Zadania na druga kartkówke, RP2 2012/2013
,
,
1. Rozstrzygnać, czy suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozk ladzie
,
może mieć rozk lad jednostajny na przedziale [−1, 1].
2. Dany jest ciag (X
,
n)n≥1 zmiennych losowych oraz niezale żna od niego zmienna Z o standar-dowym jednowymiarowym rozk ladzie normalnym. Udowodnić, że ciag (X
,
n + Z )n≥1 jest zbie żny
wed lug rozk ladu wtedy i tylko wtedy, gdy (Xn)n≥1 jest zbieżny wed lug rozk ladu.
3. Rozstrzygnać, czy funkcja
,
cos t + 1
dla |t| ≤ π,
ϕ(t) =
2
0
dla |t| > π
jest funkcja charakterystyczna pewnego rozk ladu na prostej.
,
,
4. Za lóżmy, że ϕ jest funkcja charakterystyczna pewnego rozk ladu na prostej. Rozstrzygnać,
,
,
,
czy podane niżej funkcje musza być funkcjami charakterystycznymi pewnego rozk ladu:
,
a) (Re ϕ)2 − (Im ϕ)2.
b) Re ϕ+ Im ϕ.
c) eϕ2−1.
5. Funkcja ϕ : R → [−1, 1] spe lnia nastepujacy warunek: ϕ(t) < − 1
dla |t| > 10. Dowieść,
,
,
2012
że ϕ nie jest funkcja charakterystyczna żadnego rozk ladu na prostej.
,
,
6. Udowodnić, że funkcja
1
ϕ(t) =
,
t ∈ R,
1 + |t|
jest funkcja charakterystyczna pewnego rozk ladu na prostej.
,
,
Wskazówka: Udowodnić najpierw, że jeśli ψ : R → [0, ∞) jest parzysta, kawa lkami liniowa, wypuk la na (0, ∞) oraz spe lnia ψ(0) = 1, to jest funkcja charakterystyczna. Nastepnie, skorzystać
,
,
,
z twierdzenia Lévy-Cramera.
7. Zmienne X1, X2, . . . sa niezależne, przy czym dla n ≥ 1 zmienna X
,
n ma rozk lad jednostajny
na [0, 4n]. Czy ciag
,
X1 + X2 + . . . + Xn − n(n + 1) , n = 1, 2, . . .
n3/2
jest zbieżny wed lug rozk ladu? W przypadku odpowiedzi pozytywnej, wyznaczyć rozk lad graniczny.
8. Dany jest ciag (X
,
n)n≥1 niezale żnych zmiennych losowych, przy czym dla n ≥ 1 zmienna Xn ma rozk lad zadany przez
2
P(Xn = n) =
= 1 − P(Xn = −2n).
3
Rozstrzygnać, czy ciag
,
,
X1 + X2 + . . . + Xn ,
n = 1, 2, . . . ,
n3/2
jest zbieżny wed lug rozk ladu. W przypadku odpowiedzi pozytywnej, wyznaczyć rozk lad graniczny.
9.
Dany jest ciag (X
,
n)n≥1 zmiennych losowych (niekoniecznie niezale żnych) takich, że dla każdego n ≥ 1 zmienna Xn ma rozk lad Γ(1, n), tzn. z gestościa
,
,
1
gn(x) =
xn−1e−x1
(n − 1)!
[0,∞)(x).
Dowieść, że ciag
,
Xn − n
√
,
n = 1, 2, . . . ,
n
jest zbieżny wed lug rozk ladu. Wyznaczyć rozk lad graniczny.
1