Materiały pochodzą z Platformy
Edukacyjnej Portalu
www.szkolnictwo.pl
Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego
Użytkowników
wyłącznie
w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian,
przesyłanie,
publiczne
odtwarzanie
i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby
własne
oraz
do
wykorzystania
w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.
MIEJSCA ZEROWE
FUNKCJI
KWADRATOWEJ
Miejsce zerowe
funkcji to argument, dla którego funkcja
przyjmuje wartość zero. Graficznie szukamy punktów
przecięcia wykresu funkcji z osią x – wtedy pierwsza
współrzędna tego punktu (odcięta) to miejsce zerowe
funkcji.
Funkcja kwadratowa może mieć dwa miejsca zerowe,
jedno miejsce zerowe lub może nie mieć wcale miejsc
zerowych.
Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej zależy od
wyróżnika trójmianu kwadratowego – od delty liczonej ze
wzoru:
Δ=b
2
-4ac
Rozpatrzymy przypadki:
1)) Jeżeli Δ>0 to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca
zerowe:
2)) Jeżeli Δ=0 to funkcja ma jedno miejsce zerowe:
3)) Jeżeli Δ<0 to funkcja nie ma miejsc zerowych.
x
2
x
1
x
1
x
2
x
0
x
0
Zadanie1: Określ liczbę miejsc zerowych funkcji
kwadratowej:
a)
f(x)=x
2
+8x
a=1 b=8 c=0
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 8
2
- 4·1·0 = 64
Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe
b)
f(x)=-2x
2
+2
a=-2 b=0 c=2
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 0
2
- 4·(-2)·2 = 16
Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe
c)
h(x)=x
2
-8x+16
a=1 b=-8 c=16
Δ = b
2
- 4ac
Δ = (-8)
2
- 4·1·16 = 64 – 64 = 0
Δ = 0 funkcja posiada jedno miejsce zerowe
d)
g(x)=x
2
+2x+10
a=1 b=2 c=10
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 2
2
- 4·1·10 = 4 - 40 = -36
Δ < 0 funkcja nie posiada miejsc zerowych
Zadanie2: Oblicz miejsca zerowe funkcji
kwadratowej:
a)
y=x
2
+x-2
a=1 b=1 c=-2
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 1
2
- 4·1·(-2) = 1 + 8 = 9
Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe
Miejscami zerowymi funkcji są argumenty: -2 i 1.
b)
y=x
2
-6x+9
a=1 b=-6 c=9
Δ = b
2
- 4ac
Δ = (-6)
2
- 4·1·9 = 36 -36 = 0
Δ = 0 funkcja posiada jedno miejsce zerowe
Miejscem zerowym funkcji jest argument 3.
c)
y=-x
2
-4x-4
a=-1 b=-4 c=-4
Δ = b
2
- 4ac
Δ = (-4)
2
- 4·(-1)·(-4) = 16 - 16 = 0
Δ = 0 funkcja posiada jedno miejsce zerowe
Miejscem zerowym funkcji jest argument -2.
d)
y=x
2
+4x+3
a=1 b=4 c=3
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 4
2
- 4·1·3 = 16 - 12 = 4
Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe
Miejscami zerowymi funkcji są argumenty: -3 i -1.
e)
y=-x
2
-5x-4
a=-1 b=-5 c=-4
Δ = b
2
- 4ac
Δ = (-5)
2
- 4·(-1)·(-4) = 25 - 16 = 9
Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe
Miejscami zerowymi funkcji są argumenty: -4 i -1.
f)
y=-x
2
-4
a=-1 b=0 c=-4
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 0
2
- 4·(-1)·(-4) = 0 - 16 = -16
Δ < 0 funkcja nie posiada miejsc zerowych
x
0
∈
∅
g)
y=-x
2
-x-4
a=-1 b=-1 c=-4
Δ = b
2
- 4ac
Δ = (-1)
2
- 4·(-1)·(-4) = 1 - 16 = -15
Δ < 0 funkcja nie posiada miejsc zerowych
x
0
∈
∅
h)
y=x
2
+6x
a=1 b=6 c=0
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 6
2
– 4·1·0 = 36 - 0 = 36
Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe
Miejscami zerowymi funkcji są argumenty: -6 i 0.
i)
y=-2x
2
-10x
a=-2 b=-10 c=0
Δ = b
2
- 4ac
Δ = (-10)
2
– 4·(-2)·0 = 100 - 0 = 100
Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe
Miejscami zerowymi funkcji są argumenty: -5 i 0.
j)
y=x
2
-9
a=1 b=0 c=-9
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 0
2
– 4·1·(-9) = 0 + 36 = 36
Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe
Miejscami zerowymi funkcji są argumenty: -3 i 3.
Zadanie3: Która z liczb: -4, 0, 1, 2, 5, 10 jest
miejscem zerowym funkcji kwadratowej:
f(x)=2x
2
-x-1
f(-4) = 2·(-4)
2
-(-1)-1 = 2·16+1-1=32
f(0) = 2·0
2
-0-1 = 2·0-1=-1
f(1) = 2·1
2
-1-1 = 2-1-1=0
f(2) = 2·2
2
-2-1 = 2·4-2-1=8-2-1=5
f(5) = 2·5
2
-5-1 = 2·25-5-1=50-5-1=44
f(10) = 2·10
2
-10-1 = 2·100-10-1=200-10-1=189
Spośród podanych liczb miejscem zerowym jest
liczba 1.
Document Outline