www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
F
UNKCJA KWADRATOWA
funkcji kwadratowej
f
(
x
) =
ax
2
+
bx
+
c
jest parabola. Jej ramiona s ˛
a skierowane w gór˛e gdy a
>
0 i w dół dla a
<
0. Je ˙zeli a
=
0
to funkcja jest liniowa. Parabola ma dwa rodzaje punktów szczególnych – wierzchołek i
miejsca zerowe (punkty przeci˛ecia z osi ˛
a Ox). Miejsca zerowe to rozwi ˛
azania równania
ax
2
+
bx
+
c
=
0.
a) Je ˙zeli równanie to ma dwa rozwi ˛
azania (
∆
>
0) to s ˛
a dwa miejsca zerowe.
x
y
a<0
Δ>0
x
y
Δ>0
a>0
x
2
x
1
x
1
x
2
b) Je ˙zeli jest tylko jedno miejsce zerowe (
∆
=
0) to parabola jest styczna w wierzchołku
do osi Ox
x
y
x
y
Δ=0
a>0
Δ=0
a<0
x
0
x
0
c) Je ˙zeli równanie nie ma rozwi ˛
aza ´n (
∆
<
0) to parabola nie przecina osi Ox.
x
y
x
y
Δ<0
a>0
Δ<0
a<0
Materiał pobrany z serwisu
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Wierzchołek paraboli
Współrz˛edne wierzchołka paraboli wyznacza si˛e z tak zwanej postaci kanonicznej funkcji
kwadratowej i s ˛
a one równe
(
x
w
, y
w
) =
−
b
2a
,
−
∆
4a
=
−
b
2a
,
−
b
2
−
4ac
4a
.
Posta´c kanoniczna
Sprowadzanie funkcji kwadratowej do postaci kanonicznej
f
(
x
) =
a
(
x
−
x
w
)
2
+
y
w
bywa bardzo u ˙zyteczne i dlatego warto nauczy´c si˛e to robi´c.
Sprowadzenie takie wykonujemy uzupełniaj ˛
ac do pełnego kwadratu.
2x
2
−
4x
+
5
=
2
(
x
2
−
2x
) +
5
=
=
2
(
x
2
−
2x
+
1
−
1
) +
5
=
2
(
x
−
1
)
2
+
3.
Maj ˛
ac posta´c kanoniczn ˛
a, mamy współrz˛edne wierzchołka:
(
1, 3
)
– dokładnie w ten
sposób wyprowadza si˛e wzory na
(
x
w
, y
w
)
.
Posta´c kanoniczna bywa natomiast bardzo u ˙zyteczna, gdy chcemy napisa´c wzór paraboli
znaj ˛
ac współrz˛edne jej wierzchołka.
Wyznacz współczynniki a i b funkcji kwadratowej f
(
x
) =
ax
2
+
bx
−
4 je ˙zeli jej
wierzchołek ma współrz˛edne
(
1,
−
1
)
.
Skoro znamy wierzchołek paraboli, to wiemy, ˙ze funkcja jest postaci
f
(
x
) =
a
(
x
−
1
)
2
−
1
=
ax
2
−
2ax
+
a
−
1.
Porównuj ˛
ac współczynniki z podanym w tre´sci zadania wzorem dostajemy a
= −
3
i b
=
6.
Zadania
.info
Podoba Ci się ten poradnik?
Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!
Materiał pobrany z serwisu
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Monotoniczno´s´c
Ka ˙zda funkcja kwadratowa ma dwa (maksymalne) przedziały monotoniczno´sci:
a) na lewo od wierzchołka (czyli w przedziale
(−
∞, x
w
i
) jest malej ˛
aca dla a
>
0 (rosn ˛
aca
dla a
<
0);
b) na prawo od wierzchołka (czyli w przedziale
h
x
w
,
+
∞
)
) jest rosn ˛
aca dla a
>
0 (malej ˛
a-
ca dla a
<
0).
Je ˙zeli kto´s nie pami˛eta, to
jest rosn ˛
aca, gdy dla coraz wi˛ekszych argumentów przyj-
muje coraz wi˛eksze warto´sci, a malej ˛
aca, gdy przyjmowane warto´sci s ˛
a coraz mniejsze. Na
przejawia si˛e to tym, ˙ze wykres jedzie do góry lub na dół odpowiednio (patrz ˛
ac w
kierunku strzałki na osi Ox).
