Sfinansowano ze środków
Narodowego Funduszu Ochrony Åšrodowiska i Gospodarki Wodnej
na zlecenie Krajowego ZarzÄ…du Gospodarki Wodnej
Metodyka obliczania przepływów i opadów maksymalnych
o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia
dla zlewni kontrolowanych i niekontrolowanych
oraz identyfikacji modeli transformacji opadu w odpływ
Etap I
Określenie jednolitych metod obliczenia przepływów maksymalnych
rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia
w zlewniach kontrolowanych
STOWARZYSZENIE HYDROLOGÓW POLSKICH
S
1
H ul. Podleśna 61, 01- 673 Warszawa
P
Spis treści
A. Podstawa opracowania ......................................................................................................... 4
I. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie
przewyższenia w zlewniach kontrolowanych ..................................................................... 4
1. Przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym
 długi ciąg przepływów maksymalnych rocznych ............................................................ 6
1.1. Badanie niejednorodności i niestajonarności serii czasowej przepływów
maksymalnych rocznych testem Manna-Kendalla-Sneyersa (MKS).................................. 7
1.2. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie
przewyższenia ..................................................................................................................... 9
1.2.1. Rozkład Pearsona typu III ................................................................................................ 9
1.2.1.1. Utworzenie rozkładu empirycznego przepływów maksymalnych rocznych Qmax
i graficzna estymacja ich dolnego ograniczenia " ...................................................... 9
1.2.1.2. Estymacja parametrów ą i  rozkładu Pearsona, typ III, metodą największej
wiarygodności ........................................................................................................... 10
1.2.1.3. Obliczenie i wykreślenie teoretycznych wartości Qmax,p przepływów
maksymalnych ........................................................................................................... 10
1.2.1.4. Testowanie hipotezy H0 (prawdziwy rozkład zmiennej Qmax jest rozkładem
Pearsona typ III) za pomocą testu Kołmogorowa ..................................................... 11
1.2.1.5. Testowanie hipotezy H0(prawdziwy rozkład zmiennej Qmax jest rozkładem
Pearsona typ III) za pomocÄ… testu Ç2 Pearsona ......................................................... 11
u²
1.2.1.6. Obliczenie i wykreÅ›lenie górnej granicy Qmax, p jednostronnego ²% przedziaÅ‚u
ufności dla rzeczywistych prawdopodobnych przepływów maksymalnych
rocznych Qmax,p .......................................................................................................... 12
1.2.2. Przykłady obliczeń ......................................................................................................... 14
1.2.3. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie
przewyższenia: rozkład logarytmiczno-normalny i rozkład Weibulla ............................... 23
1.2.3.1. Rozkład logarytmiczno-normalny ............................................................................... 24
1.2.3.2. Rozkład Weibulla ....................................................................................................... 27
2. Przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym 
krótki ciąg przepływów maksymalnych rocznych ............................................................ 29
2.1. Metoda regresyjna ............................................................................................................ 29
2
3. Przekrój obliczeniowy nie pokrywa się z przekrojem wodowskazowym.......................... 37
3.1. Metoda ekstrapolacyjna.................................................................................................... 37
3.2. Metoda interpolacji .......................................................................................................... 39
4. Literatura ............................................................................................................................. 43
Załącznik A  Tabele
.
3
A. Podstawa opracowania
Podstawą wykonania prac Etapu I - Metodyka obliczania przepływów i opadów maksy-
malnych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia dla zlewni kontrolowanych i
niekontrolowanych oraz identyfikacji modeli transformacji opadu w odpływ była umowa
nr 56/09/Wn50/NE-Wu-Tx-/D z dnia 02.03.2009 r. zawarta pomiędzy Narodowym Fundu-
szem Ochrony Åšrodowiska i Gospodarki Wodnej i Krajowym ZarzÄ…dem Gospodarki Wodnej
a Stowarzyszeniem Hydrologów Polskich
Etap I pracy obejmuje:
1. Określenie jednolitych metod obliczenia przepływów maksymalnych rocznych o określo-
nym prawdopodobieństwie przewyższenia w zlewniach kontrolowanych przy uwzględnieniu
następujących przypadków:
a. przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym:
- dla ciągów danych pomiarowych wystarczająco długich,
- dla ciągów danych pomiarowych za krótkich.
b. przekrój obliczeniowy nie pokrywa się z przekrojem wodowskazowym.
I. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie
przewyższenia w zlewniach kontrolowanych
Definicje ważniejszych terminów
zlewnia kontrolowana  zlewnia w której znajduje się stacja wodowskazowa i sa prowa-
dzone systematyczne obserwacje hydrometryczne
najwyższy przepływ roczny (przepływ maksymalny roczny)  przepływ kulminacyjny
najwyższego wezbrania w roku
seria czasowa (przepływów maksymalnych rocznych)  seria przepływów maksymalnych
rocznych uporzÄ…dkowana chronologicznie
jednorodność serii (przepływów maksymalnych rocznych)  własność serii polegająca na
tym, że wszystkie jej elementy pochodzą z tego samego rozkładu prawdopodobieństwa i
są one wzajemnie niezależne
prawdopodobny przepływ maksymalny roczny Qmax,p  przepływ maksymalny roczny o
prawdopodobieństwie przewyższenia p
4
rzeczywisty prawdopodobny przepływ maksymalny roczny Qmax,p  nieznana poszukiwa-
na wartość przepływu maksymalnego rocznego o prawdopodobieństwie przewyższenia p
prawdziwy rozkład zmiennej Qmax  nieznany poszukiwany rozkład prawdopodobieństwa
zmiennej Qmax
empiryczny rozkład przepływów maksymalnych rocznych Qmax  związek pomiędzy em-
pirycznym prawdopodobieństwem przewyższenia,a kolejnymi wartościami uporządkowa-
nej malejÄ…co serii Qmax,(i);
pearsonowska podziałka prawdopodobieństwa  układ współrzędnych (x,y), gdzie na oś
rzędnych y = Qmax, a oś odciętych x jest proporcjonalna do standaryzowanego kwantyla
tp(=4), p jest prawdopodobieństwem przewyższenia, p " (100%; 0,1%)
teoretyczne prawdopodobieństwo przewyższenia wartości Qmax,(i)  nieznane poszuki-
wane prawdopodobieństwo przewyższenia wartości Qmax,(i), jakie dałoby się obliczyć, gdy-
by znany był prawdziwy rozkład zmiennej Qmax
jednostronny ²% przedziaÅ‚ ufnoÅ›ci dla rzeczywistych prawdopodobnych przepÅ‚ywów
u²
maksymalnych rocznych Qmax,p  półnieskończny przedział (-", Qmax, p ) zawierający z praw-
dopodobieÅ„stwem ²% (zwykle ² = 84%) oczekiwanÄ… wartość prawdopodobnego przepÅ‚ywu
maksymalnego rocznego Qmax,p.
5
1. Przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym
 długi ciąg przepływów maksymalnych rocznych
W zlewniach kontrolowanych, gdy przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wo-
dowskazowym i istnieje długa min (30 letnia) seria czasowa przepływów maksymalnych
rocznych, do obliczenia przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodo-
bieństwie przewyższenia stosuje się metody statystyczne.
Przekrój
wodowskazowy
Przekrój
obliczeniowy
Rys. 1.1. Zlewnia kontrolowana (przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym
W przypadku krótszych serii obserwacyjnych (< 30 lat) należy je uzupełnić wykorzystując
zależności regresyjne jakie występują pomiędzy przepływami maksymalnymi w przekroju
wodowskazowym posiadającym krótki ciąg i przekroju z długim okresem obserwacyjnym.
Jeżeli przekrój obliczeniowy na cieku kontrolowanym nie pokrywa się z przekrojem wodo-
wskazowym do przeniesienia informacji hydrologicznej należy zastosować metodę interpola-
cji lub ekstrapolacji w ramach podobieństwa hydrologicznego.
6
1.1. Badanie niejednorodności i niestajonarności serii czasowej przepływów
maksymalnych rocznych testem Manna-Kendalla-Sneyersa (MKS)
Test Manna-Kendalla-Sneyersa (MKS) [3] [4] [5] jest ciągiem testów weryfikujących
dla kolejnych podserii {Qmax,1, Qmax,2,..., Qmax,k}k=2,...,N i {Qmax,k+1, Qmax,2,..., Qmax,N}k=1,...,N-1, N-
elementowej serii przepływów maksymalnych rocznych {Qmax,1, Qmax,2,..., Qmax,N} hipotezę H0
o ich jednorodności, tzn. że przepływy te są niezależne i mają ten sam rozkład prawdopodo-
bieństwa. W przypadku odrzucenia hipotezy H0 dla niektórych k, wykres przebiegu statystyk
testowych w zależności od czasu k pozwala ponadto zbadać postać niestacjonarności, np. w
postaci trendu lub tzw. punktu zmiany, tj. punktu, w którym trend zmienia kierunek.
Dla danej serii czasowej {Qmax,1, Qmax,2,..., Qmax,N} test MKS wykonywany jest w dwu
etapach.
Etap 1. Najpierw oblicza się liczbę ni (i = 2,...,N) wszystkich elementów podserii cza-
sowej {Qmax,1, Qmax,2,..., Qmax,i-1} poprzedzających element Qmax,i i jednocześnie mniejszych od
niego:
ni = liczba elementów podserii {Qmax,1,Qmax,2,...Qmax,i-1} mniejszych od Qmax,i (1.1)
Następnie liczby ni są sumowane i tworzona jest statystyka tk
k
tk = (1.2)
"n
i
i=2
RozkÅ‚ad tej statystyki może być dla N e" 10 opisany rozkÅ‚adem normalnym N(µk, Ãk) z para-
metrami równymi
1
µk = k(k -1) (1.3)
4
1
Ãk = k(k -1)(2k + 5) (1.4)
72
Dalej tworzona jest seria znormalizowanych wartości
tk - µk
uk = (1.5)
Ãk
stanowiąca progresywną postać statystyki testu MKS. Jeśli dla danego k i ustalonego poziomu
istotności ą testu (zwykle przyjmuje się ą = 0,05), absolutna wartość uk, |uk|, spełnia warunek
7
|uk| > ukryt(ą), gdzie ukryt (ą) jest krytyczną wartością statystyki testowej (np. ukryt(0,05) = 1,96
dla testu dwustronnego), to hipoteza o niezależności od czasu i nieskorelowaniu podserii
{Qmax,1, Qmax,2,..., Qmax,k} jest odrzucana i przyjmuje się, że w okresie od 1 do k istnieje trend
monotoniczny.
Etap 2. Postępowanie jest analogiczne jak w etapie 1, jednak dotyczy teraz serii cza-
sowej ustawionej w porządku odwróconym: {Qmax,N, Qmax,N-1,..., Qmax,1}. Obliczana jest teraz
2
tzw. regresywna postać uk znormalizowanej statystyki testu MKS:
2 2
tk - µk
2
uk = (1.6)
2
Ãk
gdzie:
2
tk jest liczone podobnie do tk we wzorze (1.2):
N -1
2 i
tk = (1.7)
"n2
i=k
2
a liczba ni jest teraz liczbą elementów podserii {Qmax,N, Qmax,N -1,& , Qmax, i+1} mniejszych od
Qmax i:
2
ni = liczba elementów podserii {Qmax,N ,Qmax,N -1,...Qmax,i-1} mniejszych od Qmax,i (1.8)
2
Tak jak poprzednio, statystyka tk podlega rozkładowi normalnemu z parametrami:
1
2
µk = (N - k)(N - k -1) (1.9)
4
1
2
Ãk = (N - k)(N - k -1)(2(N - k) + 5) (1.10)
72
Jeśli seria danych pochodzi z jednej populacji i dane są niezależne od siebie, to wykresy uk i
2
uk powinny oscylować wokół linii zerowej pozostając w obszarze (-ukryt(ą), ukryt(ą)). Mono-
toniczny trend przepływów maksymalnych rocznych w całym okresie będzie widoczny na
2
wykresie uk i uk w postaci dwu równoległych rosnących lub malejących nieregularnych linii
2
wychodzących poza obszar (-ukryt(ą), ukryt(ą)), natomiast jeśli wykresy uk i uk przecinają się
powyżej ukryt(ą) lub poniżej -ukryt(ą), to istnieje podstawa do twierdzenia, że w roku (latach)
przecięcia nastąpiła zmiana trendu. Możliwe są też inne sytuacje przedstawione w przykła-
dach.
8
 1.2. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie
przewyższenia
1.2.1. Rozkład Pearsona typu III
Maksymalne przepływy roczne Qmax,p o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia p
(p = P(Qmax e" Qmax,p)) oblicza się według wzoru opartego na rozkładzie Pearsona typu III:
tp ()
Qmax, p =" + (1.11)
Ä…
gdzie:
"  dolne ograniczenie przepływów Qmax: Qmax e" ";
Ä…  parametr skali;
  parametr kształtu;
tp()  zmienna standaryzowana.
