LISTA 6. ( na 3-4 ćwiczenia) Całka nieoznaczona i oznaczona
6.1. Zapisać sumę całkową dla podanej całki oznaczonej. Zastosować równomierny podział przedziału całkowania. Wykorzystać wartość funkcji podcałkowej w prawych końcach podprzedziałów.
Korzystając z definicji obliczyć całki z przykładów (a), (b).
1
2
π
1
Z
Z
Z
Z
1
(a)
x 2 dx,
(b)
x dx,
(c)
sin x dx,
(d)
dx.
1 + x
0
1
0
0
6.2. Korzystając z definicji i wzorów na pochodne podstawowych funkcji „odgadnąć” funkcje pier-wotne F funkcji f :
3
π
(a) f ( x) = 2 x − 1, (b) f ( x) =
,
(c) f ( x) = sin x +
,
(d) f ( x) = e− 4 x.
1 + x 2
3
6.3. Obliczyć całkę oznaczoną. Podać jej interpretację geometryczną, wykonując odpowiedni rysunek.
1
1
1
π
3
Z
Z
Z
1
Z
Z
(a)
(1 + x) dx,
(b)
e−x dx,
(c)
dx,
(d)
sin 2 x dx,
(e)
x ( x − 2) dx.
1 + x
0
− 1
0
0
1
6.4. Obliczyć całki:
Z
x 4 − x 3 + x − 1
Z
x − 2 2
Z
√
√
(a)
dx,
(b)
dx,
(c)
x + 1
x −
x + 1 dx,
x − 1
x
√
√
3
Z
3 · 2 x − 2 · 3 x Z
x 2 − 4 x
Z
cos 2 x
(d)
dx,
(e)
√
dx,
(f)
dx,
2 x
x
cos2 x · sin2 x
Z
Z
Z
π
(g)
ctg2 x dx,
(h)
sin x · cos x dx,
(i)
4 sin x +
− 6 cos 3 x + 1
dx.
4
6.5. Obliczyć całki stosując odpowiednie podstawienie Z
√
Z
4 x
Z
Z
5
(a)
x 1 + 2 x 2 dx,
(b)
√
dx,
(c)
x 2 x 3 − 2
dx,
(d)
sin2 x · cos3 x dx,
3 x 2 − 4
e
1
π
0
Z
ln2 x
Z
Z
Z
1
(e)
dx,
(f)
xe−x 2 dx,
(g)
sin x · cos2 x dx,
(h)
dx.
x
4 x 2 + 4 x + 5
1
0
0
− 1
Z
f 0( x)
6.6. Obliczyć całki, korzystając z tego, że dx = ln |f ( x) | + C.
f ( x)
π
3
1
Z
1
Z
x
Z
Z
ex
(a)
dx,
(b)
dx,
(c)
ctg x dx,
(d)
dx.
3 x + 2
1 + 2 x 2
ex + 1
π
0
4
6.7. Obliczyć całki, stosując wzór na całkowanie przez części Z
Z
π
Z
√
Z
(a)
xe− 3 x dx,
(b)
x 2 sin x +
dx,
(c)
x ln x dx,
(d)
e−x sin 2 x dx,
3
π
3
e
1
Z
x
Z
Z
ln x
Z
(e)
x cos
dx,
(f)
ln( x + 1) dx,
(g)
dx,
(h)
arctg x dx.
2
x 2
0
0
1
0
6.8. Wyznaczyć średnią wartość funkcji f na przedziale [ a, b]. Wykonać rysunek.
(a) f ( x) = sin2 x, [ a, b] = [0 , π]; (b) f ( x) = |x − 2 | , [ a, b] = [0 , 3].
6.9. Obliczyć pole figury ograniczonej podanymi krzywymi. Wykonać rysunek.
4
(a) y = x 2 − 2 x + 3 , y = x + 3; (b) y =
, y = 1;
x 2 + 2
x 2
(c) y = x 2 , y =
, y = 3 x;
(d) y = − ln ( x + 2) , x = 0 , y = 0.
2
6.10. Napisać wzór na długość łuku wykresu funkcji różniczkowalnej i obliczyć długości podanych krzywych. Narysować je.
√
4
√
(a) y = −x x, x ∈ 0 ,
;
(b) y =
4 − x 2 , x ∈ [ − 1 , 1]; 9
π π
(c) y = ln sin x, x ∈
,
;
(d) y = ln x, x ∈ [1 , e].
3 2
6.11. Napisać wzór na objętość bryły obrotowej powstającej przez obrót wokół osi OX obszaru ograniczonego wykresem ciągłej funkcji nieujemnej y = f ( x), osią OX i prostymi x = a, x = b.
Korzystając z tego wzoru obliczyć objętość: (a) kuli o promienu R,
(b) stożka ściętego o promieniach podstaw r, R i wysokości H, (c) bryły powstającej przez obrót wokół osi OX obszaru
π
T =
( x, y) ∈ R 2 : 0 ¬ x ¬
, 0 ¬ y ¬ tg x ,
4
(d) bryły powstającej przez obrót wokół osi OX obszaru
π
π
T =
( x, y) ∈ R 2 : −
¬ x ¬
, 0 ¬ y ¬ cos2 x .
2
2
6.12. Korzystając z definicji całki oznaczonej wyprowadzić wzór na obliczanie: (a) masy pręta Γ = {( x, y) ∈ R 2 : a ¬ x ¬ b, y = f ( x) }, którego gęstość liniowa masy γ = γ( x) jest daną funkcją ciągłą na [ a, b], a f jest funkcją mająca na przedziale [ a, b] ciągłą pochodną; (b) energii potencjalnej piramidy w kształcie ostrosłupa czworokątnego prawidłowego o wysokości H i krawędzi podstawy a, jeśli gęstość masy w punkcie piramidy odległym o x od podstawy dana jest funkcją γ = γ( x) ciągłą na przedziale [0 , H].
6.13. Stosując całkę oznaczoną, obliczyć pracę, jaką trzeba wykonać, aby opróżnić całkowicie napełniony wodą zbiornik w kształcie walca o poziomej osi. Otwór znajduje się na górze zbiornika.
Średnica walca D = 2m, długość L = 6m, gęstość wody γ = 1000kg/m3.
6.14. Obliczyć całki funkcji wymiernych Z
8 x 2
Z
3 x 2
Z
x 3 − x 2 + 3
(a)
dx,
(b)
dx,
(c)
dx,
x 2 − 1
x 3 + x 2 − 4 x − 4
x 4 + 3 x 2
Z
2
Z
5 − 4 x
Z
x 2 + 2 x + 1
(d)
dx,
(e)
dx,
(f)
dx .
x 2 + 6 x + 18
x 2 − 4 x + 20
x 3 + 2 x 2 + 2 x
6.15. Obliczyć całki funkcji trygonometrycznych Z
Z
Z
cos3 x
Z
1
(a)
sin5 x dx,
(b)
sin2 x cos3 x dx,
(c)
dx,
(d)
dx,
2 − sin x
4 + 5 sin2 x
π
π
π
Z
1
Z
Z
Z
(e)
dx,
(e)
sin x sin 3 x dx,
(f)
sin 2 x cos 4 x dx,
(g)
sin2 x dx.
5 − 3 cos x
−π
−π
−π
Podobne zadania (z rozwiązaniami lub odpowiedziami) można znaleźć w skrypcie: M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2008, rozdział 7, 8, 9.
Jolanta Sulkowska