Wydział WiLiŚ, Budownictwo, sem.3
dr Jolanta Dymkowska
Jednowymiarowa zmienna losowa
Zad.1 W grupie studenckiej przeprowadzono kolokwium. Niech zm. los. X przyjmuje warości otrzymywanych ocen
(skala 4-ro stopniowa). Wiedząc, że stosunek ocen 5, 4, 3, 2 jest równy 1:3:4:2, wyznaczyć:
a) funkcjÄ™ p-stwa,
b) dystrybuantÄ™ zm. los. X ,
c) p-stwo P (X < 3, 5) i P (3 X < 4, 5) (korzystajÄ…c z funkcji p-stwa i z dystrybuanty).
Ponadto:
e) zinterpretować na wykresie dystrybuanty p-stwo P (X = 3) ,
f) obliczyć EX oraz EY , gdzie Y = X2 - 4X .
Zad.2 Na loterię pieniężną przygotowano 200 losów, w tym dwa wygrywające po 1000 zł, osiem po 500 zł, dziesięć
po 200 zł, dwadzieścia po 100 zł i sześćdziesiąt po 10 zł. Reszta losów jest pusta. Niech zm. los. X oznacza
wygraną na loterii (każdy losuje jeden los). Należy:
a) przedstawić rozkład zm. los. w formie tabeli,
b) wyznaczyć dystrybuantę zm. los. X ,
c) znalez
ć wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standartowe zm. los. X .
Zad.3 Dany jest rozkład zm. los. X :
xi -2 -1 0 4 6
X :
pi 1 1 1 3 1
8 8 2 16 16
a) Oblicz P (X > -1) i P (0 X < 5) .
b) Wyznacz dystrybuantÄ™ zm. los. X .
c) Oblicz wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standartowe zm. los. X .
d) Oblicz wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standartowe zm. los. Y , jeżeli Y = 3X + 2 .
Zad.4 Wydrukowano rozkład pewnej zm. los. X w postaci tabeli. Jednak z przyczyn technicznych wartość realizacji
zm. los. X = x3 oraz P (X = x3) nie zostały wydrukowane. Uzupełnij puste miejsca w tabeli, jeżeli wiadomo,
5
że EX = .
4
xi -2 0 12
X :
1
pi 1 1
2 4 16
Zad.5 Rozkład zm. los. X jest dany w postaci tabeli:
xi -2 -1 -0, 5 0, 5 1 2
X :
pi 0, 1 0, 1 0, 2 0, 4 0, 1 0, 1
1
Wyznacz rozkład zmiennej losowej Y = X2 - , jej wartość oczekiwaną i wariancję.
X2
Zad.6 Zmienna losowa X ma rozkład:
c
P ( X = n ) = , n = 0, 1, 2, 3, . . . .
3n
Wyznaczyć:
a) stałą c,
b) P (5 X 10) i P (X 100) ,
c) wartość oczekiwaną zm. los. X .
1
d) dystrybuantÄ™ zm. los. X .
Zad.7 Dana jest dystrybuanta zm. los. X :
Å„Å‚
0 x -2
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
0, 2 -2 < x 1
F (x) =
0, 8 1 < x 3
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
1 x > 3
Oblicz, korzystając z dystrybuanty, P (-1 X < 2) . Wyznacz rozkład zm. los. X .
Zad.8 Dana jest funkcja gęstości pewnej zmiennej losowej X :
Å„Å‚
0 x 0
òÅ‚
f(x) = Ax 0 < x 1
ół
0 x > 1
Należy:
a) wyznaczyć stałą A,
3
b) obliczyć P (1 < X ) ,
2 4
c) obliczyć wartość oczekiwaną zm. los. X ,
d) wyznaczyć dystrybuantę zm. los. X .
Zad.9 Dla jakich wartości parametru B funkcja:
Å„Å‚
0 x 1
òÅ‚
f(x) = Bx2 1 < x 3
ół
0 x > 3
jest gęstością pewnej zm. los. X ? Wyznacz dystrybuantę i wartość oczekiwaną tej zmiennej.
Zad.10 Dana jest funkcja:

0 |x| < 1
f(x) =
A
|x| 1
x4
Dla jakiej wartości A funkcja ta jest gęstością p-stwa zm. los. X ? Wyznacz dystrybuantę i wartość oczekiwaną
tej zmiennej.
Zad.11 Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest w postaci:
Å„Å‚
0 x 0
òÅ‚
1
F (x) = x3 0 < x 3
27
ół
1 x > 3
Znalez
ć funkcję gęstości tej zmiennej.
Zad.12 Dobrać stałe A i B tak, aby funkcja
F (x) = A + arctg x, x " R
była dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X . Wyznaczyć funkcję gęstości tej zmiennej.
Zad.13 Dana jest funkcja gęstości pewnej zmiennej losowej X :

1
"
|x| < 2
Ä„ 4-x2
f(x) =
0 |x| 2
Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej.
2