Wartość " jest estymowana metodą graficzną, parametry ą,  są estymowane metodą
największej wiarygodności.
1.2.1.1. Utworzenie rozkładu empirycznego przepływów maksymalnych rocznych Qmax
i graficzna estymacja ich dolnego ograniczenia "
Czasową serię przepływów maksymalnych rocznych {Qmax,1, Qmax,2,..., Qmax,N} należy
uporządkować w porządku malejącym: {Qmax,(1) e" Qmax,(2) e" ... e" Qmax,(N)}. Dla każdej wartości
Qmax,(i), i = 1, 2, ..., N, obliczyć empiryczne prawdopodobieństwo przewyższenia pi według
wzoru:
i
pi = , i = 1, 2,..., N (1.12)
N +1
gdzie:
i  numer i-tej najwyższej wartości, Qmax,(i), w uporządkowanej malejąco serii {Qmax,1,
Qmax,2,..., Qmax,N}.
Uzyskane punkty (Qmax,(i), pi) umieścić na pearsonowskiej podziałce prawdopodobieństwa,
wyrównać odręcznie dolną część empirycznej krzywej aż do prawdopodobieństwa przewyż-
szenia p = 100% i dla tego prawdopodobieństwa odczytać wartość ograniczenia dolnego ".
9
1.2.1.2. Estymacja parametrów ą i  rozkładu Pearsona, typ III, metodą największej
wiarygodności
Mając już znane ", obliczyć pomocniczą wartość A:
NN
ëÅ‚ 11
A = ln - (1.13)
( )
"Q -" öÅ‚ N "ln Qmax,i -"
max,i
ìÅ‚÷Å‚
N
íÅ‚ i=1 Å‚Å‚ i=1
Obliczyć oszacowanie parametru :
ëÅ‚
1 4A öÅ‚
 H" (1.14)
ìÅ‚1+ 1+ ÷Å‚
4A ìÅ‚÷Å‚
3
íÅ‚Å‚Å‚
Obliczyć oszacowanie parametru ą:

Ä… = (1.15)
N
1
-"
"Qmax,i
N
i=1
Obliczone wartości ",  i ą określają jednoznacznie rozkład (1.11) przepływów maksymal-
nych w roku Qmax.
1.2.1.3. Obliczenie i wykreślenie teoretycznych wartości Qmax,p przepływów maksymal-
nych rocznych dla zadanych wartości prawdopodobieństwa przewyższenia p
Sposób 1: Korzystając z wartości tp() podanych w tabeli A1 (załącznik A) obliczyć za
pomocą wzoru (1.11) dla wybranych wartości prawdopodobieństwa przewyższenia p wartości
przepływu prawdopodobnego Qmax,p.
Sposób 2: Wartości przepływu prawdopodobnego Qmax,p można obliczyć, korzystając np.
z funkcji ROZKA
AD.GAMMA.ODW arkusza kalkulacyjnego MS Excel:
Qmax, p =" + ROZKA
AD.GAMMA.ODW 1- p;;1/Ä… )
(1.16)
(
gdzie:
p  prawdopodobieństwo przewyższenia przez przepływ maksymalny roczny Qmax war-
tości Qmax,p, wyrażone liczbą niemianowaną.
10
1.2.1.4. Testowanie hipotezy H0 (prawdziwy rozkład zmiennej Qmax jest rozkładem
Pearsona typ III) za pomocą testu Kołmogorowa
Dla wszystkich wartości uporządkowanej malejąco serii danych przepływów maksymal-
nych rocznych obliczyć wartość Di
îÅ‚ ii +1 Å‚Å‚
Di = max - pteor Qmax,(i);",Ä…, , - pteor Qmax,(i);",Ä…, (1.17)
( ) ( )
ïłśł
N +1 N +1
ðÅ‚ûÅ‚
gdzie:
pteor(Qmax,(i))  teoretyczne prawdopodobieństwo przewyższenia wartości Qmax,(i): pte-
(Qmax,(i)) = P(Qmax e" Qmax,(i)) ;
or
Qmax,(i)  i-ta największa wartość uporządkowanej malejąco serii przepływów maksymal-
nych rocznych.
Obliczyć maksymalną wartość Dmax serii Di:
Dmax = max Di (1.18)
{ }
i=1,...,N
Obliczyć wartość Kol statystyki testowej testu Kołmogorowa:
Kol = N Å" Dmax (1.19)
Wielkość Dmax można też odczytać z utworzonych wykresów rozkładu teoretycznego i
rozkładu empirycznego.
Przyjmując poziom istotności testu, ątest = 5%, porównać wartość Kol z wartością kry-
tyczną testu kryt(ątest=5%) = 1,36. Jeśli Kol < 1,36, nie ma podstaw do odrzucenia znalezio-
nego rozkładu; w przypadku przeciwnym należy poszukiwać innego rozkładu (logarytmicz-
no-normalnego lub Weibulla, (rozdział 1.2.2.).
1.2.1.5. Testowanie hipotezy H0(prawdziwy rozkład zmiennej Qmax jest rozkładem
Pearsona typ III) za pomocÄ… testu Ç2 Pearsona
Ustalić liczbę r przedziałów, na jakie trzeba będzie podzielić przedział (",") zmienności
zmiennej Qmax. Aby test mógł być przeprowadzony, liczba r musi wynosić co najmniej 4 (r e"
11
4) i powinna być taka, aby przeciętna liczba elementów serii wynosiła co najmniej 5 (N/r e"
5). NastÄ™pnie obliczyć wartoÅ›ci QÇ,i zmiennej Qmax, które speÅ‚niajÄ… równość
i
P(Qmax < QÇ ,i ) = , i = 1, 2,..., r -1 (1.20)
r
i na tej podstawie utworzyć r przedziałów: (0, QÇ,1), [QÇ,1, QÇ,2),...,[QÇ,r-1,"). W każdym z tych
przedziałów znajduje się odpowiednio mi, i = 1, 2, ..., r, elementów serii czasowej {Qmax,1,
Qmax,2,..., Qmax,N}.
Obliczyć wartość Ç2 statystyki testu Ç2 Pearsona:
r
r
2
Ç = (1.21)
"(m - N / r)2
i
N
i=1
i, korzystajÄ…c z tabeli 1.1, porównać z wartoÅ›ciÄ… krytycznÄ… Ç2kr = Ç2(Ä…test, ½ = r 3) dla pozio-
mu istotności testu ątest = 5%.
Tabela 1.1. Kwantyle Ç2(Ä…test=5%, ½) rozkÅ‚adu Ç2 (chi-kwadrat); ½  liczba stopni swobody
½ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Ç2(5%, ½) 3,841 5,991 7,815 9,488 11,07 12,59 14,07 15,51 16,92 18,31 19,68 21,03 22,36 23,68 25,0
JeÅ›li Ç2 < Ç2kr(Ä…test), nie ma podstaw do odrzucenia znalezionego rozkÅ‚adu; w przypadku
przeciwnym należy poszukiwać innego rozkładu ((logarytmiczno-normalnego lub Weibulla,
(rozdział 1.2.3).
u²
1.2.1.6. Obliczenie i wykreÅ›lenie górnej granicy Qmax, p jednostronnego ²% przedziaÅ‚u
ufności dla rzeczywistych prawdopodobnych przepływów maksymalnych
rocznych Qmax,p
u²
Wielkość Qmax, p oblicza się ze wzoru
u²
Qmax, p = Qmax, p + u²Ã Qmax, p (1.22)
( )
gdzie:
u²  kwantyl rzÄ™du ² w standaryzowanym rozkÅ‚adzie normalnym; w tabeli 1.2 podane sÄ…
niektóre wartoÅ›ci (² oznacza prawdopodobieÅ„stwa nieprzewyższenia).
12
Tabela 1.2. WartoÅ›ci kwantyla u² dla zadanego poziomu ufnoÅ›ci ²
², % 84 90 95 99
u² 0,994 1,282 1,645 2,326
à Qmax, p  błąd oszacowania Qmax,p obliczany ze wzoru:
( )
1
à Qmax, p = Õ( p,) (1.23)
( )
Ä… N
WartoÅ›ci funkcji Õ(p,) sÄ… podane w tabeli 1.3.
Tabela 1.3. WartoÅ›ci funkcji Õ(p,) używanej we wzorze (1.23)
 90% 80% 50% 20% 10% 5% 2% 1% 0,1%
1,5 0,522 0,670 1,039 1,923 2,734 3,607 4,814 5,754 8,967
1,6 0,571 0,719 1,085 1,976 2,791 3,667 4,876 5,816 9,025
1,7 0,620 0,765 1,130 2,026 2,846 3,725 4,937 5,877 9,084
1,8 0,667 0,811 1,173 2,075 2,900 3,782 4,996 5,938 9,144
1,9 0,714 0,855 1,214 2,122 2,951 3,837 5,055 5,998 9,205
2 0,760 0,898 1,254 2,167 3,001 3,891 5,112 6,056 9,265
2,5 0,977 1,099 1,438 2,377 3,234 4,142 5,383 6,338 9,566
3 1,176 1,280 1,602 2,564 3,443 4,371 5,632 6,600 9,857
3,5 1,361 1,447 1,750 2,734 3,634 4,581 5,864 6,846 10,137
4 1,534 1,601 1,888 2,891 3,812 4,777 6,082 7,078 10,405
4,5 1,697 1,746 2,015 3,038 3,978 4,962 6,288 7,298 10,661
5 1,851 1,882 2,136 3,176 4,135 5,137 6,484 7,507 10,907
5,5 1,998 2,012 2,250 3,307 4,284 5,303 6,670 7,708 11,144
6 2,139 2,136 2,358 3,432 4,426 5,462 6,849 7,900 11,373
6,5 2,273 2,254 2,462 3,551 4,563 5,615 7,021 8,085 11,594
7 2,403 2,368 2,561 3,666 4,694 5,762 7,187 8,264 11,808
7,5 2,529 2,478 2,657 3,776 4,820 5,904 7,347 8,437 12,016
8 2,650 2,584 2,749 3,883 4,943 6,041 7,503 8,604 12,217
8,5 2,768 2,687 2,839 3,986 5,061 6,174 7,653 8,767 12,414
9 2,882 2,787 2,925 4,086 5,176 6,303 7,800 8,925 12,605
9,5 2,993 2,884 3,010 4,183 5,288 6,429 7,942 9,079 12,792
10 3,101 2,978 3,092 4,278 5,396 6,551 8,081 9,230 12,974
11 3,309 3,160 3,249 4,460 5,606 6,787 8,349 9,520 13,327
12 3,509 3,333 3,400 4,634 5,806 7,013 8,606 9,798 13,666
13 3,700 3,500 3,544 4,801 5,998 7,229 8,852 10,065 13,992
14 3,884 3,659 3,682 4,961 6,182 7,438 9,090 10,322 14,307
15 4,061 3,814 3,815 5,116 6,360 7,638 9,319 10,571 14,611
16 4,233 3,963 3,944 5,265 6,532 7,833 9,540 10,812 14,906
17 4,399 4,107 4,069 5,409 6,699 8,021 9,755 11,045 15,192
18 4,561 4,247 4,190 5,550 6,861 8,204 9,964 11,272 15,471
19 4,718 4,383 4,308 5,686 7,018 8,382 10,168 11,493 15,743
20 4,871 4,516 4,422 5,819 7,172 8,556 10,366 11,708 16,007
13
21 5,020 4,645 4,534 5,948 7,321 8,725 10,559 11,918 16,266
22 5,166 4,771 4,643 6,075 7,467 8,890 10,748 12,124 16,519
23 5,308 4,895 4,749 6,198 7,610 9,051 10,932 12,324 16,766
24 5,448 5,016 4,854 6,319 7,749 9,209 11,113 12,521 17,008
25 5,584 5,134 4,955 6,437 7,886 9,364 11,290 12,713 17,246
1.2.2. Przykłady obliczeń
Przykład 1.1 (negatywny): Obliczyć przepływ maksymalny roczny o określonym prawdo-
podobieństwie przewyższenia rzeki Bóbr w przekroju wodowskazowym Bukówka (po-
wierzchnia zlewni: 57,76 km2, N = 41).
1. Badanie niejednorodności i niestajonarności serii czasowej
Podana niżej tabela 1.4 zawiera wartości przepływów maksymalnych rocznych rzeki Bóbr w
przekroju wodowskazowym Bukówka oraz wartości wielkości związanych z testem MKS.
