1. METODA SUPERPOZYCJI
Metoda superpozycji bazuje na dwóch podstawowych
własnościach układów liniowych: proporcjonalności
i addytywności.
x(t) y(t)
Proporcjonalność
W obwodzie liniowym odpowiedz
układu jest proporcjonalna
t t
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
do wartości sygnału wymuszającego, czyli wartości siły
elektromotorycznej z
ródła napięcia lub wydajności prądowej
z
ródła prądu. Jeżeli w takim obwodzie sygnał wymuszający k x(t) k y(t)
zostanie zwiększony, czyli pomnożony przez stałą k, to sygnał
wyjściowy zwiększy się proporcjonalnie, czyli też zostanie
t t
pomnożony przez tą samą stałą k.
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
Rys. 1. Proporcjonalność
Addytywność
x1(t) y1(t)
W obwodzie liniowym odpowiedz
układu jest algebraiczną
sumą odpowiedzi układu na każde z wymuszeń oddzielnie.
t t
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
Wartości prądu płynącego przez dowolny element lub napięcie na
zaciskach dowolnego elementu w obwodzie, w którym działa kilka
z
ródeł napięcia lub z
ródeł prądu jest algebraiczną sumą prądów lub y2(t)
x2(t)
napięć wytworzonych przez każde z
ródło oddzielnie.
t t
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
Superpozycja
x1(t) + x2(t) y1(t) + y2(t)
Superpozycja polega na wyznaczeniu wartości prądów
w gałęziach lub potencjałów węzłów wywołanych przez każde
t t
z
ródło oddzielnie przyjmując, że wszystkie pozostałe z
ródła są
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
nieaktywne. W trakcie wspomnianych obliczeń, należy uwzględnić
Rys. 2. Addytywność
parametry wewnętrzne nieaktywnych z
ródeł napięcia i prądu.
2005-12-18
� Lesław A
ADNIAK
1.2 Metoda superpozycji - algorytm
W celu wyznaczenia wartości prądów płynących w
poszczególnych gałęziach lub napięć na poszczególnych
elementach liniowego obwodu elektrycznego złożonego z  g
gałęzi oraz  w węzłów należy:
1. Ponumerować wszystkie węzły i gałęzie rozpatrywanego
obwodu. Elementy obwodu oznaczamy wykorzystując numer
gałęzi, w której znajduje się element.
2. Przyjąć kierunki prądów w gałęziach (dowolnie). Prądy w
gałęziach numerujemy tak jak numery gałęzi. Zaznaczyć napięcia
na poszczególnych biernych elementach układu (przeciwnie do
kierunku prąd).
3. Wyznaczamy wartość prądu w danej gałęzi obwodu, gdy
aktywne jest tylko jedno z
ródło energii. W czasie obliczeń należy
pamiętać, że impedancja idealnego z
ródła napięcia jest równa zeru,
a impedancja wewnętrzna idealnego z
ródła prądu jest
nieskończenie duża. Wartość prądu w danej gałęzi obwodu,
wyznaczamy tyle razy ile jest z
ródeł energii.
4. Wartość prądu płynącego rozpatrywaną gałęzią obwodu jest
algebraiczną sumą prądów płynących tą gałęzią wywołanych przez
poszczególne z
ródła energii.
N
ig(t) = Łą ign(t)
n=1
gdzie n jest liczbą z
ródeł energii elektrycznej występujących w
obwodzie.
5. Znając wartość prądu w danej gałęzi obwodu napięcie na
danym elemencie można wyznaczyć jako algebraiczną sumę
napięć wywołanych przepływem poszczególnych prądów przez
rozpatrywany element:
N
ug(t) = Łą ugn(t)
n=1
Wartość napięcia między zaciskami rozpatrywanej gałęzi
obwodu jest algebraiczną sumą napięć na tej gałęzi wywołanych
przez poszczególne z
ródła energii.
2
� Lesław A
ADNIAK
1.2.1 Przykład. Wykorzystanie zasady superpozycji.
ua
Układ
Na liniowy obwód działają dwa wymuszenia ua oraz ib.
ux
Wykonano dwa pomiary, których wyniki przedstawiono w
ib liniowy
tabeli 1.1. Odpowiedzią układu jest w tym przypadku napięcie ux.
Znalez
ć wartość napięcia ux, gdy ua = 10 V oraz ib = 8 A.
Tabela 1.1
Rys. 3. Wykorzystanie zasady superpozycji
ua [V] ib [A] ux [V]
5 0 3
0 2 6
Rozwiązanie
Ponieważ badany obwód składa się z elementów liniowych, to
można skorzystać z faktu, że odpowiedzi układu jest
proporcjonalna do wymuszenia:
ua [V] ib [A] ux [V]
.
