www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

E

KSTREMA FUNKCJI KWADRATOWEJ

Po wyrzuceniu ze szkoły pochodnych, funkcja kwadratowa stała si˛e tematem przewodnim
wszystkich zada ´n na ekstrema. Sytuacja jest w zasadzie do´s´c prosta – zadania tego typu
sprowadzaj ˛

a si˛e do wyznaczenia najmniejszej/najwi˛ekszej warto´sci funkcji kwadratowej na

pewnym przedziale. Mo ˙zliwe sytuacje s ˛

a nast˛epuj ˛

ace.

a) Je ˙zeli szukamy warto´sci najwi˛ekszej, ramiona paraboli s ˛

a skierowane w dół i wierz-

chołek jest zawarty w rozwa ˙zanym przedziale, to warto´s´c najwi˛eksza jest osi ˛

agana w

wierzchołku, to znaczy

f

max

=

f

(

x

w

) =

y

w

dla

(

x

w

, y

w

) =



−

b

2a

,

−

∆

4a



.

x

y

a

b

x

y

a

b

x

w

y

w

x

w

y

w

b) Je ˙zeli szukamy warto´sci najmniejszej, ramiona paraboli s ˛

a skierowane do góry i wierz-

chołek jest zawarty w rozwa ˙zanym przedziale, to warto´s´c najmniejsza jest osi ˛

agana

w wierzchołku.

c) W ka ˙zdej innej sytuacji, warto´s´c najwi˛eksza/najmniejsza jest osi ˛

agana w jednym z

ko ´nców przedziału – w którym? – trzeba policzy´c warto´sci w obu ko ´ncach i je po-
równa´c.

x

y

a

b

x

y

a

b

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

1

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Znajd´zmy najmniejsz ˛

a warto´s´c funkcji

f

(

x

) =

2x

2

−

4x

+

7

na przedziale

h−

1, 0

i

.

Poniewa ˙z x

w

=

1

6∈ h−

1, 0

i

, warto´s´c ta jest przyjmowana w jednym z ko ´nców

przedziału. Mamy

f

(−

1

) =

13

>

f

(

0

) =

7.

Zatem najmniejsza warto´s´c to f

(

0

) =

7.

Wa˙zna jest dziedzina!

W zadaniach na ekstrema bardzo wa ˙zne (i cz˛esto kłopotliwe) jest wyznaczenie przedziału
na którym szukamy ekstremum. Ogólna zasada jest taka, ˙ze gdy wyznaczymy ju ˙z wzór
funkcji f

(

x

)

, której mamy znale´z´c ekstremum, to musimy ustali´c jakie s ˛

a mo ˙zliwe warto´sci

argumentu x. Jak to zrobi´c? – to zale ˙zy od rodzaju i tre´sci zadania: je ˙zeli x jest długo´sci ˛

a

jakiego´s odcinka to x

>

0, je ˙zeli x

=

sin α to x

∈ h−

1, 1

i

, je ˙zeli x

=

2

t

to x

∈ (

0,

+

∞

)

itd.

Spróbujmy znale´z´c najwi˛eksze mo ˙zliwe pole prostok ˛

ata o obwodzie 4.

Je ˙zeli oznaczymy boki prostok ˛

ata przez a i 2

−

a to szukamy najwi˛ekszej mo ˙z-

liwej warto´sci wyra ˙zenia a

(

2

−

a

)

. Na jakim przedziale? – boki prostok ˛

ata nie

mog ˛

a by´c ujemne, wi˛ec a

∈ (

0, 2

)

. Łatwo policzy´c, ˙ze maksymalne pole mamy

dla kwadratu o boku 1.

Z kraw˛edzi dachu podrzucono kamie ´n, który po 2 sekundach spadł na ziemi˛e.
Wysoko´s´c, na jakiej znajdował si˛e kamie ´n nad ziemi ˛

a po upływie t sekund od

chwili jego podrzucenia, opisuje funkcja h

(

t

) = −

5t

2

+

5t

+

10. Na jak ˛

a najwi˛ek-

sz ˛

a wysoko´s´c wzniósł si˛e ten kamie ´n?

Na jakim przedziale szukamy maksimum funkcji h

(

t

)

– na takim, jak zmienia si˛e

czas, czyli dla t

∈ h

0, 2

i

.

Zadania

.info

Podoba Ci się ten poradnik?

Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

2

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

T

IPS

& T

RICKS

1

Cz˛esto pojawiaj ˛

acy si˛e motyw to zło ˙zenie funkcji kwadratowej z inn ˛

a funkcj ˛

a.

Jaka jest najmniejsza mo ˙zliwa warto´s´c wyra ˙zenia sin

2

x

+

4 sin x

−

7?

Podstawiaj ˛

ac t

=

sin x mamy zwykł ˛

a funkcj˛e kwadratow ˛

a t

2

+

4t

−

7. Na jakim

przedziale szukamy jej warto´sci najmniejszej? – na takim, jakie s ˛

a mo ˙zliwe war-

to´sci wyra ˙zenia t

=

sin x, czyli na przedziale

h−

1, 1

i

. W tym przypadku warto´s´c

najmniejsz ˛

a otrzymujemy w ko ´ncu przedziału t

=

sin x

= −

1.

