www.zadania.info – NAJWI ĘKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA Ń Z MATEMATYKI EKSTREMA FUNKCJI KWADRATOWEJ

Po wyrzuceniu ze szkoły pochodnych, funkcja kwadratowa stała się tematem przewodnim wszystkich zada ń na ekstrema. Sytuacja jest w zasadzie dość prosta – zadania tego typu sprowadzają się do wyznaczenia najmniejszej/największej wartości funkcji kwadratowej na pewnym przedziale. Mo żliwe sytuacje są następujące.

a) Je żeli szukamy wartości największej, ramiona paraboli są skierowane w dół i wierzchołek jest zawarty w rozwa żanym przedziale, to wartość największa jest osiągana w wierzchołku, to znaczy

−b −∆

fmax = f (xw) = yw dla (xw, yw) =

,

.

2a

4a

y

y

yw

yw

x

a xw

b

x

a

xw b

b) Je żeli szukamy wartości najmniejszej, ramiona paraboli są skierowane do góry i wierzchołek jest zawarty w rozwa żanym przedziale, to wartość najmniejsza jest osiągana w wierzchołku.

c) W ka żdej innej sytuacji, wartość największa/najmniejsza jest osiągana w jednym z ko ńców przedziału – w którym? – trzeba policzyć wartości w obu ko ńcach i je po-równać.

y

y

x

a

b

x

a

b

Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info

1

www.zadania.info – NAJWI ĘKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA Ń Z MATEMATYKI Znajdźmy najmniejszą wartość funkcji

f (x) = 2x2 − 4x + 7

na przedziale h−1, 0i.

Poniewa ż xw = 1 6∈ h−1, 0i, wartość ta jest przyjmowana w jednym z ko ńców przedziału. Mamy

f (−1) = 13 > f (0) = 7.

Zatem najmniejsza wartość to f (0) = 7.

Ważna jest dziedzina!

W zadaniach na ekstrema bardzo wa żne (i często kłopotliwe) jest wyznaczenie przedziału na którym szukamy ekstremum. Ogólna zasada jest taka, że gdy wyznaczymy ju ż wzór funkcji f (x), której mamy znaleźć ekstremum, to musimy ustalić jakie są mo żliwe wartości argumentu x. Jak to zrobić? – to zale ży od rodzaju i treści zadania: je żeli x jest długością jakiegoś odcinka to x > 0, je żeli x = sin α to x ∈ h−1, 1i, je żeli x = 2t to x ∈ (0, +∞) itd.

Spróbujmy znaleźć największe mo żliwe pole prostokąta o obwodzie 4.

Je żeli oznaczymy boki prostokąta przez a i 2 − a to szukamy największej mo ż-

liwej wartości wyra żenia a(2 − a). Na jakim przedziale? – boki prostokąta nie mogą być ujemne, więc a ∈ (0, 2). Łatwo policzyć, że maksymalne pole mamy dla kwadratu o boku 1.

Z krawędzi dachu podrzucono kamie ń, który po 2 sekundach spadł na ziemię.

Wysokość, na jakiej znajdował się kamie ń nad ziemią po upływie t sekund od chwili jego podrzucenia, opisuje funkcja h(t) = −5t2 + 5t + 10. Na jaką najwięk-szą wysokość wzniósł się ten kamie ń?

Na jakim przedziale szukamy maksimum funkcji h(t) – na takim, jak zmienia się czas, czyli dla t ∈ h0, 2i.

Zadania.info Podoba Ci się ten poradnik?

Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!

Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info

2

www.zadania.info – NAJWI ĘKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA Ń Z MATEMATYKI TIPS & TRICKS

1

Często pojawiający się motyw to zło żenie funkcji kwadratowej z inną funkcją.

Jaka jest najmniejsza mo żliwa wartość wyra żenia sin2 x + 4 sin x − 7?

Podstawiając t = sin x mamy zwykłą funkcję kwadratową t2 + 4t − 7. Na jakim przedziale szukamy jej wartości najmniejszej? – na takim, jakie są mo żliwe wartości wyra żenia t = sin x, czyli na przedziale h−1, 1i. W tym przypadku wartość najmniejszą otrzymujemy w ko ńcu przedziału t = sin x = −1.