10 0 2 3 = 6
.
0 8 4 6 = 24
Z zasady superpozycji wynika, że napięcie wyjściowe
(odpowiedz
układu) wynosi:
6 + 24 = 30 [V]
3
� Lesław A
ADNIAK
1.2.2 Przykład. Wykorzystanie zasady superpozycji.
Sygnałami wejściowymi liniowego układu jest napięcie ua oraz
ua
Układ
prąd ib. Odpowiedzią układu jest napięcie ux. Dokonano dwóch
ux
pomiarów. Wyniki tych pomiarów przedstawia tabela 2.1.
ib liniowy
Tabela 2.1
ua [V] ib [A] ux [V]
Rys. 4. Wykorzystanie zasady superpozycji
4 14 50
2 8 28
Jaka jest odpowiedz
układu, gdy ua = 10 V oraz ib = 8 A.
Rozwiązanie
Korzystając z zasady superpozycji, możemy napisać:
ux = A ua + B ib
gdzie A oraz B są stałymi.
W celu wyznaczenia wartości stałych A oraz B podstawmy
zmierzone wartości do ogólnego równania na napięcie ux
50 = A 4 + B 14
28 = A 2 + B 8
W wyniku rozwiązania powyższego układu równań
otrzymujemy wartości szukanych stałych:
A = 2 oraz B = 3
Czyli napięcie wyjściowe ux, jest opisana równaniem:
ux = 2 ua + 3 ib
Jeżeli wartość sygnałów wejściowych jest następująca:
ua = 10 V oraz ib = 8 A
to odpowiedz
układu wynosi:
ux = 2 . 10 + 3 . 8 = 44
Szukana wartość napięcia ux jest równa 44 V.
4
� Lesław A
ADNIAK
1.2.3 Przykład. y
ródła połączone równolegle.
Wyznaczyć wartość prądu I w gałęzi z rezystorem R w
obwodzie, którego schemat przedstawiono na Rys. 5.
I
Dane
Iz = 3 A, E = 30 V, R = 6 �
R
Rozwiązanie:
Iz
E
Krok 1
Rys. 5. y
ródło napięcia i prądu połączone
Jeżeli z
ródło napięcia jest nieaktywne, czyli E = 0 V, to obwód
równolegle
przyjmuje postać jak na Rys. 5.
W tym przypadku, cały prąd ze z
ródła prądowego płynie przez
I'
gałąz
, w której jest idealne z
ródło napięcia, ponieważ rezystancja
wewnętrzna idealnego z
ródła napięcia jest równa zeru. y
ródło
prądu jest w stanie zwarcia! Prąd płynący przez rezystor jest więc
R
równy zeru. Iz
I = 0 A
Rys. 6.
Krok 2
Jeżeli z
ródło prądu jest nieaktywne, czyli Iz
= 0 A, to obwód ma
I"
postać jak na Rys. 6.
W tym przypadku wartość prądu płynącego przez rezystor
R
obliczymy korzystając z prawa Ohma:
E
E 30
I = R = = 5 A Rys. 7.
6
Krok 3
Zgodnie z zasadą superpozycji, rozwiązaniem jest algebraiczna
suma prądów płynących w poszczególnych obwodach:
I = I + I = 0 + 5 = 5 A
Należy zauważyć, że z
ródło prądu nie ma żadnego wpływu na
wartość prądu płynącego przez rezystor, gdyż cały prąd z
ródła
prądowego przepływa przez z
ródło napięcia.
5
� Lesław A
ADNIAK
1.2.4 Przykład. y
ródła połączone szeregowo.
U
Korzystając z metody superpozycji wyznaczyć napięcie U w
obwodzie przedstawionym na Rys. 8.
Dane
R
Iz = 2 A, E = 40 V, R = 15 �
Iz E
Rozwiązanie
Krok 1
Jeżeli przyjmiemy, że z
ródło napięcia jest nieaktywne, czyli
Rys. 8. y
ródło napięcia i prądu połączone
E = 0 V (idealne z
ródło napięcia ma rezystancję wewnętrzną równą
szeregowo
zeru) to otrzymamy obwód przedstawiony na Rys. 9.
W tym przypadku napięcie na rezystorze R1 wynosi:
U'
U = R Iz = 2 15 = 30 V
R
Krok 2
Jeżeli z
ródło prądu jest nieaktywne, czyli gdy Iz = 0 A
Iz
(rezystancja idealnego z
ródła prądu jest nieskończenie duża), to
otrzymujemy obwód przedstawiony na Rys. 10.