T
IPS
& T
RICKS
1
Je ˙zeli znamy miejsca zerowe x
1
i x
2
paraboli to wierzchołek znajduje si˛e dokładnie pomi˛edzy
nimi – jego pierwsza współrz˛edna jest równa
x
1
+
x
2
2
.
W jakim punkcie jest wierzchołek paraboli
4
(
x
−
19
)(
x
+
13
)
?
Dokładnie w ´srodku mi˛edzy pierwiastkami x
w
=
19
−
13
2
=
3.
2
Je ˙zeli kto´s nie boi si˛e pochodnych, to pierwsza współrz˛edna wierzchołka paraboli to po
prostu miejsce zerowe pochodnej.
3
Druga współrz˛edna wierzchołka paraboli to po prostu warto´s´c funkcji kwadratowej na
pierwszej współrz˛ednej wierzchołka – je ˙zeli znamy ju ˙z x
w
to cz˛esto łatwiej jest policzy´c
f
(
x
w
)
ni ˙z wylicza´c ze wzoru y
w
; tak jest na przykład dla x
w
=
0 lub x
w
= ±
1.
Jaka jest druga współrz˛edna wierzchołka paraboli
4
(
x
−
19
)(
x
+
13
)
?
Policzyli´smy ju ˙z, ˙ze wierzchołek jest w punkcie x
2
=
3. Zatem
y
w
=
4
(
3
−
19
)(
3
+
13
) =
4
·
16
2
= −
1024.
Materiał pobrany z serwisu
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
4
Je ˙zeli chcemy narysowa´c parabol˛e o danym wzorze to najwa ˙zniejsze jest wyznaczenie współ-
rz˛ednych wierzchołka. Potem wystarczy znale´z´c 1 lub 2 punkty na paraboli (np. podstawia-
j ˛
ac x
= ±
1 lub x
=
0) i ju ˙z mo ˙zemy naszkicowa´c parabol˛e. Je ˙zeli
∆
>
0 to wygodnie
jest te ˙z zna´c pierwiastki. Rysuj ˛
ac parabol˛e nale ˙zy pami˛eta´c o tym, ˙ze jest ona symetryczna
wzgl˛edem pionowej prostej przechodz ˛
acej przez wierzchołek.
5
Nale ˙zy pami˛eta´c, ˙ze miejsca zerowe paraboli nie wyznaczaj ˛
a jej jednoznacznie – ka ˙zda pa-
rabola postaci a
(
x
−
x
1
)(
x
−
x
2
)
ma miejsca zerowe x
1
i x
2
. Z t ˛
a uwag ˛
a wi ˛
a ˙ze si˛e popularny
bł ˛
ad: je ˙zeli podane s ˛
a miejsca zerowe x
1
i x
2
funkcji kwadratowej to wiele osób wnioskuje,
˙ze funkcja musi by´c postaci
(
x
−
x
1
)(
x
−
x
2
)
. Tymczasem mo ˙ze to by´c dowolna parabola po-
staci a
(
x
−
x
1
)(
x
−
x
2
)
– współczynnik a trzeba wyznaczy´c z innych danych z tre´sci zadania.
Wyznaczmy wszystkie parabole przechodz ˛
ace przez punkty
(−
2,
−
1
)
i
(
3,
−
1
)
.
Zauwa ˙zmy, ˙ze je ˙zeli przesuniemy szukan ˛
a parabol˛e o 1 jednostk˛e do góry, to b˛e-
dziemy mieli parabol˛e o miejscach zerowych
(−
2, 0
)
i
(
3, 0
)
. Zatem szukane para-
bole s ˛
a postaci
f
(
x
) =
a
(
x
+
2
)(
x
−
3
) −
1
=
ax
2
−
ax
−
6a
−
1
dla a
6=
0.
6
Znaj ˛
ac przedziały monotoniczno´sci funkcji kwadratowej, znamy pierwsz ˛
a współrz˛edn ˛
a jej
wierzchołka oraz współczynnik przy x
2
.
Sprawd´zmy kiedy parabola
y
=
ax
2
+
2a
3
x
+
1
jest rosn ˛
aca na przedziale
(−
∞,
−
4
i
i malej ˛
aca na przedziale
h−
4,
+
∞
)
. Z podanych
informacji wiemy, ˙ze ramiona paraboli s ˛
a skierowane w dół (a
<
0), oraz
−
4
=
x
w
=
−
2a
3
2a
⇒
a
2
=
4
⇒
a
= −
2.
7
Informacji o pierwszej współrz˛ednej wierzchołka paraboli dostarcza nam równie ˙z znajo-
mo´s´c jej osi symetrii.