Tabela 1.4. Seria czasowa Qmax i niektóre wielkości testu MKS. Numery w nawiasach w drugim wier-
szu tabeli to numery odpowiednich równań
k tk µk Ãk uk t2 k µ2 k Ã2 k u2 k
rok Qmax
(1.2 (1.3) (1.4) (1.5) (1.7) (1.9) (1.10) (1.6)
1965 18,6 1 637 410 44,516 5,099
1966 13,2 2 0 0,5 0,5 -1 607 390 42,915 5,057
1967 22,1 3 2 1,5 0,957 0,522 582 370,5 41,333 5,117
1968 20,4 4 4 3 1,472 0,679 551 351,5 39,771 5,016
1969 23,0 5 8 5 2,041 1,470 522 333 38,230 4,944
1970 10,7 6 8 7,5 2,661 0,188 491 315 36,708 4,795
1971 27,8 7 14 10,5 3,329 1,051 469 297,5 35,208 4,871
1972 14,7 8 16 14 4,041 0,495 439 280,5 33,728 4,699
1973 8,62 9 16 18 4,796 -0,417 414 264 32,270 4,648
1974 15,9 10 20 22,5 5,590 -0,447 397 248 30,833 4,833
1975 22,1 11 27 27,5 6,423 -0,078 373 232,5 29,418 4,776
1976 16,6 12 32 33 7,292 -0,137 347 217,5 28,025 4,621
1977 27,8 13 43 39 8,196 0,488 323 203 26,655 4,502
1978 4,76 14 43 45,5 9,133 -0,274 298 189 25,308 4,307
1979 11,3 15 46 52,5 10,104 -0,643 291 175,5 23,984 4,816
1980 32,3 16 61 60 11,106 0,090 270 162,5 22,684 4,739
1981 32,3 17 76 68 12,138 0,659 247 150 21,409 4,531
1982 33,8 18 93 76,5 13,200 1,250 224 138 20,158 4,266
1983 21,7 19 103 85,5 14,292 1,224 201 126,5 18,932 3,935
1984 9,23 20 105 95 15,411 0,649 179 115,5 17,732 3,581
1985 14,3 21 111 105 16,558 0,362 161 105 16,558 3,382
1986 8,28 22 112 115,5 17,732 -0,197 141 95 15,411 2,985
1987 10,7 23 116 126,5 18,932 -0,555 126 85,5 14,292 2,834
1988 9,16 24 119 138 20,158 -0,943 108 76,5 13,200 2,386
1989 10,3 25 124 150 21,409 -1,214 92 68 12,138 1,977
1990 6,72 26 125 162,5 22,684 -1,653 76 60 11,106 1,441
1991 4,43 27 125 175,5 23,984 -2,106 64 52,5 10,104 1,138
1992 6,72 28 127 189 25,308 -2,450 60 45,5 9,133 1,588
14
1993 3,08 29 127 203 26,655 -2,851 49 39 8,196 1,220
1994 7,26 30 132 217,5 28,025 -3,051 48 33 7,292 2,057
1995 4,7 31 134 232,5 29,418 -3,348 38 27,5 6,423 1,635
1996 6,05 32 138 248 30,833 -3,568 35 22,5 5,590 2,236
1997 8,75 33 148 264 32,270 -3,595 28 18 4,796 2,085
1998 5,24 34 152 280,5 33,728 -3,810 20 14 4,041 1,485
1999 6,59 35 158 297,5 35,208 -3,962 15 10,5 3,329 1,352
2000 4,7 36 160 315 36,708 -4,222 9 7,5 2,661 0,564
2001 4,16 37 161 333 38,230 -4,499 6 5 2,041 0,490
2002 4,97 38 167 351,5 39,771 -4,639 4 3 1,472 0,679
2003 3,25 39 168 370,5 41,333 -4,899 2 1,5 0,957 0,522
2004 5,92 40 177 390 42,915 -4,963 1 0,5 0,5 1
2005 1,9 41 177 410 44,516 -5,234
Z powodu wymogu, że zmienne uk i uk2 podlegają w przybliżeniu rozkładowi normal-
nemu dla liczebności podciągu nie mniejszej niż 10, podane w tablicy wartości uk i uk2 nadają
się do wykorzystania w teście MKS dla k = 10,...,N (zmienna uk) i dla k = 1,...,N 9 (zmienna
uk2 ). W tabeli 1.4 podano również wartości uk i uk2 dla k spoza podanego wyżej zakresu nie
tylko z powodów ilustracyjnych ale też dlatego, że zwykle tworzony jest wykres dla k =
2,...,N (dla uk) i dla k = 1,...,N 1 (dla uk2 ). Taki wykres znajduje siÄ™ na rys. 1.2.
6
4
2
u'(t)
u(t)
0 1,96
-1,96
Qmax
-2
-4
-6
1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005
Rys. 1.2. Wyniki testu MKS (statystyki u i u2 z tab. 1.4) wraz 95% przedziałem akceptacji hipotezy H0
o jednorodności kolejnych podserii Qmax (linie -1,96 i 1,96) oraz czasowym przebiegiem Qmax (skala
wartości Qmax nie podana).
Przebieg wartości statystyki testowej uk na rys. 1.2 pokazuje, że od początku okresu ob-
serwacji do mniej więcej środka dekady 1980 1990 wartości uk oscylują wokół zera, co
wskazuje na jednorodność (niezależność i brak trendu) kolejnych podciągów progresywnych.
W tym samym okresie uk2 podciągów regresywnych wykazuje bardzo wysokie aczkolwiek
15
zmniejszające się z k wartości dodatnie, znacznie wychodzące ponad 1,96, co wskazuje na
silny trend malejący. Z punktu widzenia obszaru akceptacji hipotezy o jednorodności serii
czasowej Qmax, oba ciÄ…gi, uk i uk2 , przechodzÄ… w dekadzie 1980-1990 na inne pozycje: uk jest
coraz bardziej mniejsze od -1,96 wskazując tym zwiększającą się niejednorodność (coraz sil-
niejszy trend malejący), osiągając maksimum w roku 2005 (o wartości mnie więcej takiej
samej, jak uk2 dla k=1), natomiast uk2 powoli przestaje być istotne (na poziomie istotności 5%).
Wszystko to sugeruje, że mniej więcej w 1985 roku nastąpiła istotna zmiana reżimu przepły-
wu Bobru na wodowskazie Bukówka, co jest też widoczne w dodanym na rys. 1.2. przebiegu
wartości Qmax. Wytłumaczeniem tej sugestii jest fakt, że w 1987 roku oddano do użytku
zbiornik Bukówka.
Powstałe zmiany są jednak tak duże, że należy stwierdzić niemożliwość obliczania prze-
pływów prawdopodobnych Qmax,p.
Przykład 1.2 (pozytywny): Obliczyć przepływ maksymalny roczny o określonym prawdo-
podobieństwie przewyższenia rzeki Czarny w przekroju wodowskazowym Polana (po-
wierzchnia zlewni: 94,17 km2, N = 34).
1. Badanie niejednorodności i niestajonarności serii czasowej
Tabela 1.5 zawiera wartości serii czasowej przepływów maksymalnych rocznych rzeki Czar-
ny w przekroju wodowskazowym Polana oraz wartości wielkości związanych z testem MKS.
Tabela 1.5. Seria czasowa Qmax w wodowskazie Czarny/Polana i niektóre wielkości testu MKS. Nume-
ry w nawiasach w drugiej linii to numery odpowiednich równań
k tk µk Ãk uk t2 k µ2 k Ã2 k u2 k
rok Qmax
(1.2) (1.3) (1.4) (1.5) (1.7) (1.9) (1.10) (1.6)
1972 10,2 1 237 280,5 33,728 -1,290
1973 9,24 2 0 0,5 0,5 -1 232 264 32,270 -0,992
1974 58,8 3 2 1,5 0,957 0,522 229 248 30,833 -0,616
1975 8,23 4 2 3 1,472 -0,679 202 232,5 29,418 -1,037
1976 16,2 5 5 5 2,041 0,000 201 217,5 28,025 -0,589
1977 4,92 6 5 7,5 2,661 -0,939 195 203 26,655 -0,300
1978 26,8 7 10 10,5 3,329 -0,150 195 189 25,308 0,237
1979 25,1 8 15 14 4,041 0,247 181 175,5 23,984 0,229
1980 97,2 9 23 18 4,796 1,043 169 162,5 22,684 0,287
1981 23,5 10 28 22,5 5,590 0,984 145 150 21,409 -0,234
1982 22,3 11 33 27,5 6,423 0,856 135 138 20,158 -0,149
1983 21,1 12 38 33 7,292 0,686 126 126,5 18,932 -0,026
1984 59,9 13 49 39 8,196 1,220 118 115,5 17,732 0,141
1985 55,1 14 59 45,5 9,133 1,478 99 105 16,558 -0,362
1986 16,2 15 63 52,5 10,104 1,039 82 95 15,411 -0,844
1987 24,6 16 72 60 11,106 1,081 77 85,5 14,292 -0,595
1988 14,8 17 76 68 12,138 0,659 70 76,5 13,200 -0,492
1989 73,8 18 92 76,5 13,200 1,174 66 68 12,138 -0,165
16
1990 28,9 19 105 85,5 14,292 1,364 51 60 11,106 -0,810
1991 18,6 20 112 95 15,411 1,103 44 52,5 10,104 -0,841
1992 18,2 21 119 105 16,558 0,846 39 45,5 9,133 -0,712
1993 25,8 22 133 115,5 17,732 0,987 35 39 8,196 -0,488
1994 14,5 23 137 126,5 18,932 0,555 31 33 7,292 -0,274
1995 11,2 24 141 138 20,158 0,149 28 27,5 6,423 0,078
1996 54,5 25 160 150 21,409 0,467 26 22,5 5,590 0,626
1997 111 26 185 162,5 22,684 0,992 19 18 4,796 0,209
1998 35,1 27 204 175,5 23,984 1,188 11 14 4,041 -0,742
1999 43 28 224 189 25,308 1,383 9 10,5 3,329 -0,451
2000 52 29 245 203 26,655 1,576 7 7,5 2,661 -0,188
2001 45,4 30 266 217,5 28,025 1,731 3 5 2,041 -0,980
2002 8,9 31 268 232,5 29,418 1,207 1 3 1,472 -1,359
2003 9,72 32 272 248 30,833 0,778 1 1,5 0,957 -0,522
2004 57,4 33 299 264 32,270 1,085 1 0,5 0,5 1
2005 50,8 34 323 280,5 33,728 1,260
3
2
1 u'(t)
u(t)
0 1,96
-1,96
Qmax
-1
-2
-3
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005
Rys. 1.3. Wyniki testu MKS (statystyki u i u2 z tabeli 1.5) wraz 95% przedziałem akceptacji hipotezy
H0 o jednorodności kolejnych podciągów Qmax (linie -1,96 i 1,96) oraz czasowym przebiegiem Qmax
(skala wartości Qmax nie podana).
Wszystkie wartości (rys. 1.3) u i u2 zawierają się w przedziale (-1,96, 1,96), co oznacza,
że da żadnego podciągu (progresywnego i regresywnego) serii Qmax nie ma na poziomie istot-
ności 5% podstaw do odrzucenia hipotezy o jednorodności. Można więc przyjąć hipotezę, że
dane Qmax z przekroju Czarny/Polana pochodzą z jednej populacji i są niezależne.
Można więc przystąpić do estymacji parametrów rozkładu Pearsona III typu.
2. Estymacja dolnego ograniczenia " metodÄ… graficznÄ…
17
Stosując wzór (1.12) i podziałkę prawdopodobieństwa (załącznik) sporządzony został
wykres empirycznego prawdopodobieństwo przewyższenia, co ilustruje rys. 1.4.
Rys. 1.4. Empiryczne prawdopodobieństwo przewyższenia (punkty) oraz graficzna estymacja dolnego
ograniczenia" (linia zielona). Przyjęto przybliżenie " H" 0.
Przedłużenie dolnej części wykresu do linii 100% daje w przybliżeniu wartość " = 0, Wartość
ta będzie stosowana w dalszych obliczeniach.
3. Estymacja parametrów ą i  rozkładu Pearsona, typ III, metodą największej
wiarygodności
Obliczyć pomocniczą wartość A:
NN
ëÅ‚ 11
A = ln -
( )
"Q -" öÅ‚ N "ln Qmax,i -" = ln(33,9121) - 3,2456 = 0,2781
max,i
ìÅ‚÷Å‚
N
íÅ‚ i=1 Å‚Å‚ i=1
Obliczyć wartość parametru :
ëÅ‚ ëÅ‚öÅ‚
1 4A öÅ‚ 1 4× 0,2781
 H" = H"1,951
ìÅ‚1+ 1+ ÷Å‚ìÅ‚1+ 1+ ÷Å‚
4A ìÅ‚÷Å‚íÅ‚÷Å‚
3 4× 0,2781ìÅ‚Å‚Å‚
3
íÅ‚Å‚Å‚
Obliczyć wartość parametru ą:
 1,951
Ä… = = = 0,05754 [m3/s]
N
1
33,9121- 0
-"
"Qmax,i
N
i=1
18
Obliczyć żądane wartości Qmax,p. Obliczanie z wykorzystaniem arkusza kalkulacyjnego MS
Excel zilustrowane jest na rys. 1.5.