Ponieważ w tym przypadku w obwodzie nie płynie prąd, to
Rys. 9.
napięcie na rezystorze R jest równe zeru:
U = 0
U"
Krok 3
R
Poszukiwanym rozwiązaniem jest algebraiczna suma
rozwiązań:
E
U = U + U = 30 + 0 = 30 V
Należy zauważyć, że wartość siły elektromotorycznej E nie ma
Rys. 10.
żadnego wpływu na wartość napięcia U na rezystorze R.
6
� Lesław A
ADNIAK
1.2.5 Przykład. Nieznane wartości elementów.
Ib
Stosując dotychczas poznane metody rozwiązywanie obwodów
Rc
6�
staraliśmy się zapisać wszystkie stosowane równania w typowy dla
danej metody sposób. Korzystając z metody superpozycji można
jednocześnie stosować różne sposoby zapisu. Jest to jedna z zalet
metody superpozycji. Następujący przykład jest ilustracją takich
Rd Ea 3� U0
możliwości metody superpozycji.
Dla obwodu przedstawionego na Rys. 11 wyznaczyć napięcie
U0 na rezystorze o wartości 3�. Siła elektromotoryczna Ea = 18 V,
Rys. 11. Nieznane wartości elementów
a wydajność prądowa z
ródła prądu IB = 2 A.
Rc
6�
Krok 1.
Jeżeli aktywne jest tylko z
ródło napięcia Ea, to obwód redukuje
się do postaci przedstawionej na Rys. 11.
Rd 3� U0'
Korzystając z zasady podziału napięcia Ea, otrzymujemy:
Ea
3
Rys. 12.
U0 = 3 + 6 18 = 6 V
Ib
Krok 2.
Gdy aktywne jest tylko z
ródło prądu Ib, to obwód redukuje się
Rc
6�
do postaci przestawionej na Rys. 12.
Jak widać na Rys. 13 rezystory 6 � i 3 � są połączone
równolegle. Ich wypadkowa rezystancja wynosi:
Rd 3� U0"
3 . 6
RII = 3 + 6 = 2 �
Rys. 13.
Napięcie na rezystorze o wartości 3 � (jak i na rezystorze 6 �)
jest równe w tym przypadku:
U0 = RII . Ib = 2 . 2 = 4 V
Krok 3.
Gdy pracują oba z
ródła, to korzystając z zasady superpozycji
otrzymujemy:
U0 = U0 + U0  = 6 + 4 = 10 V
Wartość napięcie na rezystorze 3 �, gdy działają oba z
ródła siły
elektromotorycznej wynosi 10 V.
7
� Lesław A
ADNIAK
1.2.6 Przykład. Metoda symboliczna.
XC
Korzystając z metody superpozycji wyznaczyć prąd I płynący
XL1
XL2
przez reaktancję XL2 w obwodzie przedstawionym na Rys. 14.
Dane:
E1 = 10 " 00 V E3 = 5 " 00 V XL1 = XL2 = 4 � XC = 3 �
E1 E3
Rozwiązanie:
Rys. 14. Dwa z
ródła napięcia
Jeżeli elementy obwodu zastąpimy ich impedancjami, to
schemat obwodu przyjmuje postać jak na Rys. 15:
Z3
Z1 = j4 Z2 = j4 Z3 = -j3
Z1
Z2
W przypadku, gdy tylko z
ródło E1 jest aktywne rozpatrywany
obwód przyjmuje postać przedstawioną na Rys. 16.
E1 E3
Z2 Z3 (j4) (-j3) 12
Rys. 15.
Z2//3 = Z + Z3 = (j4) + (-j3) = j = -j 12 = 12 " -90o
2
E1 (10 + j0) 10 " 0o
Z3
I1 = Z + Z1 = (-j12) + (j4) = 8 " -90o = 1,25 " 90o
2//3
Z1
Z2
Z3 -j3 1
I = Z + Z3 I1 = j4 -j3 j1,25 = j 3,75 = 3,75 " -90o
2
E1 E3
Gdy działa tylko z
ródło E3 otrzymujemy Rys. 17:
Rys. 16.