Materiał pobrany z serwisu
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Parabola y
=
x
2
+
bx
+
c jest symetryczna wzgl˛edem prostej x
= −
2 i styczna do
prostej y
= −
7. Wyznacz a i b.
O´s symetrii daje nam x
w
= −
2, czyli b
=
4. Styczno´s´c do prostej y
= −
7 oznacza,
˙ze druga współrz˛edna wierzchołka jest równa -7. Mamy wi˛ec
−
7
=
y
w
=
f
(
x
w
) =
4
−
8
+
c
⇒
c
= −
3.
-10
-5
-1
+1
x
-10
-5
-1
+1
y
y=x +4x-3
2
y=-7
x=-2
8
Cz˛esto w zadaniach (szczególnie z geometrii analitycznej) pojawiaj ˛
a si˛e równania postaci
x
−
y
2
+
1
=
0. Aby narysowa´c wykres takiego wyra ˙zenia nale ˙zy na nie patrze´c jak na
wykres postaci x
=
f
(
y
)
– tzn. zamieniamy rol˛e osi Ox i Oy (patrzymy na kartk˛e z układem
współrz˛ednych z boku).
Wykresem wyra ˙zenia x
=
y
2
−
1 jest pozioma parabola x
=
y
2
przesuni˛eta o jedn ˛
a
jednostk˛e w lewo.
-5
-1
+1
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
˙Zeby było jasne, otrzymany wykres nie jest wykresem funkcji je ˙zeli traktujemy
x–sy jako argumenty, a y–ki jako warto´sci – funkcja musi mie´c jednoznaczn ˛
a war-
to´s´c dla ka ˙zdego argumentu (mo ˙zna my´sle´c, ˙ze s ˛
a to dwie funkcje y
=
√
x
−
1 i
y
= −
√
x
−
1 narysowane w jednym układzie współrz˛ednych). Jest to natomiast
wykres funkcji przy zamienionych rolach x–a i y–ka.
Materiał pobrany z serwisu
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Wykresem funkcji y
=
√
x te ˙z jest (pozioma) parabola, a w zasadzie jej połowa.
Aby to zobaczy´c wystarczy przepisa´c sobie ten wzór w postaci y
2
=
x. Paraboli
wychodzi pół, bo mamy zało ˙zenie y
>
0.
+1
+2.5
+5
x
-0.5
+0.5
+2.5
+5
y
y= x
9
Niektóre zadania na równania/nierówno´sci kwadratowe z parametrem sprowadzaj ˛
a si˛e do
ustalenia, kiedy parabola znajduje si˛e powy ˙zej/poni ˙zej osi nad pewnym przedziałem.
Zastanówmy si˛e kiedy zbiór rozwi ˛
aza ´n nierówno´sci
mx
2
+
2mx
−
1
<
0
zawiera przedział
(
0, 3
)
. Zadanie sprowadza si˛e do pytania kiedy parabola y
=
f
(
x
)
, b˛ed ˛
aca wykresem lewej strony nierówno´sci, jest poni ˙zej osi Ox dla x
∈ (
0, 3
)
.
Aby odpowiedzie´c na takie pytanie trzeba sobie wyobrazi´c wszystkie mo ˙zliwe po-
ło ˙zenia takiej paraboli. W podanym przykładzie s ˛
a trzy mo ˙zliwo´sci
a) Cała parabola jest poni ˙zej osi Ox (współczynnik przy x
2
ujemny i
∆
<
0).
b) Ramiona paraboli s ˛
a skierowane w gór˛e, ale na przedziale
(
0, 3
)
parabola jest
poni ˙zej osi (współczynnik przy x
2
jest dodatni, f
(
0
) 6
0 oraz f
(
3
) 6
0).
c) Parabola ma ramiona skierowane w dół (współczynnik przy x
2
ujemny) i na
przedziale
(
0, 3
)
jest poni ˙zej osi ( f
(
0
) 6
0, f
(
3
) 6
0 oraz wierzchołek musi
by´c poza przedziałem
(
0, 3
)
).
x
y
0
3
x
y
0
3
x
y
0
3
Materiał pobrany z serwisu
6
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
10
Ile punktów wyznacza parabol˛e? – łatwo sobie wyobrazi´c, ˙ze dwa to za mało – jest peł-
no parabol przechodz ˛
acych przez dwa punkty. Natomiast 3 punkty wyznaczaj ˛
a parabol˛e
jednoznacznie – odpowiada to temu, ˙ze we wzorze funkcji y
=
ax
2
+
bx
+
c mamy trzy
parametry/niewiadome.
