarodowego komitetu podstawowych problemów kwantowej teorii pola ( 1981 ) :
 Na naszych oczach w ostatnich latach uformowała się zupełnie nowa gałąz
nauki, którą najtrafniej można by nazwać
współczesna fizyką matematyczną. Posiada ona to samo pochodzenie genetyczne co klasyczna fizyka matematyczna ...
Fizycy przekonali się, że dla otrzymania rozsądnych odpowiedzi na zadawane przez siebie pytania powinni oni głębiej
poznać matematyczną naturę obiektów swych badań, takich jak funkcje uogólnione lub operatory nieograniczone, a
następnie stosować przyjęty standard dowodowej siły argumentacji.
W dalszej kolejności, aby wyswobodzić się od uciążliwej i niekiedy bezsensownej detalizacji, rozpoczęli wykorzystywać
aksjomatyczne sposoby budowy swych teorii. Wtedy to stało się oczywistym, że współczesne metody matematyczne
pozwalają w wielu przypadkach otrzymywać bardzo mocne wyniki...
Zwrócenie się fizyków ku metodom współczesnej matematyki i zainteresowanie matematyków zagadnieniami fizyki
kwantowej  są wzajemnie płodnymi przedsięwzięciami .
Jak wiemy termin  współczesna fizyka matematyczna N. N. Bogolubow wprowadził do użycia już w 1981 roku.
Obecnie możemy powiedzieć coś więcej  Fizyka teoretyczna, w coraz większym i większym stopniu staje się fizyką
matematycznÄ…
W badaniu zagadnień FM ważną rolę odgrywają funkcje uogólnione i ściśle z nim związana koncepcja rozwiązania
uogólnionego. W takiej lub innej postaci rozwiÄ…zania uogólnione i ´-funkcje wprowadzane byÅ‚y już w XIX wieku, w
pracach Kirchoffa, Maxwella, Heviside a. W latach 20-30 XX wieku pojęcia uogólnionej pochodnej ( typu funkcji ) i
uogólnionego rozwiązania równań różniczkowych spotykamy w różnych postaciach w pracach matematyków takich jak
np. Evans, Tonnelat, Mori, Friedrichs, Lere ). Jednakże już Euler w swojej fundamentalnej pracy  Integralrechnung
(1830) jawnie mówił o rozwiązaniu uogólnionym.
Otrzymując ogólne rozwiązanie równania falowego, opisującego małe drgania poprzeczne struny jednorodnej :
"2u/"t2 = a2 "2u/"x2 (14)
w postaci funkcji :
u(x, t) = f( x - at ) + g(x + at ) (15)
pisał on :
4
 W taki sposób ten przenikliwy człowiek ( Euler ma na uwadze d Alemberta ) otrzymał całkę zupełną, jednakże nie
zauważył, że w miejsce wprowadzonych funkcji ciągłych ( Euler ma na uwadze funkcje f i g ), można wziąć dowolne
funkcje, nawet nie mające własności ciągłości .
Zauważmy, że w czasie współczesnym Eulerowi pod pojęciem funkcji ciągłych rozumiano funkcje analityczne.
Zatem, postępując za Eulerem, powinniśmy przyjmować funkcje nieciągłą :
u(x, t ) = ½ [ H(x - at) + H(x + at)] (16)
(rys. 3, 4 )
jako uogólnione rozwiązanie zagadnienia Cauchy ego da równania (14) z warunkami początkowymi :
gdzie H(x)  funkcja Heviside a, równa 1 przy x e" 0 i 0 przy x < 0.
Rys 3 Rys 4
Pod koniec lat 20-tych Dirac w swoich badaniach kwantowo-mechanicznych wprowadził do nauki matematycznie
poprawnÄ… definicje ´-funkcji ( teraz nazywanÄ… delta Diraca ) jako funkcjonaÅ‚ liniowy, przyporzÄ…dkowujÄ…cy każdej
funkcji ciÄ…gÅ‚ej Õ(x) jej wartość w zerze Õ(0), co symbolicznie możemy zapisać nastÄ™pujÄ…co :
Na rysunku 5 przedstawiono  formalnÄ… ´-funkcje ( oczywiÅ›cie w klasycznie rozumianym sensie taka funkcja nie
istnieje ), a na rysunku 6 pokazano  przybliżonÄ… ´µ(x)- funkcje , µ 0 , +" ´µ(x) dx = 1
Rys. 5 Rys 6
Zatem, zgodnie z równością (18) słuszna jest następująca zależność :
Zależność ta oznacza, że ciÄ…g  przybliżonych ´-funkcji ´µ(x) , µ +0, jest sÅ‚abo zbieżny do ´-funkcji Diraca,
jednoczeÅ›nie punktowo jest ona zbieżna do  formalnej ´-funkcji, tj. funkcji zerowej ( rys. 5)
Upłynęło wiele lat i włożono wiele wysiłku ( prace m.in. Hadamara, Bohnera, Riesza, Sobolwea, Schwartza ) aby dojść
do poprawnej definicji funkcji uogólnionej i jej pochodnych. Podstawy matematycznej teorii funkcji uogólnionych
położył S. L Sobolew (1936 ) po czym z powodzeniem zastosował je do rozwiązania uogólnionego zagadnienia
Cauchy ego dla równań hiperbolicznych . W dalszych latach L. Schwartz, opierając się na wcześniej zbudowanej teorii
wektorowych lokalnie wypukłych przestrzeni topologicznych, zaproponował systematyczną konstrukcje teorii funkcji
uogólnionych i wskazał szereg jej ważnych zastosowań.