Rys. 1.5. Obliczanie Qmax,p za pomocÄ… funkcji ROZKA
AD.GAMMA.ODW arkusza kalkulacyjnego
MS Excel.
Można też wykorzystać tabelę A1 (załącznik A) na tp(), interpolując liniowo tp() dla każde-
go p, gdyż dla =1,95 mamy: tp(=1,95) = [tp(=1,9) + tp(=2,0)]/2.
Uzyskane wartości teoretycznego rozkładu prawdopodobieństwa przewyższenia Qmax
można teraz nanieść na podziałkę prawdopodobieństwa, co ilustruje rys. 1.6
Rys 1.6. Teoretyczny rozkład prawdopodobieństwa pteor(Qmax; " = 0; ą = 0,0575,  = 1,95) (linia cią-
gła) przewyższenia przepływów Qmax
19
4. Testowanie hipotezy H0(prawdziwy rozkład zmiennej Qmax jest rozkładem
Pearsona typ III) za pomocą testu  Kołmogorowa
Dla wszystkich wartości uporządkowanej malejąco serii danych Qmax,(i), i =1, 2,..., N =
34, obliczyć wartość Di (wyniki zawiera tab. 1.6):
îÅ‚ ii +1 Å‚Å‚
Di = max - pteor Qmax,(i) , - pteor Qmax,(i) śł
( ) ( )
ïÅ‚
N +1 N +1
ðÅ‚ûÅ‚
Obliczyć maksymalną wartość Dmax
Dmax = max Di = 0,1132
{ }
i=1,...,N
oraz wartość Kol statystyki testowej testu  Kołmogorowa:
Kol = N Å" Dmax = 34 Å"0,1132 = 0,6603
Ponieważ wartość statystyki testowej Kol = 0,660 jest mniejsza od 5% wartości krytycz-
nej kr = 1,36, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że rozkładem prawdopodo-
bieństwa przepływów maksymalnych Czarnej w przekroju Polana jest rozkład Pearsona typ
III z parametrami " = 0, Ä… = 0,0575,  = 1,95.
Tabela 1.6 oraz rys. 1.7 ilustrują liczbowo i graficznie szczegóły obliczeń.
Tabela 1.6. Uporządkowana malejąco seria przepływów maksymalnych rocznych Czarna/Polana,
Qmax(i), teoretyczne prawdopodobieństwa przewyższenia, pteor(Qmax(i)), oraz wartości pomocnicze do
obliczania Di(1.27), Dmax oraz Ko l (1.28)
|i/(N+1) - pte- |(i+1)/(N+1) -
i Qmax(i) pteor(Qmax(i)) i/(N+1) (i+1)/(N+1) Di
(Qmax)| pteor(Qmax)|
or
1 111 0,0115 0,0286 0,0571 0,01707 0,04564 0,04564
2 97,2 0,0228 0,0571 0,0857 0,03431 0,06288 0,06288
3 73,8 0,0706 0,0857 0,1143 0,01510 0,04367 0,04367
4 59,9 0,1342 0,1143 0,1429 0,01992 0,00865 0,01992
5 58,8 0,1410 0,1429 0,1714 0,00182 0,03039 0,03039
6 57,4 0,1502 0,1714 0,2000 0,02124 0,04981 0,04981
7 55,1 0,1664 0,2000 0,2286 0,03359 0,06217 0,06217
8 54,5 0,1709 0,2286 0,2571 0,05768 0,08625 0,08625
9 52 0,1908 0,2571 0,2857 0,06637 0,09494 0,09494
10 50,8 0,2010 0,2857 0,3143 0,08467 0,11324 0,11324
11 45,4 0,2535 0,3143 0,3429 0,06075 0,08932 0,08932
12 43 0,2804 0,3429 0,3714 0,06241 0,09098 0,09098
13 35,1 0,3865 0,3714 0,4000 0,01503 0,01354 0,01503
20
14 28,9 0,4896 0,4000 0,4286 0,08960 0,06102 0,08960
15 26,8 0,5285 0,4286 0,4571 0,09989 0,07132 0,09989
16 25,8 0,5476 0,4571 0,4857 0,09049 0,06192 0,09049
17 25,1 0,5613 0,4857 0,5143 0,07557 0,04700 0,07557
18 24,6 0,5712 0,5143 0,5429 0,05687 0,02830 0,05687
19 23,5 0,5932 0,5429 0,5714 0,05033 0,02176 0,05033
20 22,3 0,6177 0,5714 0,6000 0,04628 0,01770 0,04628
21 21,1 0,6427 0,6000 0,6286 0,04266 0,01409 0,04266
22 18,6 0,6958 0,6286 0,6571 0,06719 0,03862 0,06719
23 18,2 0,7044 0,6571 0,6857 0,04722 0,01865 0,04722
24 16,2 0,7475 0,6857 0,7143 0,06183 0,03326 0,06183
25 16,2 0,7475 0,7143 0,7429 0,03326 0,00468 0,03326
26 14,8 0,7777 0,7429 0,7714 0,03488 0,00631 0,03488
27 14,5 0,7842 0,7714 0,8000 0,01275 0,01582 0,01582
28 11,2 0,8534 0,8000 0,8286 0,05339 0,02482 0,05339
29 10,2 0,8734 0,8286 0,8571 0,04480 0,01623 0,04480
30 9,72 0,8827 0,8571 0,8857 0,02558 0,00299 0,02558
31 9,24 0,8919 0,8857 0,9143 0,00618 0,02239 0,02239
32 8,9 0,8983 0,9143 0,9429 0,01601 0,04458 0,04458
33 8,23 0,9105 0,9429 0,9714 0,03233 0,06090 0,06090
34 4,92 0,9630 0,9714 1,0000 0,00846 0,03703 0,03703
Dmax = 0,11324
N0.5Dmax = 0,66032
Rys. 1.7. Położenie wartości Dmax na podziałce prawdopodobieństwa
21
5. Testowanie hipotezy H0(prawdziwy rozkład zmiennej Qmax jest rozkładem
Pearsona typ III) za pomocÄ… testu Ç2 Pearsona
Ustalić liczbę r przedziałów, na jakie będzie dzielony zakres zmienności zmiennej loso-
wej Qmax. Ponieważ N = 34, a r powinno być nie mniejsze od 4 oraz N/r e" 5, przyjęto r = 4,
Tabela 1.7. WartoÅ›ci potrzebne do obliczenia statystyki testowej Ç2
i p, % mi N/4
QÇ,i, [QÇ,i-1, QÇ,i,)
1 100 0
2 75 16,086 (0, 16,086) 9 8,5
3 50 28,328 [16,086, 28,328) 11 8,5
4 25 45,731 [28,328, 45,731) 4 8,5
5 0 10 8,5
" [45,731, ")
Szczegółowe obliczenia statystyki testowej Ç2 wyglÄ…dajÄ… nastÄ™pujÄ…co:
r
r
2
Ç =
"(m - N / r)2
i
N
i=1
1
Å‚Å‚
= îÅ‚ - 8,5)2 + (11- 8,5)2 + (4 -8,5)2 + (10 - 8,5)2 +ûÅ‚
ðÅ‚(9
8,5
= 3, 41
Przyjmując poziom istotności testu, ątest = 5% dostajemy z tabeli (1.7) wartość krytyczną
testu Ç2kr = Ç2(Ä…test=5%, ½=r 3=1) = 3,84, Wynik ten (3,41 < 3,84) oznacza, że nie ma pod-
staw do odrzucenia hipotezy zerowej, że rozkładem prawdopodobieństwa przepływów mak-
symalnych rzeki Czarnej w przekroju wodowskazowym Polana jest rozkład Pearsona typ III z
parametrami " = 0, Ä… = 0,0575,  = 1,95.
u²
6. Obliczenie i wykreÅ›lenie górnej granicy Qmax, p jednostronnego ²% przedziaÅ‚u ufnoÅ›ci
dla rzeczywistych prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Qmax,p
u²
Obliczenie Qmax, p dla przyjÄ™tej wartoÅ›ci ² = 84% (z tabeli 1.2) mamy u² = 0,994) wyma-
ga obliczenia wielkoÅ›ci Ã(Qmax,p) ze wzoru 1.23) dla przyjÄ™tych wartoÅ›ci p prawdopodobieÅ„-
u²
stwa przewyższenia a następnie wykorzystanie wzoru (1.22) na Qmax, p .
Aby obliczyć Ã(Qmax,p) należy skorzystać z tabeli 1.4, gdzie podane sÄ… wartoÅ›ci funkcji
Õ(p,). Ponieważ znaleziona wartość  = 1,95, konieczna jest interpolacja wartoÅ›ci funkcji
Õ(p,=1,95). Tabela 1.8 zawiera niezbÄ™dne szczegóły oraz uzyskane wyniki, rys. 1.8 ilustruje
całościowo wykonane zadanie.
22
Tabela 1.8. Interpolacja wartoÅ›ci Õ(p,=1,95) na podstawie danych z tabeli A1 (zaÅ‚Ä…cznik 1), obliczo-
u²
ne wartoÅ›ci bÅ‚Ä™du kwantyla Ã(Qmax,p) i górna granica Qmax, p 84% przedziaÅ‚u ufnoÅ›ci kwantyla
Qmax,p
 90% 80% 50% 20% 10% 5% 2% 1% 0,1%
1,9 0,714 0,855 1,214 2,122 2,951 3,837 5,055 5,998 9,205
2 0,76 0,898 1,254 2,167 3,001 3,891 5,112 6,056 9,265
1,95 0,737 0,8765 1,234 2,1445 2,976 3,864 5,0835 6,027 9,235
2,197 2,613 3,678 6,392 8,870 11,517 15,152 17,964 27,526
Ã(Qmax,p), m3/s
8,81 13,76 28,33 50,92 66,34 81,07 99,89 113,79 158,68
Qmax,p, m3/s
u²
Qmax, p , m3/s 11,00 16,37 32,01 57,31 75,21 92,59 115,04 131,75 186,20
Rys. 1.8. Finalna postać graficzna rozwiązywanego w przykładzie 2 zadania. Linia zielona oznacza
u²
górną granicę Qmax, p 84% przedziału ufności kwantyla Qmax,p.
1.2.3. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie
przewyższenia: rozkład logarytmiczno-normalny i rozkład Weibulla
Poniżej podane są podstawowe informacje pozwalające na obliczanie przepływów mak-
symalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia Qmax,p oraz prawdopo-
dobieństwa przewyższenia p w przypadku uzasadnionej konieczności zastosowania innego
rozkładu niż rozkład Pearsona typ III, tj. rozkładu logarytmiczno-normalnego lub rozkładu
Weibulla. PozostaÅ‚a część opisanej wyżej procedury: testy zgodnoÅ›ci  KoÅ‚mogorowa i Ç2
Pearsona stosują się również do tych rozkładów.
23
1.2.3.1. Rozkład logarytmiczno-normalny
Maksymalny przepływ prawdopodobny Qmax,p w trójparametrowym rozkładzie logaryt-
miczno-normalnym oblicza siÄ™ za pomocÄ… wzoru:
Q =" + exp(µ+ÃÅ"u ) (1.24)
max, pp
gdzie:
"  dolne ograniczenie przepływów Qmax: Qmax e" "; wartość odczytana z wykresu jak w
przykładzie 2;
µ  parametr rozkÅ‚adu obliczany metodÄ… najwiÄ™kszej wiarygodnoÅ›ci za pomocÄ… nastÄ™pu-
jÄ…cego wzoru:
N
1
µ = (1.25)
"ln(Q -")
max,i
N
i=1
à parametr rozkładu (odchylenie standardowe zmiennej ln(Qmax  ")), obliczany me-
todą największej wiarygodności za pomocą następującego wzoru:
N
2
1
à = (1.26)
"îÅ‚ln(Q -") - µÅ‚Å‚
max,i
ðÅ‚ûÅ‚
N
i=1
up  kwantyl rzędu p (p oznacza prawdopodobieństwo przewyższenia) w rozkładzie
standaryzowanym normalnym. Można skorzystać z tabeli 1.9 lub np. funkcji ROZ-
KA
AD.NORMALNY.S.ODW(1-p) arkusza kalkulacyjnego MS Excel.
Tabela1.9. Wartości kwantyla up w rozkładzie standaryzowanym normalnym; p oznacza prawdopo-
dobieństwo przewyższenia. Przykład odczytu: u0,053 = 1,61644. Dla p > 0,5 stosować wzór: up = -u1-p.