2

Przedział, na którym szukamy wartości najmniejszej/największej mo że być niesko ńczony (tzw. niewłaściwy), to znaczy jeden lub oba jego ko ńce mogą być równe ±∞. W takiej sytuacji wartość najmniejsza lub największa istnieje tylko dla a > 0 i a < 0 odpowiednio.

Jaka jest najmniejsza wartość funkcji

f (x) = x4 − 2x2 + 4?

Podstawiając t = x2 mamy funkcję kwadratową

f (t) = t2 − 2t + 4.

Na jakim przedziale szukamy wartości najmniejszej? – na takim, jakie wartości przyjmuje t = x2, czyli na h0, +∞).

3

Przypomnijmy, że wierzchołek paraboli znajduje się dokładnie w połowie między pierwiast-kami:

x

x

1 + x2

w =

,

2

a wartość funkcji w wierzchołku to po prostu f (xw). Własności te bywają bardzo u żyteczne w przypadku zada ń na ekstrema.

Jaki mo że być największy iloczyn dwóch liczb dodatnich o sumie 4?

Szukamy największej wartości funkcji

f (a) = a(4 − a)

na przedziale (0, 4) (bo a > 0 i b = 4 − a > 0). Wartość ta to dokładnie wartość w wierzchołku 0+4 = 2, czyli 2 · 2 = 4.

2

Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info

3

www.zadania.info – NAJWI ĘKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA Ń Z MATEMATYKI 4

Bardzo u żyteczną obserwacją jest fakt, że ekstrema funkcji f (x) są dokładnie w tych samych punktach, co ekstrema funkcji a f (x), gdzie a > 0. Je żeli dopuścimy te ż a < 0, to trzeba uwa żać, bo w tej sytuacji minima zamieniają się na maksima i na odwrót.

Jakie jest maksymalne łączne pole powierzchni dwóch kul, których promienie r1

i r2 spełniają warunek r1 + r2 = 2?

Szukamy wartości największej funkcji

f (r1) = 4 π r2

−

1 + 4 π r2

2 = 4 π(r2

1 + (2 − r1)2) = 8 π(r2

1

2r1 + 2),

na przedziale (0, 2). Zgodnie z poczynioną uwagą wystarczy zajmować się wy-ra żeniem w nawiasie, a na koniec przemno żyć otrzymany wynik przez czynnik 8 π.

5

Jaka jest ró żnica między minimum/maksimum, a wartością najmniejszą/największą? – ty-powy dylemat ka żdego, kto rozpoczyna przygodę z ekstremami. Minima/maksima są lokal-ne, czyli są własnością funkcji na pewnym małym przedziale – mo żna myśleć, że są to dołki i górki na wykresie. Oczywiście takich dołków/górek mo że być du żo i nie muszą one mieć nic wspólnego z wartością najmniejszą/największą.

Wystarczy wziąć pierwszy z brzegu wykres kawałka wielomianu stopnia 3, żeby zobaczyć, że funkcja mo że mieć i maksimum i minimum, ale nie są to wartości największa/najmniejsza.

y

+5

+1

-5

-1

+1

+5

x

-1

-5

Dobrze znane wykresy sinusa/cosinusa pokazują, że górek/dołków mo że być bardzo du żo.

Wprawdzie wy żej jest przykład, że minimum/maksimum nie musi dawać wartości najmniejszej/największej funkcji, ale jest to prawie prawda; dla porządnych funkcji (wszystkich szkolnych), wartość najmniejsza (je żeli istnieje) jest zawsze jednym z minimów lub warto-

ścią funkcji w ko ńcu przedziału. Podobnie jest z wartością największą – tak właśnie szuka się tych wartości przy pomocy pochodnych.

Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info

4

www.zadania.info – NAJWI ĘKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA Ń Z MATEMATYKI Terminem ekstrema zwykle określa się zarówno minima/maksima jak i wartość największą/najmniejszą.

6

W przypadku funkcji kwadratowej u żywanie pochodnych w zasadzie nic nie daje – po prostu na nowo wyprowadzamy wzór na wierzchołek paraboli.

Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info

5