Teorię tę przedstawił w swojej znanej monografii  Theorie des distributions ( 1950  1951 )
(* w języku polskim dostępna jest jego monografia pt.  Metody matematyczne w fizyce Laurent Schwartz ;
PWN 1984 *)
W dalszej kolejności teoria funkcji uogólnionych znajduje swoje szerokie zastosowania w FM, co stymulowało jej dalszy
intensywny rozwój. W chwili obecnej teoria ta jest już mocno zaawansowana i weszła do standardowych metod
matematyka, fizyka czy nawet inżyniera.
5
Funkcje uogólnione posiadają szereg użytecznych własności, rozszerzających możliwości klasycznej analizy
matematycznej, np. : dowolna funkcja uogólniona okazuje się nieskończenie wiele razy różniczkowalna ( w sensie
uogólnionym ), szeregi zbieżne złożone z funkcji uogólnionych można człon po członie różniczkować nieskończenie
wiele razy, przekształcenie Fouriera funkcji uogólnionej istnieje zawsze itp.
Z tego powodu zastosowanie techniki funkcji uogólnionych istotnie rozszerza krąg rozpatrywanych zagadnień, a do tego
prowadzi do znacznych uproszczeń automatyzując elementarne operacje.
Przy analizie złożonych niestacjonarnych ( dynamicznych ) układów równań ważną rolę odgrywają prawa zachowania.
Prawem zachowania układy dynamicznego względem nieznanej funkcji ( wektora, macierzy itp. ) u(x, t) nazywamy
każdy operator J(t) a" J( u, u x , ... ; t ), zachowany w czasie t na rozwiązaniach u tego układu.
Przykładowo, jedno z praw zachowania dla równania (14) przy zerowych warunkach brzegowych u(0, t) = u(l, t ) = 0 jest
prawem zachowania energii ( kinetycznej + potencjalnej ) :
Drugi przykład : dla równania drgań wahadła (rys 7 ) :
Õ" " (t) + (g/R) sin(Õ(t)) (20)
prawo zachowania ma postać :
Jest to  lokalne prawo zachowania.
Nielokalne prawa zachowania sÄ… zawarte w prawach zachowania o postaci :
J(t) = Õ" È - È" Õ = const. (22)
Gdzie È - rozwiÄ…zanie równania liniowego :
È" " + (g/R)[ sin(Õ)/Õ ] È = 0 (23)
odpowiadającemu równaniu (20).
Jeśli w (22) podstawimy nielokalne rozwiązanie równania (23) :
gdzie C  dowolna stała
to otrzymamy nielokalne prawo zachowania dla równania (20).
p-addyczna fizyka matematyczna. W ciągu ostatnich 15- 20 lat pojawił się i szybko rozwinął się nowy rozdział
współczesnej FM  p-addyczna fizyka matematyczna. Jest to alternatywna FM, w której rzeczywiste zmienne
czaso-przestrzenne (x, t) zamieniamy na liczby p-addyczne. Z czy się to wiąże ?
Do pewnego czasu przyjmowano, że przestrzeń Euklidesa R3  jest niezastąpionym modelem matematycznym dla
realnej przestrzeni fizycznej. Jednakże w teorii kwantowej z uwzględnieniem grawitacji ustanowiono, że
( Markow i inni ) dla błędu pomiaru długości "x słuszna jest następująca nierówność :
gdzie lpl  długość Plancka , G  stała grawitacyjna, c  prędkość światła.
Z nierówności (25) wynika niemożliwość pomiaru długości, mniejszych od długości Plancka.
Stąd wynika, że struktura przestrzeni ( i czasu )na długościach Plancka jest niearchimdesowa ( tj. nie spełniony jest
aksjomat Archimedesa ). Zatem na takich odległościach przestrzeń i czas powinny być opisywane nie poprzez ciało liczb
rzeczywistych, z jego strukturą archimedesową, a jakimś innym nowym ciałem niearchimedesowym.
