Badanie przebiegu zmienności funkcji.
Ekstremum funkcji.
Def.
Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x .
o
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x extremum lokalne ⇔
o
f( x) < f( x
o )
maksimum loka ln e wlasciwe
f( x) ≤ f( xo) maksimum loka ln e
∃ S( x
.
o,δ) ∀ x∈ S f( x) > f( x
o )
min imum loka ln e wlasciwe
f( x) ≥ f( xo) min imum loka ln e
Tw. (warunek konieczny extremum).
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x i ma w tym punkcie extremum, o
to f ' (x ) = 0.
o
Wniosek.
Funkcja może mieć extremum tylko w tych punktach , w których pochodna bądź nie istnieje, bądź jest równa zeru.
Tw. (1 - warunek wystarczający extremum).
Jeżeli funkcja
1)
f ∈ Co( Q( xo, δ); R) , f ∈ C 1( S( xo, δ); R) , 2)
f '(x) > 0 (<)
∀ x ∈ S−( xo, δ)
3)
f '(x) < 0 (>)
∀ x ∈ S+( xo, δ)
to f ma w punkcie x extremum i jest to maksimum (minimum).
o
Tw. (2 - warunek wystarczający extremum).
Jeżeli funkcja
1)
f∈ C 2( Q( xo, δ); R) 2)
f ' (x ) = 0,
o
3)
f '' (x ) ≠ 0,
o
to f ma w punkcie x extremum,
o
przy czym jest to maksimum , gdy f ''(x ) < 0, zaś minimum, gdy f ''(x ) > 0.
o
o
Przykład.
Znajdź ekstrema lokalne funkcji:
f(x) = e− x ⋅ 3 x 2 .
Df = R.
2 − x
f '(x) = e− x x− 1
3
3 ( 2 − x) =
,
Df ' = R\{0} ,
3
ex ⋅ 3 x
y
1
2/3
x
0
2
3
f '(x) < 0 ?
⇔
x ∈ (−∞, 0) ∪ 2, ∞ ,
3
f '(x) = 0 ?
⇔
e− x x− 13 (2 − x) = 0 ⇔
x = 2 ,
3
3
f '(x) > 0 ?
⇔
x ∈
.
0, 23
Zatem zgodnie z twierdzeniami wyrażającymi warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum wnioskujemy,
że w punkcie x=0 funkcja f osiąga minimum f(0) = 0
2
oraz w punkcie x = 2 maksimum f(2 ) = e−2
2
3 ⋅ 3
.
3
3
3
Ćwiczenia.
Zad.1.
Znajdź ekstrema lokalne funkcji:
a)
f(x) = 3 x 2 ,
1
b)
f(x) = x exp ,
x
c)
f(x) = 3 2 x 2 − x 3 .
( x−1)2
d)
f(x) = exp − 4
Wklęsłość i wypukłość krzywej.
Punkt przegięcia krzywej.
Def.
Krzywą K opisaną funkcją y = f(x) nazywamy ( ściśle ) wypukłą na przedziale (a,b)
⇔
∀ x
styczna do wykresu funkcji poprowadzona w punkcie (x ,f(x )) 0∈( a, b)
o
o
jest położona pod tą krzywą ( z wyjątkiem punktu styczności).
W sposób precyzyjny:
∀ x
+ (1 − α) ⋅ x ]
<
α ⋅ f( x ) + (1 − α) ⋅ f( x ) 1, x 2∈( a, b)
∀0≤α≤1 f[α ⋅ x 1
2
1
2
x + x
f( x ) + f( x ) w szczególności dla α = 1 :
f
1
2 <
1
2
.
2
2
2
Analogicznie określamy funkcję wklęsłą na przedziale (a,b).
Tw.
Jeżeli funkcja
1)
f ∈ C 2(( a, b); R) 2)
f ''(x) > 0 dla x∈ ( a, b), to krzywa K opisana funkcją f jest wypukła ((< 0) wklęsła) na przedziale (a,b).
