Dodatek D.
Elementy matematyki

D.1. Miary różnorodności

Dyskrepancja. Dyskrepancję definiuje się w następujący sposób. Rozważmy zbiór k punktów X1, X,..., X w n-wymiarowej, jednostkowej kostce [0, l]n. Przypiszmy każdemu punktowi XJ wagę w3 (najczęściej przyjmuje się w1 = l/k). Rozważmy teraz dowolną kostkę [0,t) = [0,=n>-
i=l j=l
j=l
gdzie %r0,t)(XJ) jest funkcjÄ… charakterystycznÄ… zbioru, zdefiniowanÄ… jako
X[o,t)(X') =
jeśli jeśli
X^[0,t) XJ G [0, t)
(D.2)
Weźmy teraz jednocześnie pod uwagę wszystkie możliwe kostki [0,t) e [O,l]n. Aproksymacja miary dowolnej z nich będzie tym lepsza, im bardziej równomiernie będą rozmieszczone punkty w [0,1]". Jako miarę równomierności rozkładu punktów można przyjąć błąd takiej aproksymacji, który nazywamy dyskrepancją zbioru punktów
Lfcn({XJ},{wJ'})= sup Lfcn(t,{XJ},{wJ}) (D.3)
te[o,i]"
Na rysunku D.1 przedstawiono interpretację graficzną sposobu obliczania wartości dyskrepancji.
D O D A
T E K
D
.280.
D. Elementy matematyki
RvsuNEK D.1. Obliczanie dyskrepancji w R~ na podstawie błędu oszacowania objętości prostopadłościanu [0,t)
Analiza korelacyjna. Przyjmuje się model, w którym współrzędna każdego punktu jest zmienną losową, sam punkt n-wymiarową zmienną losową, powstałą w wyniku jednoczesnej realizacji n zmiennych losowych, zbiór punktów zaś zbiorem m niezależnych realizacji n-wymiarowej zmiennej losowej.
Macierz kowariancji C o wymiarach n x n jest zdefiniowana następująco:
m
fc=i
(i m \
i v^ f k \ f k __"\ \ -^^{xf-Xi)(x*-Xj)\ fe=l /
(D.5)
Przez xf oznaczono wartość i-tej współrzędnej fc-tego punktu, Xi oznacza wartość średnią i-tej współrzędnej
(D.6)
fc=l
Dla macierzy kowariancji obliczamy wektor wartości własnych ec (o wartościach uporządkowanych nierosnąco) i macierz wektorów własnych Ec w taki sposób, że zachodzi
CEc,i =
(D.7)
D.1. Rozkłady zmiennych losowych
.281.
gdzie Ec,t jest ż-tym wektorem macierzy Ec (i-tym wektorem własnym), ec,i zaś jest ż-tym elementem wektora ec (ż-tą wartością własną).
W uproszczeniu, macierz Ec zawiera n liniowo niezależnych wektorów, wzdłuż których zbiór punktów jest najbardziej zróżnicowany; stopień tego zróżnicowania jest scharakteryzowany odpowiednimi wartościami własnymi. Może się zdarzyć, że zbiór
0 xi
RYSUNEK D.2. Wektory własne macierzy kowariancji, których długość odpowiada wartościom własnym dla przykładowej populacji punktów
punktów układa się w taki sposób, że można go zawrzeć w przestrzeni o mniej niż n wymiarach wówczas wektor wartości własnych będzie zawierał tyle elementów różnych od zera, ile wymiarów ma przestrzeń zawierająca zbiór punktów. Niezero-wym wartościom własnym odpowiadają wektory własne, będące bazą tej przestrzeni. Na rysunku D.2 przedstawiono interpretację geometryczną procesu znajdowania wartości i wektorów własnych.
D.2. Rozkłady zmiennych losowych
Rozkład normalny, zwany również rozkładem Gaussa (rys. D.3). Funkcja gęstości tego rozkładu jest dana wzorem
1
exp I -2
x m-
(D.8)
.282
D. Elementy matematyki
0
?n m + cr
RYSUNEK D.3. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej o rozkładzie normalnym
Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie normalnym wynosi m, wariancja zaś jest równa cr2.
Standaryzowany rozkład normalny jest rozkładem o parametrach m = 0, a = 1.
Rozkład Cauchy'ego (rys. D.4). Funkcja gęstości tego rozkładu jest dana wzorem
a
(D.9)
7T Cr2 + (x m)2
Wartość oczekiwana i wariancja tego rozkładu nie istnieją.
m m + a
RYSUNEK D.4. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej o rozkładzie Cau-chy'ego