ZBIORY, FUNKCJE I ICH W LASNO´

SCI - LISTA ZADA ´

N NR 6

1. Sprawd´z, ˙ze podane liczby s¸a niewymierne (tzn. nie mo˙zna ich zapisa´c

w postaci

p
q

,

gdzie p, q ∈ Z i q 6= 0):

a)

√

2,

b) log

2

3.

2. Zbada´c, czy podane zbiory s¸a ograniczone z do lu:

a) zbi´

or liczb parzystych,

b) {2

p

| p ∈ Z},

c) (−∞, 3).

3. Zbada´c, czy podane zbiory s¸a ograniczone z g´ory:

a) {x ∈ R | sin(x) > 0},
b) {

n

√

5 | n ∈ N\{0}},

c) {n +

1

n

| n ∈ N\{0}}.

4. Znajd´z kresy dolne (inf) podanych zbior´ow:

a) (−

√

2,

√

5),

b) {2

−n

| n ∈ N},

c) {−1} ∪ (0, 1].

5. Znajd´z kresy g´

orne (sup) podanych zbior´ow:

a) (−∞, 0),

b)

(

n

X

k

=1

1

2

k

| n ∈ N\{0}

)

,

c) [

√

2, ∞) ∩ Q.

6. Zbadaj, czy funkcja jest parzysta lub nieparzysta, je´sli:

a) f (x) = x −

1

x

,

b) f (x) = x

2

−

1

x

2

,

c) f (x) = x + |x|,
d) f (x) = x

3

+ x|x|.

7. Uzasadnij, ˙ze podane funkcje s¸a okresowe i znajd´z ich okresy podsta-

wowe:

a) f (x) = cos(3x),

b) f (x) = | sin(2x)|.

1

8. Kt´

ora z podanych poni˙zej funkcji jest r´

o˙znowarto´sciowa:

a) f (x) = |2x − 3| − 2,
b) f (x) = x

2

+ 2x − 5,

c) f (x) = −x

3

.

9. Narysuj wykresy funkcji (min(a, b) (max(a, b)) to nie mniejsza (nie

wi¸eksza) z liczb a, b):

a) min(2x − 1, 7),
b) min(x

2

− 3, 2x),

c) max(−2, 3x + 1),
d) max(−x

2

+ 2, 3x − 2).

10. Wyka˙z, ˙ze:

a) funkcja f (x) = 3x − 6 jest rosn¸aca w ca lej swej dziedzinie,
b) funkcja f (x) = x

2

− 4x + 2 jest rosn¸aca w (2, ∞) i malej¸aca w

(−∞, 2),
c) funkcja f (x) = x

3

− 3 jest rosn¸aca w ca lej swej dziedzinie.

11. Wyznacz dziedziny podanych funkcji:

a) f (x) =

√

x

2

− 5x + 6,

b) f (x) = log

2

[log

3

(x − 1)],

c) f (x) =

log

2

(15−x)

log

3

(x+1)

.

12. Narysuj wykresy funkcji:

a)

√

x, x

2

, x

3

, x

1

3

,

b)

1

x

2

,

1
x

,

1

√

x

,

c) sin(x), sin(x +

π

3

),

d) cos(x), 2 cos(x), cos(−2x).

13. Napisz wz´

or okre´slaj¸acy funkcj¸e z lo˙zon¸a f (g(x) i g(f (x)) i wyznacz jej

dziedzin¸e, gdy:

a) f (x) = 3x − 2, g(x) =

√

x

− 1,

b) f (x) = log(2x + 1), g(x) =

x

−1

2

,

c) f (x) =

√

x

− 3, g(x) = x

2

+ 3,

d) f (x) = sin(

1
x

), g(x) =

1

π

+x

.

2

14. Wybierz (o ile zachodzi taka potrzeba) podzbi´or naturalnej dziedziny

danej funkcji tak, by w tym zbiorze istnia la funkcja do niej odwrotna.
Funkcj¸e odwrotn¸a zapisz wzorem. Narysuj wykresy funkcji i funkcji
do niej odwrotnej.

a) f (x) = (x − 2)

2

,

b) f (x) = x

2

+ 2x − 2,

c) f (x) =

√

x

2

+ 9,

d) f (x) = 1 − 2

|x|

,

e) f (x) = log(x + 5),

f) f (x) =

3

x

2

−1

.

15. Naszkicuj wpierw wykres funkcji f, a nast¸epnie przekszta l´c go tak, aby

otrzyma´c wykres funkcji g, gdy:

a) f (x) = 2

x

, g

(x) = (−2) · 2

|x|

+ 4,

b) f (x) = log

2

x, g

(x) = −3 + log

2

|3 − x|,

c) f (x) = log

2

x, g

(x) = |1 − log

2

|x||,

d) f (x) = 3

x

, g

(x) = −1 + 3

−x+2

.

16. Wyznacz ilorazy r´

o˙znicowe

f

(x)−f(x

0

)

x

−x

0

dla podanych funkcji i punkt´ow:

a) f (x) = x

2

, x

0

= 1,

b) f (x) = sin(x), x

0

= π,

c) f (x) =

1

x

, x

0

=

1
2

.

17. Zbada´c, czy podane funkcje s¸a ograniczone z do lu na podanych zbio-

rach:

a)

1

x

2

+1

, R,

b) tg(x), (−

π

2

,

π

2

),

c) 2

x

,

(0, ∞).

18. Zbada´c, czy podane funkcje s¸a ograniczone z g´ory na podanych zbio-

rach:

a) 1 − |x|, R,
b)

1

|x|−1

,

(−1, 1),

c) 2

x

,

(−∞, 0).

19. Zbada´c, czy podane funkcje s¸a ograniczone na podanych zbiorach:

a) 1 − |x|, R,
b)

x

2

−1

x

2

+1

, R,

c) log

2

x,

(0, 1).

3

20. Uzasadni´c, ˙ze podane funkcje s¸a rosn¸ace na podanych zbiorach:

a) x

2

,

[0, ∞),

b)

1

x

4

+1

,

(−∞, 0],

c) x sin

πx

2

,

{1, 5, 9, 13, . . .},

d)

3

√

x, x

≥ 0.

21. Uzasadni´c, ˙ze podane funkcje s¸a malej¸ace na podanych zbiorach:

a) 1 − 2x, R,
b) x

2

− 2x, (−∞, 1]

c)

1

x

2

+1

,

[0, ∞).

4