Przykład: u0,947 = -u0,053 = -1,61644.
p 0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009
0 3,09024 2,87815 2,74777 2,65209 2,57583 2,51213 2,45727 2,40892 2,36561
"
0,01 2,32634 2,29036 2,25713 2,22621 2,19728 2,17009 2,14441 2,12007 2,09693 2,07485
0,02 2,05375 2,03352 2,01409 1,99539 1,97737 1,95996 1,94314 1,92684 1,91103 1,89570
0,03 1,88079 1,86629 1,85218 1,83843 1,82501 1,81191 1,79912 1,78661 1,77438 1,76241
0,04 1,75069 1,73920 1,72793 1,71688 1,70604 1,69540 1,68494 1,67466 1,66456 1,65463
0,05 1,64485 1,63524 1,62576 1,61644 1,60725 1,59819 1,58927 1,58047 1,57179 1,56322
0,06 1,55477 1,54643 1,53820 1,53007 1,52203 1,51410 1,50626 1,49852 1,49085 1,48328
0,07 1,47579 1,46838 1,46106 1,45380 1,44663 1,43953 1,43250 1,42554 1,41865 1,41183
0,08 1,40507 1,39838 1,39175 1,38517 1,37866 1,37220 1,36581 1,35946 1,35317 1,34694
0,09 1,34075 1,33462 1,32854 1,32251 1,31652 1,31058 1,30469 1,29884 1,29303 1,28727
0,10 1,28155 1,27588 1,27024 1,26464 1,25908 1,25357 1,24809 1,24264 1,23724 1,23187
0,11 1,22653 1,22123 1,21596 1,21073 1,20553 1,20036 1,19522 1,19012 1,18504 1,18000
0,12 1,17499 1,17000 1,16505 1,16012 1,15522 1,15035 1,14550 1,14069 1,13590 1,13113
0,13 1,12639 1,12168 1,11699 1,11232 1,10768 1,10306 1,09847 1,09390 1,08935 1,08482
0,14 1,08032 1,07584 1,07138 1,06694 1,06252 1,05812 1,05375 1,04939 1,04505 1,04073
0,15 1,03643 1,03215 1,02789 1,02365 1,01943 1,01522 1,01104 1,00687 1,00271 0,99858
24
0,16 0,99446 0,99036 0,98627 0,98220 0,97815 0,97411 0,97009 0,96609 0,96210 0,95813
0,17 0,95416 0,95022 0,94629 0,94238 0,93848 0,93459 0,93072 0,92686 0,92301 0,91918
0,18 0,91537 0,91156 0,90777 0,90399 0,90023 0,89647 0,89273 0,88901 0,88529 0,88159
0,19 0,87790 0,87422 0,87055 0,86689 0,86325 0,85962 0,85600 0,85239 0,84879 0,84520
0,20 0,84162 0,83805 0,83450 0,83095 0,82742 0,82389 0,82038 0,81687 0,81338 0,80990
0,21 0,80642 0,80296 0,79950 0,79606 0,79262 0,78919 0,78577 0,78237 0,77897 0,77557
0,22 0,77219 0,76882 0,76546 0,76210 0,75875 0,75541 0,75208 0,74876 0,74545 0,74214
0,23 0,73885 0,73556 0,73228 0,72900 0,72574 0,72248 0,71923 0,71599 0,71275 0,70952
0,24 0,70630 0,70309 0,69988 0,69668 0,69349 0,69031 0,68713 0,68396 0,68080 0,67764
0,25 0,67449 0,67135 0,66821 0,66508 0,66196 0,65884 0,65573 0,65262 0,64952 0,64643
0,26 0,64334 0,64027 0,63719 0,63412 0,63106 0,62801 0,62496 0,62191 0,61887 0,61584
0,27 0,61281 0,60979 0,60678 0,60376 0,60076 0,59776 0,59477 0,59178 0,58879 0,58581
0,28 0,58284 0,57987 0,57691 0,57395 0,57100 0,56805 0,56511 0,56217 0,55924 0,55631
0,29 0,55338 0,55046 0,54755 0,54464 0,54174 0,53884 0,53594 0,53305 0,53016 0,52728
0,30 0,52440 0,52153 0,51866 0,51579 0,51293 0,51007 0,50722 0,50437 0,50153 0,49869
0,31 0,49585 0,49302 0,49019 0,48736 0,48454 0,48173 0,47891 0,47610 0,47330 0,47050
0,32 0,46770 0,46490 0,46211 0,45933 0,45654 0,45376 0,45099 0,44821 0,44544 0,44268
0,33 0,43991 0,43715 0,43440 0,43164 0,42889 0,42615 0,42341 0,42066 0,41793 0,41519
0,34 0,41246 0,40974 0,40701 0,40429 0,40157 0,39886 0,39614 0,39343 0,39073 0,38802
0,35 0,38532 0,38262 0,37993 0,37723 0,37454 0,37186 0,36917 0,36649 0,36381 0,36113
0,36 0,35846 0,35579 0,35312 0,35045 0,34779 0,34513 0,34247 0,33981 0,33716 0,33450
0,37 0,33185 0,32921 0,32656 0,32392 0,32128 0,31864 0,31600 0,31337 0,31074 0,30811
0,38 0,30548 0,30285 0,30023 0,29761 0,29499 0,29238 0,28976 0,28715 0,28454 0,28193
0,39 0,27932 0,27671 0,27411 0,27151 0,26891 0,26631 0,26371 0,26112 0,25853 0,25594
0,40 0,25335 0,25076 0,24817 0,24559 0,24301 0,24043 0,23785 0,23527 0,23269 0,23012
0,41 0,22755 0,22497 0,22240 0,21983 0,21727 0,21470 0,21214 0,20957 0,20701 0,20445
0,42 0,20189 0,19934 0,19678 0,19422 0,19167 0,18912 0,18657 0,18402 0,18147 0,17892
0,43 0,17637 0,17383 0,17129 0,16874 0,16620 0,16366 0,16112 0,15858 0,15604 0,15350
0,44 0,15097 0,14843 0,14590 0,14337 0,14084 0,13830 0,13577 0,13324 0,13072 0,12819
0,45 0,12566 0,12314 0,12061 0,11809 0,11556 0,11304 0,11052 0,10799 0,10547 0,10295
0,46 0,10043 0,09791 0,09540 0,09288 0,09036 0,08784 0,08533 0,08281 0,08030 0,07778
0,47 0,07527 0,07276 0,07024 0,06773 0,06522 0,06271 0,06019 0,05768 0,05517 0,05266
0,48 0,05015 0,04764 0,04513 0,04263 0,04012 0,03761 0,03510 0,03259 0,03008 0,02758
0,49 0,02507 0,02256 0,02005 0,01755 0,01504 0,01253 0,01003 0,00752 0,00501 0,00251
0,50 0
u²
Wielkość górnej granicy Qmax, p jednostronnego ²% przedziaÅ‚u ufnoÅ›ci dla rzeczywistych
prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Qmax,p w rozkładzie log-normalnym
z dwoma parametrami obliczanymi metodą największej wiarygodności oblicza się ze wzoru
[6]:
îÅ‚Å‚Å‚
à 1
u²
Qmax, p = Qmax, p exp (1.27)
ïÅ‚u 1+ up śł
²
2
N
ðÅ‚ûÅ‚
gdzie:
Qmax,p  kwantyl rzędu p obliczany wzorem (1.24);
u²  kwantyl rzÄ™du ² w standaryzowanym rozkÅ‚adzie normalnym; w tabeli A3 (zaÅ‚Ä…cznik
A) podane sÄ… niektóre wartoÅ›ci (² oznacza prawdopodobieÅ„stwo nieprzewyższenia);
up  kwantyl rzędu p w standaryzowanym rozkładzie normalnym; można skorzystać z
tabeli 1.9. lub np. funkcji ROZKA
AD.NORMALNY.S.ODW(1-p) arkusza kalkulacyj-
nego MS Excel.
25
 Ã  odchylenie standardowe zmiennej ln(Qmax ") obliczane wzorem (1.26).
Teoretyczne prawdopodobieństwo P(Qmax e" x) przewyższenia wartości x przez przepływ
Qmax w trójparametrowym rozkładzie logarytmiczno-normalnym oblicza się za pomocą wzo-
ru:
ln(x-") -µ
P(Qmax e" x) =1-ÅšëÅ‚öÅ‚ (1.28)
ìÅ‚÷Å‚
Ã
íÅ‚Å‚Å‚
gdzie:
Ś(u) jest dystrybuantą (prawdopodobieństwem nieprzewyższenia) standaryzowanego roz-
kładu normalnego; do jej obliczenia można skorzystać np. z arkusza kalkulacyjnego
MS Excel: Åš(u) = ROZKA
AD.NORMALNY.S(u) lub skorzystać z tabeli 1.10.
Tabela 1.10. Wartości dystrybuanty Ś(u) (prawdopodobieństwa nieprzewyższenia) standaryzowanego
rozkładu normalnego dla u e" 0. Przykład odczytu: Ś(u=0.43) = 0,33360. Dla u < 0 stosować wzór:
Ś(u)= 1-Ś(-u). Przykład: Ś(u=-0.43) = 1-Ś(u=0.43) = 1-0,333601 = 0.666399.
p 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,50000 0,49601 0,49202 0,48803 0,48405 0,48006 0,47608 0,47210 0,46812 0,46414
0,1 0,46017 0,45620 0,45224 0,44828 0,44433 0,44038 0,43644 0,43251 0,42858 0,42465
0,2 0,42074 0,41683 0,41294 0,40905 0,40517 0,40129 0,39743 0,39358 0,38974 0,38591
0,3 0,38209 0,37828 0,37448 0,37070 0,36693 0,36317 0,35942 0,35569 0,35197 0,34827
0,4 0,34458 0,34090 0,33724 0,33360 0,32997 0,32636 0,32276 0,31918 0,31561 0,31207
0,5 0,30854 0,30503 0,30153 0,29806 0,29460 0,29116 0,28774 0,28434 0,28096 0,27760
0,6 0,27425 0,27093 0,26763 0,26435 0,26109 0,25785 0,25463 0,25143 0,24825 0,24510
0,7 0,24196 0,23885 0,23576 0,23270 0,22965 0,22663 0,22363 0,22065 0,21770 0,21476
0,8 0,21186 0,20897 0,20611 0,20327 0,20045 0,19766 0,19489 0,19215 0,18943 0,18673
0,9 0,18406 0,18141 0,17879 0,17619 0,17361 0,17106 0,16853 0,16602 0,16354 0,16109
1,0 0,15866 0,15625 0,15386 0,15151 0,14917 0,14686 0,14457 0,14231 0,14007 0,13786
1,1 0,13567 0,13350 0,13136 0,12924 0,12714 0,12507 0,12302 0,12100 0,11900 0,11702
1,2 0,11507 0,11314 0,11123 0,10935 0,10749 0,10565 0,10383 0,10204 0,10027 0,09853
1,3 0,09680 0,09510 0,09342 0,09176 0,09012 0,08851 0,08692 0,08534 0,08379 0,08226
1,4 0,08076 0,07927 0,07780 0,07636 0,07493 0,07353 0,07215 0,07078 0,06944 0,06811
1,5 0,06681 0,06552 0,06426 0,06301 0,06178 0,06057 0,05938 0,05821 0,05705 0,05592
1,6 0,05480 0,05370 0,05262 0,05155 0,05050 0,04947 0,04846 0,04746 0,04648 0,04551
1,7 0,04457 0,04363 0,04272 0,04182 0,04093 0,04006 0,03920 0,03836 0,03754 0,03673
1,8 0,03593 0,03515 0,03438 0,03362 0,03288 0,03216 0,03144 0,03074 0,03005 0,02938
1,9 0,02872 0,02807 0,02743 0,02680 0,02619 0,02559 0,02500 0,02442 0,02385 0,02330
2,0 0,02275 0,02222 0,02169 0,02118 0,02068 0,02018 0,01970 0,01923 0,01876 0,01831
2,1 0,01786 0,01743 0,01700 0,01659 0,01618 0,01578 0,01539 0,01500 0,01463 0,01426
2,2 0,01390 0,01355 0,01321 0,01287 0,01255 0,01222 0,01191 0,01160 0,01130 0,01101
2,3 0,01072 0,01044 0,01017 0,00990 0,00964 0,00939 0,00914 0,00889 0,00866 0,00842
2,4 0,00820 0,00798 0,00776 0,00755 0,00734 0,00714 0,00695 0,00676 0,00657 0,00639
2,5 0,00621 0,00604 0,00587 0,00570 0,00554 0,00539 0,00523 0,00508 0,00494 0,00480
2,6 0,00466 0,00453 0,00440 0,00427 0,00415 0,00402 0,00391 0,00379 0,00368 0,00357
2,7 0,00347 0,00336 0,00326 0,00317 0,00307 0,00298 0,00289 0,00280 0,00272 0,00264
2,8 0,00256 0,00248 0,00240 0,00233 0,00226 0,00219 0,00212 0,00205 0,00199 0,00193
2,9 0,00187 0,00181 0,00175 0,00169 0,00164 0,00159 0,00154 0,00149 0,00144 0,00139
3,0 0,00135 0,00131 0,00126 0,00122 0,00118 0,00114 0,00111 0,00107 0,00104 0,00100
3,1 0,00097 0,00094 0,00090 0,00087 0,00084 0,00082 0,00079 0,00076 0,00074 0,00071
3,2 0,00069 0,00066 0,00064 0,00062 0,00060 0,00058 0,00056 0,00054 0,00052 0,00050
3,3 0,00048 0,00047 0,00045 0,00043 0,00042 0,00040 0,00039 0,00038 0,00036 0,00035
3,4 0,00034 0,00032 0,00031 0,00030 0,00029 0,00028 0,00027 0,00026 0,00025 0,00024
26
3,5 0,00023 0,00022 0,00022 0,00021 0,00020 0,00019 0,00019 0,00018 0,00017 0,00017
3,6 0,00016 0,00015 0,00015 0,00014 0,00014 0,00013 0,00013 0,00012 0,00012 0,00011
3,7 0,00011 0,00010 0,00010 0,00010 0,00009 0,00009 0,00008 0,00008 0,00008 0,00008
1.2.3.2. Rozkład Weibulla
Maksymalny przepływ prawdopodobny Qmax,p w trójparametrowym rozkładzie We-
ibulla oblicza siÄ™ za pomocÄ… wzoru:
1 1/ ²
Qmax, p =" + p) (1.30)
[-ln(
]
Ä…
gdzie:
"  dolne ograniczenie przepływów Qmax: Qmax e" "; wartość odczytana z wykresu jak w
przykładzie 2;
²  parametr ksztaÅ‚tu rozkÅ‚adu, ² > 0; obliczany metodÄ… najwiÄ™kszej wiarygodnoÅ›ci przez
rozwiązania następującego równania (" znane):
N
"(Q -")² ln(Qmax,i -")
max,i
N
1 1
i=1
+ = 0 (1.31)
"ln(Q -") - N
max,i
² N
i=1
"(Q -")²
max,i
i=1
ą  parametr skali rozkładu, ą > 0; obliczany metodą największej wiarygodności za po-
mocÄ… nastÄ™pujÄ…cego wzoru (" i ² znane):
-1/ ²
N
îÅ‚ 1
Ä… = (1.32)
"(Q -")² Å‚Å‚
max,i
ïłśł
N
ðÅ‚ i=1 ûÅ‚
Prawdopodobieństwo P(Qmax e" x) przewyższenia wartości x przez przepływ Qmax w trój-
parametrowym rozkładzie Weibulla oblicza się za pomocą wzoru:
²
P(Qmax e" x) = exp -[Ä…(x-") (1.33)
]
( )
u²
Wielkość górnej granicy Qmax, p jednostronnego ²% przedziaÅ‚u ufnoÅ›ci dla rzeczywistych
prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Qmax,p oblicza się ze wzoru
27
u²
Qmax, p = Qmax, p + u²Ã Qmax, p (1.34)
( )
gdzie:
u²  kwantyl rzÄ™du ² w standaryzowanym rozkÅ‚adzie normalnym; w tabeli A3 (zaÅ‚Ä…cznik
A) podane są niektóre wartości.