Z1 Z2 j4
Z1//2 = Z + Z2 = 2 = j2
1
Z3
E3 5 5 " 0o
I2 =
Z1
Z2
Z1//2 + Z3 = j2 -j3 = -90o =5 " 90o
1 "
I
I2 = 22 = 2,5 " 90 (Z2 = Z3)
E1 E3
Całkowity prąd płynący przez reaktancję XL2 jest algebraiczną
Rys. 17.
sumą prądów płynących przez rozpatrywany element, gdy działały
tylko poszczególne z
ródła napięcia:
I = I - I = 3,75 "-900- 2,50 " 90o =
= -j 3,75 - j 2,50 = -j 6,25 " -900
8
� Lesław A
ADNIAK
1.2.7 Przykład. Obwód z diodą.
Rozpatrzmy obwód elektryczny przedstawiony na Rys. 18, w
którym odbiornik RL jest zasilany poprzez idealną diodę
prostowniczą ze z
ródła napięcia sinusoidalnie zmiennego.
Dane:
E = 220 V, f = 50 Hz, R = 6 �, L = 100 mH.
Rozwiązanie:
Rys. 18. Obwód z diodą
Układ złożony ze z
ródła napięcia sinusoidalnie zmiennego E
oraz diody D możemy zastąpić siłą elektromotoryczną e(t), której
1.25
wykres przedstawiono na Rys. 19.
1
Korzystając z rozwinięcia funkcji e(t) w szereg Fouriera
0.75
otrzymujemy równie o postaci:
0.5
F sr
Em Em 2Em 2Em
e(t) = + sin�t - cos 2�t - 15Ą cos 4�t - ... 0.25
2
Ą 3Ą
t
0
Analizując wartości poszczególnych składników e(t)
-0.25
-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04
zauważamy, że zasadnicze znaczenie mają pierwsze trzy składniki.
Napięcie zasilające e(t) można z dość dużą dokładnością
Rys. 19. Wykres e(t)
odwzorować szeregowo połączonymi z
ródłami napięć o
wartościach:
e0(t) = 0,318 Em = 99,08 V
e1(t) = 0,5 Em sin�t = 155,5 sin�t
e2(t) = -0,212 Em cos 2� = 22,01 cos 2�t
czyli
Eo = 99,08 V
E1 = 120,3 " 00
E2 = 15,6 " 900
Rys. 20. Schemat zastępczy obwodu
Na Rys. 20 przedstawiono schemat rozpatrywanego obwodu po
zastąpieniu z
ródła napięcia E oraz idealnej diody D trzema
z
ródłami napięć E0, E1 oraz E2.
9
� Lesław A
ADNIAK
Korzystając z zasady superpozycji rozpatrywany obwód można
rozłożyć na trzy niezależne obwody:
1) Obwód prądu stałego � = 0, z siłą elektromotoryczną
io(t)
Eo
E0 = 99,08 V
R
XL0 = 0 � - zawsze dla prądu stałego
L
E0 99.08,3
eo(t)
I0 = = = 16,5 A
R 6
U0R = R I0 = E0 = 99,08 V
U0L = 0 V
P0 = R I02 = 6 . (16,5) 2 = 1635,5 W
Rys. 21. Schemat obwodu dla napięcia stałego
2) Obwód prądu zmiennego o pulsacji � z siłą elektromotoryczną
E1 = 120,3 sin�t
XL1 = �L = 31,4 �
Z1 = R + j�L = 6 + j 31,4 �
E 110,3
I1 = Z1 = 6 + j 31,4 = 0,64  j3,38 A
1
UR1 = R I1 = 3,84  j 23,04 V
UL1 = jXL1 I1 = 106,1 + j 20,09 V
P1 = R I12 =6 (3,44)2 = 71 W
Rys. 22. Schemat obwodu dla napięcia zmiennego
3) Obwód prądu zmiennego o pulsacji 2� z siłą elektromotoryczną
E2 = -42,4 sin(2�t + 900) lub w postaci E2 = 42,4 sin(2�t - 900)
XL2 = (2�) L = 62,8 �
Z2 = R + j(2�) L = 6 + j 62,8 �
E 15,6
I2 =Z2 = 6 + j 62,8 = 2,6  j 0,24 A
2
UR2 = R I2 = 15,6  j 0,24 V
UL2 = jXL2 I2 = 163,28 + j 15,07 V
P2 = R I22 = 6 (2,6)2 = 40,56 W
Korzystając z zasady superpozycji otrzymujemy:
i(t) = i0(t) + i1(t) + i2(t)
I = Io2 + I12 + I22 = (16,5)2 + (3,44)2 + (2,6)2 = 17,06 A
u(t) = u0(t) + u1(t) + u2(t)
UR = URo2 + UR12 + UR22 = (99,1)2 + ..... = 102,9 V
UL = ULo2 + UL12 + UL22 = 196,3 V
P = P0 + P1 + P2 = 1635,5 + 71,0 40,6 = 1747 W
10
� Lesław A
ADNIAK