AM I ROK FIZYKI I ASTRONOMII

LISTA 6

1. Odpowiedz na następujące pytania.
a) Czy iloczyn funkcji ciągłej i nieciągłej w punkcie x

0

może być funkcją

ciągłą w tym punkcie?
b) Czy iloczyn dwóch funkcji nieciągłych w punkcie x

0

może być funkcją

ciągłą w tym punkcie?
Odpowiedź uzasadnij.
2. Wyznacz stałe A i B tak, aby funkcja f była ciągła w R.

f (x) =











4x :

x ¬ −1

Ax + B :

−1 < x < 2

−5x :

x ­ 2

3. Wykaż, że dla każdego x ∈ R zachodzi wzór

e

x

= lim

n→∞

(1 +

x
n

)

n

4. Funkcja f : R → R spełnia następujące warunki:
a) ∀x, y ∈ R f (x + y) = f (x) + f (y),
b) f jest ciągła w punkcie x = 0.
Wykaż, że f (x) = ax, gdzie a ∈ R.
5.

∗

Niech f : [0, ∞) → R będzie funkcją ciągłą. Zakładamy, że funkcja f nie

jest ograniczona ani z góry ani z dołu. Wykaż, że R

f

= R oraz, że każda

wartość y ∈ R jest przyjmowana nieskończenie wiele razy.
6. Dana jest funkcja ciągła f taka, że R

f

⊂ D

f

. Niech a ∈ D

f

. Definiujemy

ciąg (a

n

) indukcyjnie: a

1

= a, a

n+1

= f (a

n

) dla n ∈ N. Wykaż, że jeżeli ciąg

(a

n

) jest zbieżny, to jego granica jest rozwiązaniem równania f (x) = x.

7. Wykaż, że równanie

x

n

+ a

n−1

x

n−1

+ ... + a

1

x + a

0

= 0,

gdzie n jest liczbą nieparzystą, x ∈ R, ma przynajmniej jedno rozwiązanie.
8. Dana jest funkcja ciągła w przedziale [a, ∞) i taka, że lim

x→∞

f (x) = g.

Wykaż, że jest ona ograniczona.
9. Dana jest funkcja ciągła w przedziale [a, b]. Niech M(m) oznaczają od-
powiednio kres górny i dolny zbioru wartości funkcji. Wykaż, że dla każdego

1

y ∈ [m, M ] istnieje x

0

∈ [a, b] takie, że f (x

0

) = y.

10. Wiadomo, że funkcja x(t) = A sin(ωt), gdzie A to amplituda, a ω to
częstość drgań, opisuje jednowymiarowy oscylator harmoniczny. Czy funkcja
x(t) = A sin(αt

2

), A = 1[m], α = 1[s

−2

], może opisywać położenie pewnej

cząstki relatywistycznej?
11.

∗

Zbadaj ciągłość funkcji

f (x) =







1
q

:

x =

p
q

, p ∈ Z, q ∈ N

0 :

x ∈ R \ Q

gdzie p i q są względnie pierwsze.

Robert Olkiewicz

2