Ã(Qmax,p)  asymptotyczne odchylenie standardowe kwantyla Qmax,p w rozkÅ‚adzie We-
ibulla z dwoma parametrami obliczanymi metodą największej wiarygodności [1], ob-
liczane wzorem:
2
2
Qmax, p “ (2)
[ - ln(-ln p)
]
à Qmax, p = 1+ (1.35)
( )
2
(Ä„ / 6)
² N
Prawdopodobieństwo P(Qmax e" x) przewyższenia wartości x przez przepływ Qmax w trój-
parametrowym rozkładzie Weibulla oblicza się za pomocą wzoru:
²
P(Qmax e" x) = exp -[Ä…(x-") (1.36)
]
( )
28
2. Przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym
 krótki ciąg przepływów maksymalnych rocznych
W przypadku krótkich ciągów przepływów maksymalnych rocznych, gdy ich liczebność
jest mniejsza od 30 ciąg należy uzupełnić wykorzystując obserwacje z przekroju wodowska-
zowego położonego w zlewni o podobnych warunkach formowania się odpływów wezbra-
niowych. Do przeniesienia informacji należy zastosować metodę regresyjną.
2.1. Metoda regresyjna
Metoda uzupełniania informacji hydrologicznej powinna być oparta na równaniu regresji
pomiędzy przepływami w przekrojach wodowskazowych o podobnym reżimie hydrologicz-
nym z długą serią obserwacyjną (kontrolowane przez IMGW), a przepływami w przekroju
kontrolowanym posiadającym krótki ciąg obserwacyjny. W oparciu o przepływy synchro-
niczne w obydwu przekrojach należy określić funkcję regresji.
Do określenia funkcji korelacyjnej należy przyjąć kryterium w postaci minimalnej warto-
ści sumy kwadratów różnic pomiędzy wartościami obliczonymi z równania, które najlepiej
opisuje zależność występującą pomiędzy przepływami w dwóch przekrojach w odniesieniu
do wartości pomierzonych:
2
n
[f (Qwi )- Qui ] min (2.1)
"
i=1
gdzie f (Qwi ) - funkcja regresji,
Qwi - przepływ w przekroju wodowskazowym w m3s-1,
Qui - przepływ w przekroju niekontrolowanym w m3s-1.
Funkcja regresji powinna odzwierciedlać charakter zależności, jaki występuje między
przepływami w analizowanych przekrojach. W zdecydowanej większości przypadków zaob-
serwowano liniową zależność pomiędzy przepływami, zatem można przyjąć, że regresję opi-
suje równanie liniowe w postaci:
f (Qw) =b Qw + a (2.2)
gdzie: a, b  współczynniki równania.
 Na etapie estymacji parametrów równania należy określić w każdym przekroju współ-
czynniki a i b poszukując funkcji Qu =b Qw + a , a równanie 4.2 przyjmuje postać:
2
n
[(b Qwi + a)- Qui ] min (2.3)
"
i=1
Ponieważ suma kwadratów odchyleń wartości obliczonych i pomierzonych musi
zgodnie z równaniem (2.3) przyjmować wartości minimalne, to zagadnienie estymacji spro-
wadza się do poszukiwania minimum funkcji względem parametrów a i b, współczynników
regresji liniowej.
Warunkiem koniecznym i wystarczajÄ…cym istnienia minimum funkcji jest rozwiÄ…zanie
układu równań normalnych:
n n
n Å"a +b = Qui
"Qwi "
i =1 i =1
(2.4)
n n n
2
a + +b = Qui
"Qwi "Qwi "Qwi
i =1 i =1 i =1
Rozwiązując układ równań (2.4) otrzymuje się dwa równania, z których oblicza się
współczynniki:
n n n
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
1
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
Qui -
"Qwi "Qwi "Qui
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
n
i =1 i =1 i =1
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
b = (2.5)
n n
1
2 2
- (Qwi )
"Qwi "
n
i =1 i =1
oraz
a = Qu -b Qw (2.6)
Gdzie Qu - średnia wartość przepływu w przekroju niekontrolowanym w m3s-1, Qw - średnia
wartość przepływu w przekroju wodowskazowym w m3s-1.
Klasyczną miarą zmienności jest wariancja, która utożsamiana jest ze zróżnicowaniem
zbiorowości wokół wartości średniej. Jest to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń po-
mierzonych wartości przepływów od średniej arytmetycznej, w zbiorze wyrażona wzorem:
30
2
n
1
2
sQu = (Qui -Qu) (2.7)
"
n
i =1
Liczba określająca zależność liniową między przepływami w przekroju niekontrolowa-
nym i w przekroju wodowskazowym cieku analoga jest kowariancja określona wzorem:
n n n
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
1
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
cQw ,Qu = Qui - Qui (2.8)
"Qwi "Qwi "
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
n
i =1 i =1 i =1
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
Przy założeniu liniowej regresji, oblicza się współczynnik korelacji wyrażony wzorem:
cQw ,Qu
rQw ,Qu = (2.9)
2
s2 Å" sQu
Qw
gdzie: cQw ,Qu - kowariancja przepływów w odpowiednich przekrojach wodowskazowych,
2 2
sQw , sQu - wariancja przepływów w odpowiednich przekrojach wodowskazowych.
Miarą dopasowania modelu do synchronicznych pomiarów przepływu jest współczynnik
2
determinacji rQw ,Qu , który przyjmuje wartości z przedziału [0, 1]. Adekwatność modelu jest
tym lepsze im większa jest wartość r2.
Dla oceny istotności regresji w zbiorze wartości synchronicznych przepływów pomierzo-
nych w przekroju wodowskazowym cieku analoga Qw i przekroju niekontrolowanym Qu prze-
testowano hipotezy H0 : B = 0 oraz alternatywnÄ… H1 : B `" 0.
Jeżeli b jest oceną parametru B, równanie populacji ma postać:
Qu = B Qw + A (2.10)
Dla weryfikacji hipotezy należy obliczyć statystykę t o rozkładzie t-Studenta:
b - B
t = (2.11)
sb
Wariancja odchylenia od krzywej regresji ma postać:
2
s2 - bÅ" sQw ,Qu
Qu
2
sQw ,Qu = (2.12)
n - 2
31
Błąd współczynnika regresji oblicza się ze wzoru:
2
sQw , Qu
sb = (2.13
2
sQw
Dla liczby stopni swobody określonej wzorem v = n  k  1 należy obliczyć wartość kry-
tyczną testu na poziomie istotności ą = 0,05.
Przykład 2.1. Określić równanie regresji do przeniesienia przepływów maksymalnych rocz-
nych z przekroju wodowskazowego Rajcza na rzece Sole (długi ciąg obserwacyjny) do prze-
kroju wodowskazowego Cięcina na Sole (krótki ciąg obserwacyjny) i obliczyć krzywe praw-
dopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych. Wartości obserwowanych przepły-
wów zestawiono w tabeli.
Tabela 2.1. Przepływy maksymalne roczne
Przepływ Przepływ
Wod. Wod.
Lp Rok Cięcina Rajcza
Qmax Qmax
[m3/s [m3/s]
1 1995 87,2 57,2
2 1994 81,9 39,8
3 1993 65,8 42,1
4 1992 44,8 25,5
5 1991 96,8 69,6
6 1990 129,0 50,3
7 1989 78,8 69,5
8 1988 50,4 70,7
9 1987 69,3 51,5
10 1986 75,5 50,0
11 1985 131,0 63,5
12 1984 90,0 58,8
13 1983 142,0 51,0
14 1982 196,0 97,5
15 1981 123,0 79,9
16 1980 133,0
17 1979 39,8
18 1978 52,8
19 1977 62,4
20 1976 42,5
21 1975 68,0
22 1974 65,6
23 1973 46,0
24 1972 126,0
25 1971 51,0
26 1970 233,0
27 1969 32,0
32
28 1968 108,0
29 1967 35,6
30 1966 42,3
31 1965 104,0
32 1964 39,7
33 1963 46,9
34 1962 57,8
35 1961 35,0
36 1960 116,0
37 1959 142,0
38 1958 50,0
39 1957 65,6
40 1956 34,9
41 1955 85,6
42 1954 29,8
43 1953 39,5
44 1952 85,6
45 1951 76,0
Obliczenie współczynników a i b równania regresji
n n n
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
1
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
Qui -
"Qwi "Qwi "Qui
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
n
i =1 i =1 i =1
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
b = =1,4067
n n
1
2 2
- (Qwi )
"Qwi "
n
i =1 i =1
a = Qu -b Qw =15,198
Ostatecznie równanie regresji ma postać:
Qu =1,4065 Qw +15,195
Dla synchronicznych obserwacji w przekroju wodwskazowym Rajcza i Cięcina na rzece
Sole krzywÄ… regresji pokazano na rys. 2.1.
33
250,0
200,0
150,0
100,0
50,0
Qmax obserw.
Qmax oblicz.
0,0
0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 120,0
Przepływy QR [m3/s]
Rys. 2.1. Równanie regresji do przeniesienia przepływów z przekroju wodowskazowego
Rajcza do przekroju wodowskazowego Cięcina
Uzupełnione (obliczone równaniem regresji) wartości przepływów maksymalnych rocznych
zestawiono w tabeli 2.2.
Tabela 2.2. Przepływy maksymalne roczne obserwowane i uzupełnione
Przepływ Przepływ
Wod. Wod.