Def.
Punkt P (x , f(x )) nazywamy punktem przegięcia krzywej K : y = f(x) ⇔
o
o
o
1)
istnieje styczna do krzywej K w punkcie P ,
o
2)
krzywa K jest w lewostronnym sąsiedztwie punktu P wypukła o
zaś w prawostronnym wklęsła lub odwrotnie.
Tw. (1 - warunek konieczny punktu przegięcia) Jeżeli funkcja
1)
f ∈C2(Q(x o,δ),R),
2)
krzywa K opisana przez funkcję f posiada w punkcie Po punkt przegięcia, to
f '' (x ) = 0 .
o
Tw. (1 - warunek wystarczający p.p.).
Jeżeli funkcja
1)
f ∈C2(S(x o,δ),R),
2)
f ''(x) > 0 (<) x ∈S+(x o,δ), 3)
f ''(x) < 0 (>) x ∈S−(x o,δ), to K ma w punkcie Po (x ,f(x )) punkt przegięcia.
o
o
Asymptoty.
Def.
10. Prostą o równaniu x = x nazywamy asymptotą pionową lewostronną
o
krzywej K: y = f(x) w punkcie xo
⇔ lim f( x) = − ∞ albo
lim f( x) = + ∞ .
x→ x−
−
o
x→ xo
20. Analogicznie określamy asymptotę pionową prawostronną.
Def.
10. Prostą o równaniu y = ax + b ( gdy a ≠ 0 ) nazywamy asymptotą ukośną
krzywej K: y = f(x) w + ∞ ⇔ lim [ f( x) − ( ax + b)] = 0 .
x→+∞
20. Analogicznie określamy asymptotę ukośną w - ∞.
Tw.
1o. Prostą o równaniu y = ax + b ( gdy a ≠ 0 ) jest asymptotą ukośną
krzywej K: y = f(x) w +∞
⇔
istnieją i są skończone
f( x)
lim
= a oraz
lim [ f( x) − ax] = b.
x→+∞ x
x→+∞
20. Prostą o równaniu y = ax + b ( gdy a ≠ 0 ) jest asymptotą ukośną
krzywej K: y = f(x) w -∞
⇔
istnieją i są skończone
f( x)
lim
= a oraz
lim [ f( x) − ax] = b .
x→−∞ x
x→−∞
Przykład.
Zbadaj przebieg zmienności funkcji:
f(x) = x 3 − 2
( x − 1)2
1. Df = R\{1}
x 2
x 3 − 2
x − 2
x 2
2.
lim
= lim
= −∞
,
x→−∞ ( x − 1)2 x→−∞
2
x 2 1 − 1 x
x 2
x 3 − 2
x − 2
x 2
3.
lim
= lim
= +∞ ,
x→+∞ ( x − 1)2
x→+∞
2
x 2 1 − 1 x
−1
x 3 − 2 0+
4.
lim
= −∞ ,
x→1− ( x − 1)2
−1
x 3 − 2 0+
5.
lim
= −∞ ,
x→1+ ( x − 1)2
( x + 1) ⋅ ( x − 2)2
6. f '(x) =
,
Df ' =R\{1},
( x − 1)3
2
y = ( x - 2 )
y
1
-1
1
2
x
3
y=(x-1)
y=x+1
7.
f '(x) < 0
⇔
x ∈ (−1, 1) ,
8.
f '(x)= 0
⇔
x = −1
∨
x = 2 ,
9.
f '(x) > 0
⇔
x ∈ (−∞, − 1)
∪
(1, 2)
∪
(2, + ∞) ,
( x + 1) ⋅ ( x − 2)2
6 ⋅ ( x − 2)
10.
f ''(x) =
=
,
Df '' =R\{1},
( x − 1)3
( x − 1)4
11.
f ''(x)<0
⇔
x ∈ (−∞, 1)
∪
(1, 2) ,
12.
f ''(x)=0
⇔
x = 2 ,
13.
f ''(x)>0
⇔
x ∈ (2, + ∞) ,
f( x)
14.
lim
x = a oraz
lim [ f( x) − ax] = b .
x→± ∞
x→± ∞
15.
lim x 3 − 2 = 1
x→± ∞ x( x − 1)2
oraz
lim x 3 − 2 − x = lim 2 x 2 − x − 2 = 2
x→± ∞ ( x − 1)2
x→±∞ ( x − 1)2
asymptota ukośna w +∞ oraz
− ∞
ma równanie :
y = x+2 ,
16.
