( ) ({ ( ) })
= : < , "
Uwaga!
( ) ({ ( ) })
A) Można wykazać, że funkcja F(x) określona na prostej R wzorem = : < ma
następujące własności:
a) jest niemalejÄ…ca: ( ) d" ( ), gdy <
(-" ( ) ( )
)
b) = lim ( ) = 0, " = lim = 1
( )
c) jest lewostronnie ciągła dla każdego " : lim = ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Ponadto dystrybuanta F(x) ma własności: d" d" = - ; = = - ( ).
B) Funkcję F określoną na prostej R spełniającą warunki a), b), c) nazywamy dystrybuantą

( ) ( )
jednowymiarową. Mówimy, że dystrybuanta F(x) ma skok w punkcie , gdy - > 0.
C) Prawdziwe jest następujące twierdzenie:
-ð każdej dystrybuancie jednowymiarowej F na prostej odpowiada tylko jeden rozkÅ‚ad
) ( )
prawdopodobieÅ„stwa P na prostej taki, że prawdopodobieÅ„stwo (-", = [FÄ…ðP]
-ð jeżeli P jest rozkÅ‚adem prawdopodobieÅ„stwa na prostej, to funkcja F okreÅ›lona wzorem:
( ) ) jest dystrybuantÄ… jednowymiarowÄ… [PÄ…ðF]
= (-",
Wniosek:
F jednoznacznie wyznacza rozkład i odwrotnie.
"! - są to pojęcia równoważne.
( ) )
Jeżeli P jest rozkładem prawdopodobieństwa na prostej, to funkcję F(x) określoną wzorem = (-",
nazywamy dystrybuantą rozkładu P.
( ) ( )
Rozkład prawdopodobieństwa na prostej wyznaczony przez dystrybuantę = zmiennej losowej X
nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.
Zmienna losowa X jest typu dyskretnego (skokowego), jeżeli suma wszystkich skoków tej dystrybuanty F(X) jest
równa 1. Wtedy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X nazywamy rozkładem dyskretnym. Inaczej:
zmienną losową typu dyskretnego (skokowego) nazywamy taką zmienną losową X, dla której istnieje funkcja
( ) ( ) " ,
= = ( = 1,2,3 & ) taka, że dla każdego " mamy, że = ( = ), gdzie F(X) jest
dystrybuantÄ… zmiennej losowej X.
Terminologia:
( )
= , ( = 1,2,3 & ) - funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X
, ( = 1,2,3 & ) - punkty skokowe (wartości zmiennej losowej X)
, ( = 1,2,3 & ) - wielkości skoków
"
Oczywiście = 1.
( ) ( ) ( )
Zauważmy, że dla zmiennej losowej X typu dyskretnego zachodzi równość: d" d" = - +
( = ), gdy b jest wartością (punktem skokowym) zmiennej losowej X.
Zmienną losową typu ciągłego nazywamy zmienną losową X, dla której istnieje taka nieujemna funkcja f(x), że

( ) ( )
dla każdego " zachodzi równość: = +" , gdzie F(X) jest dystrybuantą zmiennej losowej X.
Funkcję f(x) nazywamy funkcją gęstości lub gęstością zmiennej losowej X.

( )
Oczywiście +" = 1.
( ) ( )
Z własności całki wynika, że dla zmiennej losowej X typu ciągłego zachodzi równość: d" d" = -

( ) ( )
= +" .
( )
Jeżeli gęstość f(x) jest funkcją ciągłą w punkcie x, to zachodzi równość: = ( ), czyli
( )
( )
= lim" " ( ) = lim" ( " ) ( d" , + " ) H" ( ) " " dla małych " .
" "
FUNKCJE ZMIENNEJ LOSOWEJ
Zagadnienie: niech dana jest zmienna losowa X o dystrybuancie F1 oraz funkcja g: RÄ…ðR. Dla jakich funkcji g
funkcja Y=g(X) jest zmiennÄ… losowÄ… i jakÄ… ma dystrybuantÄ™?
Z poznanego wcześniej twierdzenia wynika, że wystarczy, aby g była funkcją borelowską, a więc np. ciągłą albo
przedziałami ciągłą.
Rozpatrzymy oddzielnie zmienne losowe typu dyskretnego i zmienne losowe typu ciągłego.
I. Zmienna losowa X jest typu dyskretnego.
Przykład: zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa określony za pomocą funkcji
prawdopodobieństwa przedstawionej w postaci tabeli:
-2 -1 1 2 3
1 1 1 1 2
( = )
5 5 10 10 5
Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X oraz funkcję prawdopodobieństwa i dystrybuantę
zmiennej losowej Y=X2.
RozwiÄ…zanie:
( ) ( ) ( )
= < = = , "
,
( ) ( )
Dla d" -2, = < = 0

( ) ( ) ( )
Dla -2 < d" -1, = < = = -2 =


( ) ( ) ( )
Dla -1 < d" 1, = = -2 + = -1 = + =


( ) ( ) ( ) ( )
Dla 1 < d" 2, = = -2 + = -1 + = 1 = + =


( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Dla 2 < d" 3, = = -2 + = -1 + = 1 + = 2 = + =


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Dla 3 < , = = -2 + = -1 + = 1 + = 2 + = 3 = + = 1

0 d" -2
ż#1

ª# - 2 < d" -1
ª#5
2
ª#
- 1 < d" 1
5

( )
=
1
¨#
1 < d" 2
ª# 2
ª# 3
2 < d" 3
ª#
5
©#
1 3 <