6
Takie nowe ciało powinno zawierać ciało liczb wymiernych Q  liczb fizycznie obserwowalnych. Dlatego dla
zbudowania nowego ciała wystarczy w ciele Q znalez
ć nową, niearchimedesowską normę i domknąć go względem tej
normy.
Matematyka daje odpowiedz
na takie zagadnienie. Jeszcze pod koniec XIX wieku G. Gentzen odkrył nieskończenie
wiele takich nierównoważnych ( nietrywialnych ) norm | . |p , które numerowane są liczbami prostymi p = 2, 3, 5, ... ,
137, ... W ciele Q norma | . |p , wprowadzana jest w następujący sposób : każdy element x " Q przedstawiamy
jednoznacznie w postaci x = ą pł (a /b) , gdzie ł, a, b  liczby całkowite, przy czym a i b nie dzielą się przez p.
Zgodnie z definicjÄ… :
| x |p = pł , | 0 |p = 0 (26)
Domkniecie ciała Q względem normy | . |p , tworzy ciało liczb p-addycznych Qp. Norma | x |p posiada standardowe
własności :
dla dowolnych x " Qp i y " Qp zachodzą następujące własności :
Nierówność trójkąta 3) jest silniejsza niż nierówność klasyczna :
i wyraża własność niearchimedesowości ciała Qp. zatem, norma | . |p jest niearchimedesowska, a przestrzeń Qp 
ultrametryczna.
Norma euklidesowa | . | i normy p-addyczne | . |p ,p = 2, 3, ... dla liczb wymiernych x i y `" x związane są następującym
wzorem :
Wzór ten oznacza, ze pomiar długości odcinka x - y o wymiernych końcach x i y ( zatem końcami fizycznie
mierzalnymi ) w przestrzeni euklidesowej jest równoważne pomiarowi jego długości we wszystkich przestrzeniach
p-addycznych. Jest to zgodne ze znanym twierdzeniem Ostrowskiego mówiącym o tym, że dopełniając ciało liczb
wymiernych względem możliwych nierównoważnych norm, można zbudować tylko euklidesowe i p-addyczne ciała.
Przykład 1. Szereg 1 + p + p2 + ... jest zbieżny w Qp a jego suma jest równa (1 - p)-1
Przykład 2. Szereg 1! + 2! + ... jest zbieżny we wszystkich Qp
Oznaczmy przez :
odpowiednio p-addyczny dysk i p-addyczny okrąg, o promieniu pł i o środku w punkcie a " Qp
Geometria przestrzeni Qp jest niezwykła  wszytskie trójkąty są równoramienne; każdy punkt dysku jest jego środkiem;
dysk nie posiada brzegu ; dysk jest sumą skończonej liczby nieprzecinających się dysków o mniejszym promieniu; jeśli
dwa dyski przecinajÄ… siÄ™, to jeden z nich zawiera siÄ™ w drugim; dysk i okrÄ…g  sÄ… otwartymi kompaktami.
Ciało Qp jest lokalnie zwartą całkowicie niespójną przestrzenią wektorową o strukturze hierarchicznej. Przy p = 3
sytuacje taką przedstawić możemy w postaci specjalnego grafu  drzewa. Granicą takiego grafu jest ciało Qp
( rysunek 3 )
Rys. 3
7
Buduje się p-addyczną analizę zespolenie ( rzeczywisto)- wartościowych funkcji p-addycznych argumentów :
Całkowanie, przekształcenie Fouriera, pseudoróżniczkowe operatory, funkcje uogólnione, twierdzenie spektralne itp.
Na bazie p-addycznej analizy rozwija się p-addyczną FM, w której wyróżnić możemy następujące kierunki :
- p-addyczna mechanika kwantowa i kwantowa teoria pola.
- p-addyczne struny i superstruny
- spinowe ciecze, biologiczne i inne układy hierarchiczne
- p-addyczna teoria prawdopodobieństwa
- p-addyczne układy dynamiczne
- rozpoznawanie obrazów
- dynamika tachionowych strun i pól
- modele umysłu i emocji.
Spis literatury.
(* W języku polskim dostępne są następujące książki :
[13]  Równania fizyki matematycznej -- A. Tichonow, A. Samarski ; PWN 1963
[14]  Matematyka wyższa -- W. I. Smirnow ; PWN 1958, 1960, 1966
Tom I, II ,III, IV
Ponadto :
 Równania fizyki matematycznej -- S. K. Godunow ; WNT 1975
 Równania fizyki matematycznej -- A. W. Bicadze ; PWN 1984
*************************************************************************************************
8