Wyznaczmy parabol˛e o miejscach zerowych -2 i 1 i przechodz ˛
ac ˛
a przez punkt
(
2, 8
)
.
Z informacji o miejscach zerowych wiemy, ˙ze parabola jest postaci
a
(
x
+
2
)(
x
−
1
)
.
Z informacji o podanym punkcie wyliczamy a
=
2.
Od tej zasady jest jeden wa ˙zny wyj ˛
atek – parabola jest jednoznacznie wyznaczona przez
wierzchołek i jeden dodatkowy punkt. Powód jest taki, ˙ze ˙z ˛
adanie, ˙zeby jaki´s punkt był
wierzchołkiem, daje dwa równania – jedno, ˙ze punkt le ˙zy na paraboli, drugie, ˙ze jest wierz-
chołkiem. W tego typu zadaniach bardzo wygodna jest posta´c kanoniczna.
Wyznaczmy parabol˛e przechodz ˛
ac ˛
a przez punkt
(
2, 3
)
, której wierzchołek jest w
punkcie
(
1, 2
)
. Korzystaj ˛
ac z postaci kanonicznej, parabola taka musi mie´c posta´c
a
(
x
−
1
)
2
+
2.
Uwzgl˛edniaj ˛
ac podany punkt na paraboli otrzymujemy a
=
1.
11
W zasadzie nie ma to wiele wspólnego z zadaniami szkolnymi, ale tak jak okr ˛
ag jest zbiorem
punktów, które s ˛
a równo odległe od ustalonego punktu, parabola jest zbiorem punktów,
które s ˛
a równo odległe od ustalonej prostej (kierownicy) i punktu (ogniska).
Mo ˙zna policzy´c, ˙ze dla kierownicy y
=
0 i ogniska
(
0, 1
)
wychodzi parabola y
=
1
2
x
2
+
1
2
.
-2.5
+1
+2.5
x
-0.5
+0.5
+2.5
+5
y
Materiał pobrany z serwisu
7
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
12
Na pocz ˛
atku trudno w to uwierzy´c, ale wszystkie parabole maj ˛
a dokładnie taki sam kształt,
to znaczy ka ˙zde dwie parabole ró ˙zni ˛
a si˛e o jednokładno´s´c i przesuni˛ecie – sytuacja jest iden-
tyczna jak dla okr˛egów: z dokładno´sci ˛
a do rozmiaru wszystkie s ˛
a takie same.
Sprawd´zmy co si˛e stanie z parabol ˛
a y
=
x
2
po jednokładno´sci o ´srodku w
(
0, 0
)
i
skali 2.
Mo ˙zemy t˛e jednokładno´s´c J zapisa´c nast˛epuj ˛
aco: J
(
x, y
) = (
x
0
, y
0
) = (
2x, 2y
)
. Rów-
nanie paraboli po tej zmianie b˛edzie miało posta´c
y
0
2
=
x
0
2
2
⇒
y
0
=
1
2
(
x
0
)
2
.
(punkt
(
x, y
)
, który spełniał równanie y
=
x
2
, po jednokładno´sci spełnia wypro-
wadzone równanie). Opuszczaj ˛
ac primy (nie ma znaczenia jakim znaczkiem ozna-
czamy argumenty i warto´sci funkcji), otrzymujemy parabol˛e y
=
1
2
x
2
– tak wi˛ec
parabola ta jest dokładnie dwa razy wi˛eksza od y
=
x
2
.
-2.5
+1
+2.5
x
-0.5
+0.5
+2.5
+5
y
Materiał pobrany z serwisu
8
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej
funkcja kwadratowa praca klasowa
FUNKCJA KWADRATOWA teoria oraz zadania
5 Funkcja kwadratowa, Instrukcja 5 - funkcja kwadratowa - normalizacja
Funkcja kwadratowa, matematyka
funkcja kwadratowa, Technikum, Matematyka
Matematyka Funkcja kwadratowa
zadania funkcja kwadratowa
4 Funkcja kwadratowa
225 Miejsca Zerowe Funkcji Kwadratowej
FUNKCJA KWADRATOWA, Matematyka
funkcja kwadratowa (2), Matematyka, Liceum
Własności funkcji kwadratowej
274 zadania funkcje kwadratowe
funkcje kwadratowe
Funkcja kwadratowa, wyznaczniki
Funkcja kwadratowa - zestawienia wzorów, MATEMATYKA
więcej podobnych podstron