Lp Rok Cięcina Rajcza
Qmax Qmax
[m3/s [m3/s]
1 1995 87,2 57,2
2 1994 81,9 39,8
3 1993 65,8 42,1
4 1992 44,8 25,5
5 1991 96,8 69,6
6 1990 129,0 50,3
7 1989 78,8 69,5
8 1988 50,4 70,7
9 1987 69,3 51,5
10 1986 75,5 50,0
11 1985 131,0 63,5
12 1984 90,0 58,8
13 1983 142,0 51,0
14 1982 196,0 97,5
34
3
C
Przepływy Q
[m /s]
15 1981 123,0 79,9
16 1980 175,8 133,0
17 1979 99,1 39,8
18 1978 109,9 52,8
19 1977 119,5 62,4
20 1976 123,1 42,5
21 1975 121,3 68,0
22 1974 176,7 65,6
23 1973 119,5 46,0
24 1972 279,5 126,0
25 1971 138,1 51,0
26 1970 221,3 233,0
27 1969 83,2 32,0
28 1968 150,1 108,0
29 1967 96,6 35,6
30 1966 101,2 42,3
31 1965 157,0 104,0
32 1964 104,0 39,7
33 1963 118,3 46,9
34 1962 123,1 57,8
35 1961 82,9 35,0
36 1960 211,8 116,0
37 1959 105,1 142,0
38 1958 214,4 50,0
39 1957 165,6 65,6
40 1956 97,0 34,9
41 1955 174,1 85,6
42 1954 73,0 29,8
43 1953 106,8 39,5
44 1952 133,0 85,6
45 1951 112,3 76,0
Obliczone przepływy maksymalne roczne przedstawione w tabeli 2.3 porównano na rys.
2.2. z przepływami maksymalnymi o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia dla
długiego ciągu obserwacyjnego.
Tabela 2.3. Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia dla
ciÄ…gu obserwowanego i obliczonego metoda regresji
Górna gr. Górna gr.
CiÄ…g CiÄ…g
Prawdop. przedziału przedziału
obserwow. obliczony
p ufności ufności
Qmaxp% Qmaxp%
[%} Qmaxp% + Ã Qmaxp% + Ã
[m3/s] [m3/s]
[m3/s] [m3/s]
0,1 350,275 358,313
398,17 403,31
0,5 289,844 301,388
326,11 335,52
1 263,305 276,356
294,63 305,87
5 199,791 216,325
219,92 235,37
10 171,144 189,17
186,68 203,91
15 153,791 172,686
166,76 185,01
35
20 141,102 160,611
152,33 171,30
25 130,978 150,961
140,92 160,44
30 122,471 142,839
131,41 151,39
35 115,071 135,765
123,22 143,56
40 108,471 129,444
115,97 136,63
45 102,467 123,685
109,42 130,37
50 96,916 118,351
103,42 124,61
55 91,712 113,341
60 86,769 108,573
65 82,015 103,977
70 77,384 99,489
75 72,805 95,039
80 68,197 90,545
85 63,443 85,888
90 58,339 80,858
95 52,384 74,934
100 40,32 62,37
450
400
350
300
250
200
150
100
Qmaxp% - metoda regresyjna
50
Qmaxp% - wartości obserwowane
0
100 10 1 0,1
Prawdopodobieństwo przewyższenia p [%]
Rys. 2.2. Krzywe prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdo-
podobieństwie przewyższenia, ciąg obserwowany (linia czerwona) i ciąg obliczony metodą regresji
(linia niebieska)
36
3
maxp%
Przepływ Q
[m /s]
3. Przekrój obliczeniowy nie pokrywa się z przekrojem wodowskazowym
3.1. Metoda ekstrapolacyjna
Jeżeli przekrój niekontrolowany położony jest powyżej lub poniżej przekroju wodowska-
zowego (rys. 3.1 i 3.2) przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia w przekroju niekontrolowanym należy obliczyć korzystając ze wzoru ekstra-
polacyjnego:
n
ëÅ‚ öÅ‚
AX
ìÅ‚ ÷Å‚
QX = k QW ìÅ‚ ÷Å‚ (3.1)
AW
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie: QX - przepływy w przekroju niekontrolowanym w m3/s,
QW - przepływy w przekroju wodowskazowym cieku analoga w m3/s,
AX - powierzchnia zlewni do przekroju niekontrolowanego w km2,
AW - powierzchnia zlewni do przekroju wodowskazowego w km2,
k, n - parametry równania ekstrapolacyjnego.
AX
AW
Przekrój
wodowskazowy
AX
W
Przekrój
niekontrolowany
Rys. 3.1. Położenie przekroju niekontrolowanego względem przekroju wodowskazowego na tym
samym cieku
37
A
AX
Przekrój
Przekrój
wodowskazowy W
niekontrolowany X
Rys. 3.2. Położenie przekroju niekontrolowanego względem przekroju wodowskazowego
na innym cieku
We wzorze ekstrapolacyjnym najważniejszą charakterystyką fizjograficzną, kształtującą
przepływ jest powierzchnia zlewni do przekroju wodowskazowego AW i niekontrolowanego
AX.
Przy wyborze reprezentatywnych zlewni, z których ostatecznie zostanie wskazana zlewnia
podobna, bierze się pod uwagą czynniki wpływające na kształtowanie się odpływu, wśród
których obok danych klimatycznych, morfologicznych należy uwzględnić również parametry
charakteryzujące budowę geologiczną, która w istotnym stopniu decyduje o odpływie w okre-
sie bezopadowym (niżówkowym). Parametr k obliczony wzorem (2.2) grupuje istotne, często
subiektywnie dobrane wielkości odpowiednie dla określonych przepływów charakterystycz-
nych w zlewni niekontrolowanej i zlewni analoga.
ci
r
ëÅ‚ öÅ‚
bXi
ìÅ‚ ÷Å‚
k = a
" (3.2)
ìÅ‚ ÷Å‚
bWi
i =1
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie: bXi  charakterystyki fizjograficzne i klimatyczne w zlewni do przekroju niekontrolo-
wanego,
bWi  charakterystyki fizjograficzne i klimatyczne w zlewni podobnej do przekroju
wodowskazowego,
38
 a, ci  parametry równania regresji wielokrotnej,
r  liczba przyjętych do analizy wartości.
W praktyce często stosowana jest uproszczona postać równania (3.1) zakładająca, że
czynniki kształtujące odpływ w zlewni niekontrolowanej i kontrolowanej są w przybliżeniu
takie same (k = 1), a wykładnik potęgi n jest zależny od rodzaju przepływu charakterystycz-
nego (dla przepływów maksymalnych n = 2/3).
Równanie (3.1) przy założeniu, że odpływ jednostkowy jest taki sam w obydwu zlew-
niach ma wtedy postać:
n
ëÅ‚ öÅ‚
AX
ìÅ‚ ÷Å‚
QX = QW ìÅ‚ ÷Å‚ (3.3)
AW
íÅ‚ Å‚Å‚
Objaśnienia jak we wzorze 3.1.
Założenie to nie uwzględnia zmian zagospodarowania przestrzennego, które mogą
wpływać na warunki formowania się odpływu oraz zmienności przepływów w strefie prze-
pływów wysokich, gdy istotną rolę odgrywa nie tylko powierzchnia zasilania cieku, a spadki
terenu i szorstkość terenu.
3.2. Metoda interpolacji
Metodę interpolacyjną stosuje się w przypadku, gdy przekrój niekontrolowany znajduje sie
pomiędzy przekrojami wodowskazowymi położonymi na tym samym cieku (rys. 3.4) powy-
żej (wodowskaz górny WG) i poniżej (wodowskaz dolny WD).
Przepływ maksymalny roczny w przekroju niekontrolowanym oblicza się ze wzoru:
ëÅ‚ - QG ÷Å‚
öÅ‚
QD
(3.4)
ìÅ‚
QX = QG + (AX - AG )
ìÅ‚
AD - AG ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie: QX  przepływ w przekroju niekontrolowanym w m3/s,
QG  przepływ w przekroju wodowskazowym górnym w m3/s,
QD  przepływ w przekroju wodowskazowym dolnym w m3s-1,
AX  powierzchnia zlewni do przekroju niekontrolowanego w km2,
AG  powierzchnia zlewni do przekroju wodowskazowego górnego w km2,
AD  powierzchnia zlewni do przekroju wodowskazowego dolnego w km2.
39
AG
AX
Przekrój
wodowskazowy G
Przekrój
AD
niekontrolowany X
Przekrój
wodowskazowy D
Rys. 3.4. Położenie przekroju niekontrolowanego względem przekrojów wodowskazowych
na tym samym cieku
Przykład 3.1. Stosując uproszczone równanie ekstrapolacji określić przepływy maksymalne
w przekroju Cięcina na Sole (przekrój niekontrolowany) w oparciu o przepływy maksymalne
w przekroju wodowskazowym Rajcza na tej samej rzece.
Wartości niezbędne do obliczenia przepływów są powierzchnie zlewni do przekroju
wodowskazowego Rajcza i Cięcina (tabela 3.3).
Tabela 3.3. Powierzchnie zlewni do przekroju wodowskazowego i niekontrolowanego
Powierzchnia
zlewni
Rzeka Wodowskaz Km
A
[km2]
Soła Cięcina 58+500 426,9
Soła Rajcza 75+000 254,0
W tabeli 3.4. zestawiono obliczone wzorem ekstrapolacyjnym wartości przepływów maksy-
malnych rocznych w przekroju wodowskazowym Cięcina (przekrój niekontrolowany).
40
Tabela 3.4. Przepływy maksymalne roczne
Przepływ Przepływ
Wod. Wod.
Lp Rok Cięcina Rajcza
Qmax Qmax
[m3/s [m3/s]
1 1995 87,2 57,2
2 1994 81,9 39,8
3 1993 65,8 42,1
4 1992 44,8 25,5
5 1991 96,8 69,6
6 1990 129 50,3
7 1989 78,8 69,5
8 1988 50,4 70,7
9 1987 69,3 51,5
10 1986 75,5 50,0
11 1985 131 63,5
12 1984 90 58,8
13 1983 142 51,0
14 1982 196 97,5
15 1981 123 79,9
16 1980 222,8 133,0
17 1979 66,7 39,8
18 1978 88,5 52,8
19 1977 104,5 62,4
20 1976 71,2 42,5
21 1975 113,9 68,0
22 1974 109,9 65,6
23 1973 77,1 46,0
24 1972 211,1 126,0
25 1971 85,4 51,0
26 1970 390,4 233,0
27 1969 53,6 32,0
28 1968 180,9 108,0
29 1967 59,6 35,6
30 1966 70,9 42,3
31 1965 174,2 104,0
32 1964 66,5 39,7
33 1963 78,6 46,9
34 1962 96,8 57,8
35 1961 58,6 35,0
36 1960 194,4 116,0
37 1959 237,9 142,0
38 1958 83,8 50,0
39 1957 109,9 65,6
40 1956 58,5 34,9
41 1955 143,4 85,6
42 1954 49,9 29,8
43 1953 66,2 39,5
44 1952 143,4 85,6
45 1951 127,3 76,0
41
 Obliczone przepływy maksymalne roczne przedstawione w tabeli 3.5 porównano na rys.
3.2. z przepływami maksymalnymi o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia z
przepływami dla długiego ciągu obserwacyjnego.
Tabela 3.5. Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia dla
ciÄ…gu obserwowanego i obliczonego metoda analogii hydrologicznej
Górna gr. Górna gr.
CiÄ…g CiÄ…g
Prawdop. przedziału przedziału
obserwow. obliczony
p ufności ufności
Qmaxp% Qmaxp%
[%} Qmaxp% + Ã Qmaxp% + Ã
[m3/s] [m3/s]
[m3/s] [m3/s]
0,1 365,5 420,1 325,6 380,2
1 271,3 306,4 236,1 271,3
2 242,0 271,5 208,7 238,2
10 171,3 188,1 143,6 160,3
20 138,8 150,6 114,4 126,1
50 91,0 97,4 73,0 79,4
80 59,9 64,1 48,2 52,4
90 49,3 52,6 40,6 43,8
95 42,9 36,4
99 35,4 32,1
600,0
500,0
400,0
300,0
200,0
100,0
0,0
100 10 1 0,1
Prawdopodobieństwo przewyższenia p [%]
Rys. 3.2. Krzywe prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdo-
podobieństwie przewyższenia, ciąg obserwowany (linia niebieska) i ci obliczony metodą analogii hy-
drologicznej (linia czerwowna)
42
Przepływ Qmax p% [m3/s]
4. Literatura
[1] Heo, J.H., Kim, K.D. and Salas, J.D., 2001, Estimation of Confidence Intervals of Quan-
tiles for the Weibull Distribution, Jour. of Stoch. Environmental Research and Risk As-
sessment, 15(4), 284-309.
[2] Kaczmarek Z., 1970, Metody statystyczne w hydrologii i meteorologii, Wydawnictwo
Komunikacji i A
ączności, Warszawa.
[3] Kendall, M.G., Stuart, A., 1968, The Advanced Theory of Statistics, Volume 3  Design
and analysis, and time series, Second edition, Griffin, London.
[4] Sneyers, R., 1975, Sur l'analyse statistique des series d'observations. Note Technique No.
143, OMM-No. 415, Geneve, 192 p.