2

Przedział, na którym szukamy warto´sci najmniejszej/najwi˛ekszej mo ˙ze by´c niesko ´nczony
(tzw. niewła´sciwy), to znaczy jeden lub oba jego ko ´nce mog ˛

a by´c równe

±

∞. W takiej sytu-

acji warto´s´c najmniejsza lub najwi˛eksza istnieje tylko dla a

>

0 i a

<

0 odpowiednio.

Jaka jest najmniejsza warto´s´c funkcji

f

(

x

) =

x

4

−

2x

2

+

4?

Podstawiaj ˛

ac t

=

x

2

mamy funkcj˛e kwadratow ˛

a

f

(

t

) =

t

2

−

2t

+

4.

Na jakim przedziale szukamy warto´sci najmniejszej? – na takim, jakie warto´sci
przyjmuje t

=

x

2

, czyli na

h

0,

+

∞

)

.

3

Przypomnijmy, ˙ze wierzchołek paraboli znajduje si˛e dokładnie w połowie mi˛edzy pierwiast-
kami:

x

w

=

x

1

+

x

2

2

,

a warto´s´c funkcji w wierzchołku to po prostu f

(

x

w

)

. Własno´sci te bywaj ˛

a bardzo u ˙zyteczne

w przypadku zada ´n na ekstrema.

Jaki mo ˙ze by´c najwi˛ekszy iloczyn dwóch liczb dodatnich o sumie 4?
Szukamy najwi˛ekszej warto´sci funkcji

f

(

a

) =

a

(

4

−

a

)

na przedziale

(

0, 4

)

(bo a

>

0 i b

=

4

−

a

>

0). Warto´s´c ta to dokładnie warto´s´c w

wierzchołku

0

+

4

2

=

2, czyli 2

·

2

=

4.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

3

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

4

Bardzo u ˙zyteczn ˛

a obserwacj ˛

a jest fakt, ˙ze ekstrema funkcji f

(

x

)

s ˛

a dokładnie w tych samych

punktach, co ekstrema funkcji a f

(

x

)

, gdzie a

>

0. Je ˙zeli dopu´scimy te ˙z a

<

0, to trzeba

uwa ˙za´c, bo w tej sytuacji minima zamieniaj ˛

a si˛e na maksima i na odwrót.

Jakie jest maksymalne ł ˛

aczne pole powierzchni dwóch kul, których promienie r

1

i r

2

spełniaj ˛

a warunek r

1

+

r

2

=

2?

Szukamy warto´sci najwi˛ekszej funkcji

f

(

r

1

) =

4πr

2

1

+

4πr

2

2

=

4π

(

r

2

1

+ (

2

−

r

1

)

2

) =

8π

(

r

2

1

−

2r

1

+

2

)

,

na przedziale

(

0, 2

)

. Zgodnie z poczynion ˛

a uwag ˛

a wystarczy zajmowa´c si˛e wy-

ra ˙zeniem w nawiasie, a na koniec przemno ˙zy´c otrzymany wynik przez czynnik
8π.

5

Jaka jest ró ˙znica mi˛edzy minimum/maksimum, a warto´sci ˛

a najmniejsz ˛

a/najwi˛eksz ˛

a? – ty-

powy dylemat ka ˙zdego, kto rozpoczyna przygod˛e z ekstremami. Minima/maksima s ˛

a lokal-

ne, czyli s ˛

a własno´sci ˛

a funkcji na pewnym małym przedziale – mo ˙zna my´sle´c, ˙ze s ˛

a to dołki

i górki na wykresie. Oczywi´scie takich dołków/górek mo ˙ze by´c du ˙zo i nie musz ˛

a one mie´c

nic wspólnego z warto´sci ˛

a najmniejsz ˛

a/najwi˛eksz ˛

a.

Wystarczy wzi ˛

a´c pierwszy z brzegu wykres kawałka wielomianu stopnia 3, ˙zeby

zobaczy´c, ˙ze funkcja mo ˙ze mie´c i maksimum i minimum, ale nie s ˛

a to warto´sci

najwi˛eksza/najmniejsza.

-5

-1

+1

+5

x

-5

-1

+1

+5

y

Dobrze znane wykresy sinusa/cosinusa pokazuj ˛

a, ˙ze górek/dołków mo ˙ze by´c

bardzo du ˙zo.

Wprawdzie wy ˙zej jest przykład, ˙ze minimum/maksimum nie musi dawa´c warto´sci naj-
mniejszej/najwi˛ekszej funkcji, ale jest to prawie prawda; dla porz ˛

adnych funkcji (wszystkich

szkolnych), warto´s´c najmniejsza (je ˙zeli istnieje) jest zawsze jednym z minimów lub warto-

´sci ˛

a funkcji w ko ´ncu przedziału. Podobnie jest z warto´sci ˛

a najwi˛eksz ˛

a – tak wła´snie szuka

si˛e tych warto´sci przy pomocy pochodnych.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

4

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Terminem ekstrema zwykle okre´sla si˛e zarówno minima/maksima jak i warto´s´c naj-

wi˛eksz ˛

a/najmniejsz ˛

a.

6

W przypadku funkcji kwadratowej u ˙zywanie pochodnych w zasadzie nic nie daje – po pro-
stu na nowo wyprowadzamy wzór na wierzchołek paraboli.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

5