POSTAĆ
KANONICZNA
FUNKCJI
KWADRATOWEJ
POSTAĆ
KANONICZNA
FUNKCJI
KWADRATOWEJ
Funkcję kwadratową można zapisać w postaci ogólnej:
Z takiej postaci wyznaczamy współczynniki a, b, c oraz
stwierdzimy czy parabola będąca wykresem funkcji ma
ramiona skierowane do góry czy na dół (jeżeli a>0 –
parabola ma ramiona skierowane do góry; jeżeli a<0 -
parabola ma ramiona skierowane w dół).
Charakterystycznym punktem paraboli jest jej
wierzchołek W=(p,q) który możemy wyznaczyć ze
wzorów:
gdzie:
Funkcję kwadratową można zapisać w postaci
kanonicznej:
Zadanie1: Oblicz wyróżnik funkcji kwadratowej:
a)
f(x)=6x
2
+2x-1
a=6 b=2 c=-1
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 2
2
- 4·6·(-1) = 4 + 24 = 28 –
wyróżnik funkcji
kwadratowej
b)
f(x)=-4x
2
+x+5
a=-4 b=1 c=5
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 1
2
- 4·(-4)·5 = 1 + 80 = 81
– wyróżnik funkcji
kwadratowej
c)
f(x)=3x
2
+3x
a=3 b=3 c=0
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 3
2
- 4·3·0 = 9 – 0 = 9
– wyróżnik funkcji kwadratowej
d)
f(x)=-5x
2
-x
a=-5 b=-1 c=0
Δ = b
2
- 4ac
Δ = (-1)
2
- 4·(-5)·0 = 1 + 0 = 1
– wyróżnik funkcji
kwadratowej
e)
f(x)=8x
2
+3x
a=8 b=3 c=0
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 3
2
- 4·8·0 = 9 – 0 = 9
– wyróżnik funkcji kwadratowej
f)
f(x)=-x
2
+1
a=-1 b=0 c=1
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 0
2
- 4·(-1)·1 = 0 + 4 = 4
– wyróżnik funkcji
kwadratowej
Zadanie2: Wyznacz współrzędne wierzchołka
paraboli, która jest wykresem funkcji:
a)
f(x)=8x
2
-5x+2
a=8 b=-5 c=2
Δ = b
2
- 4ac
Δ = (-5)
2
- 4·8·2 = 25 - 64 = -39
b)
g(x)=-6x
2
+x+1
a=-6 b=1 c=1
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 1
2
- 4·(-6)·1 = 1 + 24 = 25
c)
h(x)=3x
2
-6x
a=3 b=-6 c=0
Δ = b
2
- 4ac
Δ = (-6)
2
- 4·3·0 = 36 - 0 = 36
d)
h(x)=2x
2
-8
a=2 b=0 c=-8
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 0
2
- 4·2·(-8) = 0 + 64 = 64
e)
f(x)=-x
2
+x
a=-1 b=1 c=0
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 1
2
- 4·(-1)·0 = 1 - 0 = 1
f)
g(x)=-4x
2
+2
a=-4 b=0 c=2
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 0
2
- 4·(-4)·2 = 0 + 32 = 32
Zadanie3: Przedstaw funkcję w postaci kanonicznej:
a)
f(x)=4x
2
-6x+1
a=4 b=-6 c=1
Δ = b
2
- 4ac
Δ = (-6)
2
- 4·4·1 = 36 - 16 = 20
b)
f(x)=-3x
2
+x-8
a=-3 b=1 c=-8
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 1
2
- 4·(-3)·(-8) = 1 - 96 = -95
c)
h(x)=-x
2
+9
a=-1 b=0 c=9
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 0
2
- 4·(-1)·9 = 0 + 36 = 36
d)
g(x)=4x
2
-36
a=4 b=0 c=-36
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 0
2
- 4·4·(-36) = 0 + 576 = 576
e)
g(x)=x
2
+8x
a=1 b=8 c=0
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 8
2
- 4·1·0 = 64 - 0 = 64
f)
p(x)=5x
2
+10x
a=5 b=10 c=0
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 10
2
- 4·5·0 = 100 - 0 = 100
g)
f(x)=x
2
+5x+4
a=1 b=5 c=4
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 5
2
- 4·1·4 = 25 - 16 = 9
h)
f(x)=-x
2
-6x-5
a=-1 b=-6 c=-5
Δ = b
2
- 4ac
Δ = (-6)
2
- 4·(-1)·(-5) = 36 - 20 = 16
Zadanie4: Funkcję zapisaną w postaci kanonicznej
przedstaw
w postaci ogólnej:
a)
f(x)=8(x-6)
2
+2
f(x)=8(x-6)
2
+2
f(x)=8(x
2
-2·x·6+6
2
)+2
f(x)=8(x
2
-12x+36)+2
f(x)=8x
2
-96x+288+2
f(x)=8x
2
-96x+290 -
postać ogólna funkcji
kwadratowej
b)
g(x)=-(x+3)
2
+3
g(x)=-(x+3)
2
+3
g(x)=-(x
2
+2·x·3+3
2
)+3
g(x)=-(x
2
+6x+9)+3
g(x)=-x
2
-6x-9+3
g(x)=-x
2
-6x-6 -
postać ogólna funkcji
kwadratowej
c)
h(x)=-2(x+4)
2
-5
h(x)=-2(x+4)
2
-5
h(x)=-2(x
2
+2·x·4+4
2
)-5
h(x)=-2(x
2
+8x+16)-5
h(x)=-2x
2
-16x-32-5
h(x)=-2x
2
-16x-37 -
postać ogólna funkcji
kwadratowej