[5] Sneyers, R., H. Tuomenvirta, R. Heino, 1998, Observations inhomogeneities and detec-
tion of climate change. The case of the Oulu (Finland) air temperature series. Geophysi-
ca, 34(3), 159-178,
[6] Stedinger J.R., Vogel R.M., Foufoula-Georgiou E., 1993, Frequency analysis of extreme events,
w: Maidment, D.R. (ed.), Handbook of Hydrology, McGraw-Hill, Inc.
43
Załącznik A
TABELE
44
Tabela A1. Wartości zmiennej standaryzowanej tp()
p
90% 80% 50% 40% 30% 25% 20% 10% 5% 3% 2% 1% 0.5% 0.1% 0.01%

1.5 0.5218 0.6704 1.0392 1.2261 1.4963 1.6824 1.9230 2.7342 3.6069 4.2743 4.8145 5.7539 6.7088 8.9668 12.2602
1.6 0.5713 0.7186 1.0853 1.2734 1.5457 1.7333 1.9755 2.7912 3.6669 4.3356 4.8764 5.8161 6.7705 9.0251 12.3099
1.7 0.6198 0.7654 1.1297 1.3188 1.5932 1.7821 2.0261 2.8463 3.7251 4.3954 4.9370 5.8775 6.8319 9.0844 12.3628
1.8 0.6675 0.8108 1.1725 1.3626 1.6389 1.8292 2.0748 2.8996 3.7817 4.4538 4.9964 5.9380 6.8928 9.1444 12.4182
1.9 0.7142 0.8551 1.2139 1.4049 1.6830 1.8746 2.1219 2.9512 3.8369 4.5109 5.0547 5.9977 6.9533 9.2047 12.4753
2.0 0.7601 0.8982 1.2539 1.4458 1.7257 1.9186 2.1675 3.0014 3.8907 4.5667 5.1118 6.0565 7.0131 9.2653 12.5339
2.5 0.9772 1.0991 1.4381 1.6336 1.9218 2.1208 2.3774 3.2340 4.1423 4.8297 5.3825 6.3379 7.3027 9.5659 12.8371
3.0 1.1765 1.2804 1.6018 1.8002 2.0958 2.3004 2.5641 3.4429 4.3706 5.0704 5.6320 6.6003 7.5758 9.8573 13.1433
3.5 1.3612 1.4467 1.7504 1.9514 2.2537 2.4636 2.7341 3.6342 4.5811 5.2936 5.8641 6.8462 7.8336 10.1369 13.4437
4.0 1.5340 1.6011 1.8875 2.0908 2.3994 2.6142 2.8912 3.8116 4.7775 5.5024 6.0820 7.0781 8.0778 10.4045 13.7355
4.5 1.6968 1.7458 2.0154 2.2208 2.5353 2.7547 3.0379 3.9780 4.9621 5.6992 6.2879 7.2980 8.3102 10.6610 14.0180
5.0 1.8511 1.8824 2.1357 2.3430 2.6631 2.8870 3.1760 4.1350 5.1369 5.8860 6.4835 7.5075 8.5321 10.9073 14.2912
5.5 1.9981 2.0121 2.2496 2.4587 2.7842 3.0123 3.3070 4.2841 5.3033 6.0641 6.6703 7.7078 8.7447 11.1443 14.5556
6.0 2.1386 2.1359 2.3580 2.5689 2.8994 3.1316 3.4317 4.4265 5.4623 6.2346 6.8492 7.9001 8.9491 11.3730 14.8118
6.5 2.2735 2.2544 2.4616 2.6742 3.0096 3.2457 3.5511 4.5629 5.6150 6.3983 7.0212 8.0852 9.1462 11.5940 15.0603
7.0 2.4033 2.3684 2.5611 2.7753 3.1154 3.3553 3.6658 4.6940 5.7619 6.5561 7.1870 8.2639 9.3365 11.8080 15.3017
7.5 2.5287 2.4782 2.6569 2.8725 3.2172 3.4609 3.7762 4.8204 5.9037 6.7084 7.3473 8.4367 9.5209 12.0157 15.5365
8.0 2.6499 2.5843 2.7493 2.9664 3.3156 3.5627 3.8828 4.9426 6.0409 6.8560 7.5026 8.6043 9.6997 12.2175 15.7652
8.5 2.7675 2.6871 2.8388 3.0573 3.4107 3.6613 3.9861 5.0610 6.1739 6.9990 7.6532 8.7670 9.8735 12.4139 15.9882
9.0 2.8817 2.7868 2.9255 3.1454 3.5029 3.7570 4.0862 5.1759 6.3031 7.1381 7.7996 8.9252 10.0426 12.6053 16.2059
9.5 2.9927 2.8837 3.0097 3.2309 3.5925 3.8498 4.1835 5.2876 6.4288 7.2734 7.9422 9.0794 10.2075 12.7920 16.4186
10 3.1009 2.9781 3.0916 3.3141 3.6797 3.9402 4.2781 5.3964 6.5512 7.4053 8.0812 9.2298 10.3683 12.9744 16.6266
11 3.3094 3.1598 3.2493 3.4742 3.8475 4.1142 4.4604 5.6059 6.7873 7.6597 8.3494 9.5201 10.6791 13.3273 17.0299
12 3.5087 3.3333 3.3997 3.6270 4.0075 4.2802 4.6344 5.8060 7.0128 7.9029 8.6060 9.7981 10.9769 13.6660 17.4176
13 3.6999 3.4995 3.5437 3.7732 4.1608 4.4392 4.8010 5.9978 7.2292 8.1364 8.8523 10.0651 11.2632 13.9920 17.7914
14 3.8838 3.6594 3.6820 3.9138 4.3081 4.5920 4.9612 6.1824 7.4375 8.3612 9.0896 10.3224 11.5391 14.3066 18.1526
15 4.0612 3.8135 3.8154 4.0492 4.4501 4.7393 5.1156 6.3603 7.6385 8.5782 9.3187 10.5710 11.8058 14.6109 18.5025
16 4.2329 3.9626 3.9443 4.1801 4.5873 4.8816 5.2649 6.5324 7.8329 8.7881 9.5404 10.8117 12.0641 14.9059 18.8421
45
17 4.3992 4.1069 4.0690 4.3068 4.7202 5.0195 5.4095 6.6992 8.0214 8.9917 9.7554 11.0452 12.3148 15.1924 19.1721
18 4.5608 4.2470 4.1901 4.4298 4.8492 5.1533 5.5498 6.8610 8.2044 9.1895 9.9643 11.2721 12.5585 15.4711 19.4935
19 4.7179 4.3833 4.3078 4.5493 4.9745 5.2833 5.6862 7.0184 8.3824 9.3819 10.1676 11.4930 12.7958 15.7425 19.8067
20 4.8709 4.5159 4.4223 4.6657 5.0965 5.4100 5.8190 7.1717 8.5558 9.5693 10.3657 11.7082 13.0270 16.0073 20.1124
21 5.0201 4.6452 4.5340 4.7791 5.2154 5.5334 5.9484 7.3212 8.7249 9.7521 10.5589 11.9183 13.2528 16.2658 20.4112
22 5.1658 4.7715 4.6429 4.8897 5.3315 5.6538 6.0748 7.4671 8.8900 9.9307 10.7477 12.1235 13.4734 16.5186 20.7034
23 5.3082 4.8949 4.7494 4.9979 5.4449 5.7716 6.1983 7.6098 9.0515 10.1053 10.9323 12.3242 13.6892 16.7660 20.9894
24 5.4476 5.0156 4.8535 5.1037 5.5558 5.8867 6.3191 7.7493 9.2095 10.2762 11.1129 12.5207 13.9004 17.0082 21.2698
25 5.5841 5.1338 4.9555 5.2072 5.6644 5.9994 6.4374 7.8860 9.3642 10.4436 11.2899 12.7132 14.1075 17.2457 21.5447
46
Tabela A2. Kwantyle Ç2(Ä…test, ½) rozkÅ‚adu Ç2 (chi-kwadrat), ½ - liczba stopni swobody,
ątest = prawdopodobieństwo przewyższenia
Ä…test
0.10 0.05 0.025 0.01
½ ½
1 2.706 3.841 5.024 6.635 1
2 4.605 5.991 7.378 9.210 2
3 6.251 7.815 9.348 11.34 3
4 7.779 9.488 11.14 13.28 4
5 9.236 11.07 12.83 15.09 5
6 10.64 12.59 14.45 16.81 6
7 12.02 14.07 16.01 18.48 7
8 13.36 15.51 17.53 20.09 8
9 14.68 16.92 19.02 21.67 9
10 15.99 18.31 20.48 23.21 10
11 17.28 19.68 21.92 24.73 11
12 18.55 21.03 23.34 26.22 12
13 19.81 22.36 24.74 27.69 13
14 21.06 23.68 26.12 29.14 14
15 22.31 25.00 27.49 30.58 15
Tabela A3. WartoÅ›ci kwantyla u² dla zadanego poziomu ufnoÅ›ci ²
84 90 95 99
², %
0.994 1.282 1.645 2.326
u²
47
Tabela A4. WartoÅ›ci funkcji Õ(p,)
90% 80% 50% 20% 10% 5% 2% 1% 0.1%

1.5 0.522 0.670 1.039 1.923 2.734 3.607 4.814 5.754 8.967
1.6 0.571 0.719 1.085 1.976 2.791 3.667 4.876 5.816 9.025
1.7 0.620 0.765 1.130 2.026 2.846 3.725 4.937 5.877 9.084
1.8 0.667 0.811 1.173 2.075 2.900 3.782 4.996 5.938 9.144
1.9 0.714 0.855 1.214 2.122 2.951 3.837 5.055 5.998 9.205
2 0.760 0.898 1.254 2.167 3.001 3.891 5.112 6.056 9.265
2.5 0.977 1.099 1.438 2.377 3.234 4.142 5.383 6.338 9.566
3 1.176 1.280 1.602 2.564 3.443 4.371 5.632 6.600 9.857
3.5 1.361 1.447 1.750 2.734 3.634 4.581 5.864 6.846 10.137
4 1.534 1.601 1.888 2.891 3.812 4.777 6.082 7.078 10.405
4.5 1.697 1.746 2.015 3.038 3.978 4.962 6.288 7.298 10.661
5 1.851 1.882 2.136 3.176 4.135 5.137 6.484 7.507 10.907
5.5 1.998 2.012 2.250 3.307 4.284 5.303 6.670 7.708 11.144
6 2.139 2.136 2.358 3.432 4.426 5.462 6.849 7.900 11.373
6.5 2.273 2.254 2.462 3.551 4.563 5.615 7.021 8.085 11.594
7 2.403 2.368 2.561 3.666 4.694 5.762 7.187 8.264 11.808
7.5 2.529 2.478 2.657 3.776 4.820 5.904 7.347 8.437 12.016
8 2.650 2.584 2.749 3.883 4.943 6.041 7.503 8.604 12.217
8.5 2.768 2.687 2.839 3.986 5.061 6.174 7.653 8.767 12.414
9 2.882 2.787 2.925 4.086 5.176 6.303 7.800 8.925 12.605
9.5 2.993 2.884 3.010 4.183 5.288 6.429 7.942 9.079 12.792
10 3.101 2.978 3.092 4.278 5.396 6.551 8.081 9.230 12.974
11 3.309 3.160 3.249 4.460 5.606 6.787 8.349 9.520 13.327
12 3.509 3.333 3.400 4.634 5.806 7.013 8.606 9.798 13.666
13 3.700 3.500 3.544 4.801 5.998 7.229 8.852 10.065 13.992
14 3.884 3.659 3.682 4.961 6.182 7.438 9.090 10.322 14.307
15 4.061 3.814 3.815 5.116 6.360 7.638 9.319 10.571 14.611
16 4.233 3.963 3.944 5.265 6.532 7.833 9.540 10.812 14.906
17 4.399 4.107 4.069 5.409 6.699 8.021 9.755 11.045 15.192
18 4.561 4.247 4.190 5.550 6.861 8.204 9.964 11.272 15.471
19 4.718 4.383 4.308 5.686 7.018 8.382 10.168 11.493 15.743
20 4.871 4.516 4.422 5.819 7.172 8.556 10.366 11.708 16.007
21 5.020 4.645 4.534 5.948 7.321 8.725 10.559 11.918 16.266
22 5.166 4.771 4.643 6.075 7.467 8.890 10.748 12.124 16.519
23 5.308 4.895 4.749 6.198 7.610 9.051 10.932 12.324 16.766
24 5.448 5.016 4.854 6.319 7.749 9.209 11.113 12.521 17.008
25 5.584 5.134 4.955 6.437 7.886 9.364 11.290 12.713 17.246
48
Podziałka pearsonowska
p,%ð
100 99 95 90 80 70 60 50 40. 30 20 10 8 7 6 5 4 3 2 1 0.7 0.5 0.3 0.2 0.1 0.05 0.03 0.02 0.01
49
 50