CWICZENIA PO 8 WYKŁADZIE
MACIEJ SOBOLEWSKI
1. ZADANIA
Zadanie 1.
Na rynku dóbr zróżnicowanych działają dwie firmy i = 1, 2. Popyt rynkowy na dobro produkowane przez każdą z tych firm wynosi qi = 24 − 5pi + 2pj, gdzie i = 1, 2 j = 1, 2 i 6= j. Koszty krańcowe produkcji wynoszą zero. Firmy konkurują ustalając ceny.
a) Znajdź funkcje reakcji obu firm.
b) Znajdź równowagę Nasha w przypadku gdy firmy ustalają ceny jednorazowo, niezależnie i jednocześnie.
c) Ustal ceny w sytuacji gdy firmy utworzyły kartel.
d) Zaznacz wyniki z punktów a), b), c) na rysunku.
e) Porównaj zyski kartelu i łączne zyski firm w równowadze Bertranda-Nasha.
f) Czy rozwiązanie kartelowe jest stabilne dla jakiegokolwiek podziału zysków? Jeśli nie, określ optymalną strategię wyłamania się z kartelu firmy i.
Zadanie 2.
na pewnym rynku działają dwie firmy i = 1, 2, których zyski zależą od poziomów reklamy αi: Π1(α1, α2) = 4α1 + 3α1α2 − (α2),
Π
).
1
2(α1, α2) = 2α2 + α1α2 − (α2
2
a) Oblicz i narysuj funkcje reakcji każdej firmy w zależności od poziomu reklamy jej konkurenta.
b) Czy poziomy reklamy są strategicznie substytucyjne czy strategicznie komplementarne?
c) Znajdź równowagę Nasha w poziomach reklamy i zyski obu firm w równowadze.
Zadanie 3.
Każde z dwóch dóbr i (i = 1, 2) jest produkowane przez oddzielną firmę z zerowymi kosztami produkcji. Identyczni konsumenci mają preferencje reprezentowane przez funkcję użyteczności q2 + 2γq
U (q
1
1q2 + q2
2
1, q2) = q1 + q2 −
+ m
2
gdzie γ ∈ (−1, 0), qi jest ilością każdego dobra w koszyku konsumenta, m jest ilością pieniędzy pozostałych po zapłace-niu za koszyk dóbr (q1, q2). Ceny dóbr wynoszą p1, p2, a dochód konsumenta I.
a) Wyprowadź funkcję popytu na dobro 1 i 2.
b) Zakładając, że firmy konkurują w pojedynczym okresie zgodnie z modelem Cournot, wyprowadź funkcje reakcji qC(q
i
j ) i znajdź równowagę Cournot-Nasha. Przedstaw wyniki na rysunku.
c) Przedyskutuj wyniki modelu w równowadze w zależności od poziomu γ. Co wynika z tych wyników dla postępo-wania firm, jeśli mogą inwestować w reklamę swoich produktów? Oceń wartość nadwyżki konsumentów w zależności od poziomu γ.
d) Zakładając, że firmy konkurują w pojedynczym okresie zgodnie z modelem Bertranda, wyprowadź funkcje reakcji pC(p
i
j ) i znajdź równowagę Bertranda-Nasha. Przedstaw wyniki na rysunku.
e) Przedyskutuj wyniki modelu w równowadze w zależności od poziomu γ. Co wynika z tych wyników dla postępo-wania firm, jeśli mogą inwestować w reklamę swoich produktów? Oceń wartość nadwyżki konsumentów w zależności od poziomu γ.
f) Porównaj ceny obu dóbr w równowadze Cournot-Nasha i w równowadze Bertranda-Nasha w zależności od poziomu γ.
1
MACIEJ SOBOLEWSKI
Zadanie 4.
P
√
Użyteczność reprezentatywnego konsumenta to U = (
N
x
q), gdzie
i=1
i)2. Popyt na dobro i wynosi xi = I /(p2
i
P
q =
N
(1/p
i=1
i), a I jest dochodem konsumenta. Funkcja kosztów całkowitych dla produktu i wynosi Ci = cxi + f .
Poszczególne dobra są produkowane przez różne firmy, które konkurują zgodnie z modelem Bertranda.
a) Dla ustalonego i dużego N , znajdź ceny wszystkich dóbr w równowadze symetrycznej, jeżeli firmy traktują q egzogenicznie (zakładamy, że dla dużego N , firmy traktują q jako parametr w swojej funkcji zysku).
b) Znajdź liczbę firm w równowadze jeśli panuje pełna swoboda wejścia na rynek.
c) Dla ustalonego i małego N , znajdź ceny wszystkich dóbr w równowadze symetrycznej, jeżeli firmy traktują q endogenicznie (zakładamy, że dla małego N firmy biorą pod uwagę efekt wpływu własnej ceny na q w swojej funkcji zysku).
d) Znajdź liczbę firm w równowadze jeśli panuje pełna swoboda wejścia na rynek.
e) Porównaj cenę równowagi oraz różnorodność dóbr na rynku w przypadku ’dużego’ i ’małego’ N .
Zadanie 5.
Odwrotna funkcja popytu na pewne dobro wynosi p = 85−10Q. Koszt produkcji tego dobra wynosi C(q) = 120+25q.
a) Pokaż, że produkcja tego dobra na poziomie optymalnym społecznie powiększy dobrobyt społeczny, ale jest nie-opłacalna ekonomicznie dla pojedynczej firmy.
b) Co powinien zrobić rząd/regulator, aby doprowadzić do wytworzenia tego dobra przez pojedynczą firmę?