Tabela:
x
− ∞...
-1
...
1
...
2
...∞
f '(x)
+
0
-
X
+
0
+
f ''(x)
-
-
-
X
-
0
+
f(x)
max
X
p.p.
− 3
X
6
4
10
-5
-2.5
2.5
5
7.5
-10
-20
Przykład.
Zbadaj przebieg zmienności funkcji:
1
(
− x − m)2
f(x) =
⋅ e 2⋅σ2 ,
σ ⋅ 2π
gdzie parametry
σ > 0, m ∈ R
1. Df = R,
1
(
(
− x − m)2
1
− x − m)2
2.
lim
⋅ e 2⋅σ2 = lim
⋅ e 2⋅σ2 = 0
,
x→−∞ σ ⋅ 2π
x→+∞ σ ⋅ 2π
3. Funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie, a ponadto f(x-m) = f(x+m), tzn. wykres jest symetryczny względem prostej x = m.
1
(
− x − m)2
4. f '(x) =
⋅ e 2⋅σ2 ⋅ m − x ,
Df ' =R,
σ ⋅ 2π
σ2
> 0 dla x < m
5.
f '(x) = 0 dla x = m
< 0 dla x > m
( m − x)2 − σ2
(
− x − m)2
6. f ''(x) =
⋅ e 2⋅σ2 ⋅
σ5 ⋅ 2π
> 0 dla x < m − σ
∨
x > m − σ
7. f ''(x) = 0 dla x = m − σ
∨
x = m + σ ,
Df '' =R,
< 0 dla
m − σ < x < m + σ
x
− ∞...
m- σ
...
m
...
m+σ
...∞
f '(x)
+
+
+
0
-
-
-
f ''(x)
+
0
-
-
-
0
+
f(x)
p.p
max.
p.p.
1
1
1
2π e ⋅σ
2π ⋅σ
2π e ⋅σ
f(x)
x
m -
m
m +
Funkcja, której wykres przedstawiliśmy pełni ważną rolę w rachunku prawdopodobieństwa i statystyce, nosi ona nazwę krzywej Gaussa, charakteryzującej rozkład normalny zmiennej losowej.
Jest to funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego, 1
ma maksimum dla x = m, które wynosi
;
2π ⋅ σ
punkty przegięcia dla x = m − σ, x = m + σ; krzywa jest symetryczna 1
2
względem prostej x = m; zbliża się asymptotycznie do osi OX.
Ćwiczenia.
Zbadaj przebieg zmienności funkcji:
1
1.
f( x ) = 3 x 2 ,
2.
f( x ) = x e x ,
3.
f( x ) =
x 2 + 1 ,
4.
f( x ) =
x 2
,
x 2 − 1
5.
f( x ) =
x ,
6.
f( x ) = (2 x − 5) ⋅ 3
x 2 ,
ln x
7.
f( x ) =
x 2 − 1 ,
8.
f( x ) = 3 2 x 2 − x 3 , 1
9.
f( x ) = x 3 + 2 ,
9.
f(x) = x ⋅ e x 3 ,
( x + 1)2
2 x
4
10.
f( x ) = arcsin
,
11.
f(x) = ⋅ exp(−( x − 2)2) ,
x 2 + 1
x
x 3
x 3
12.
f(x) =
,
13.
f(x) = 1 - x +
.
2( x + 1)2
x + 3