lista-7

Dynamika bryły sztywnej.

I. Moment siły. Moment pędu. Moment bezwładności.

171. Na cząstkę o masie 2 kg znajdującą się w punkcie określonym wektorem r = 5 i + 7 j działa siła

F = 3 i + 4 j . Wyznacz wektora momentu tej siły względem początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

172. Cząstka o masie 2 kg znajdująca się w punkcie określonym wektorem r = 5 i + 7 j ma prędkość

v = 6 i + 7 j . Wyznacz wektora momentu pędu czaski względem początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

173. Wektor położenia cząstki o masie 2 kg ma postać: r = 3 i + 4 j . Wartość wektora prędkości cząstki wynosi 20 m/s, natomiast wartość momentu pędu względem początku układu współrzędnych tej cząstki wynosi 100 kgm2/s. Wyznacz kąt pomiędzy kierunkiem wektora położenia i prędkości.

Rozwiązanie:

174. Punkt materialny o masie 2 kg porusza się ruchem jednostajnym z prędkością 2 m/s-1 po okręgu promieniu 20 cm. Wyznacz wartość momentu siły dośrodkowej względem środka okręgu.

Rozwiązanie:

175. Bryłę sztywną tworzy kula o promieniu R i masie M, na której wierzchołku postawiono pionowo pręt o długości L i masie m. Posługując się momentami bezwładności 2 M/(5 R 2) kuli względem osi przechodzącej przez jej środek oraz momentem bezwładności Ml 2/12 pręta względem jego osi środkowej wyznaczyć moment bezwładności tej bryły względem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez: punkt a) styku kuli z podstawą; b) styku kuli z prętem; c) koniec pręta.

Rozwiązanie:

176. Pokazać, że moment bezwładności I dowolnego ciała o masie M względem dowolnej osi jest równy momentowi bezwładności cienkiej obręczy o masie M i promieniu ( I/ M)1/2.

Rozwiązanie:

177. U sufitu wiszą podczepione na poziomych osiach przechodzących przez punkty zetknięcia się z sufitem: kula, sfera, walec, cienka obręcz, tarcza oraz pręt. Masa każdej bryły wynosi M. Promienie:

k li, sfer

e y,

y wa

w lca, cien

e ki

k ej

e obręczy

y i tarczy

y są równe R, a pręt ma długość R. Któr ó a z tych brył ma

względem osi obrotu najwięks

k zy/

y naj

a mn

m iej

e szy

y mo

m me

m nt bezw

z ł

w adności?

Rozwiązanie:

178. Bryłę sztywną tworzą trzy

y jednako

k we

w , cie

i nki

k e pr

p ęty, każdy

o długości L połączo

z ne w

w ks

k zt

z ałt li

l t

i ery

y H

H (pa

p tr

t z

z rys

y unek

k obok)

k .

Wyznaczyć mo

m me

m nty

y bezw

z ł

w adności tej bryły względem osi

obrotu A, B i C za z zn

z aczo

z nyc

y h na rys

y unku

k . Ws-ka: skorzystać

z twierdzenia Steinera. Względem,

m kt

k órej

e z

z tyc

y h osi brył

y a ta ma

Rozwiązanie:

179. Cienki, jednorodny pręt

t o ma

m sie

e m i długości l obraca się wo w kó

k ł pros

o top

o adłej

e do

d ni

n ego

g osi

s .

Gdy oś prze

z chodzi

z pr

p ze

z z

z ko

k niec pręta, to moment bezwładności

i wy

w n

y osi

i ml 2/3. Korzystając

z twi

w erdze

z ni

n a St

S e

t ine

n ra wy

w z

y n

z acz

z jego

g mo

m me

m nt bezw

z ł

w adności względem

m osi prze

z cho

h dzącej przez środek

pręta i

i do ni

n ego

g pros

o topad

a łej

e .

Rozwiązanie:

179b. Sz

S t

z yw

y n

w a ko

k nstrukc

k j

c a (pat

a rz

z rys

y unek

k obok)

k skł

k ada się z kwadratu

o boku a połączonego z cienką obręczą o promieniu R. Jednostka długości materiału kwadratu i obręcz

c y

y ma

m gęstość liniową λ (jednostką λ jest kg/m).

Wyznaczyć moment bezwładności

c poka

k za

z nej

e obok

k na rys

y unku

k ko

k nstrukc

k j

c i

obracającej się względem

m osi za

z zn

z aczo

z nej

e l

ini

n ą przerywaną.

Rozwiązanie:

II. Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego 180. Koło zamachowe wykonuje początkowo 10 obrotów na sekundę. Po przyłożeniu stałego momentu hamującego koło to zatrzymuje się po 10 s. Jaka jest bezwzględna wartość przyspieszenia kątowego w tym ruchu?

Rozwiązanie:

181. Walec obraca się ze stałą prędkością kątową wokół nieruchomej osi będącej jego osią symetrii.

Moment bezwładności bryły tego walca względem osi obrotu wynosi I, a jego energia kinetyczna Ek.

Wyznacz jego moment pędu.

Rozwiązanie:

182. Ile wynosi energia kinetyczna walca o masie 18 kg i promieniu 40 cm toczącego się bez poślizgu po poziomej powierzchni z prędkością 3 m/s?

Rozwiązanie:

183. Przypuśćmy, że bryła z zadania 8. była nieruchoma i znajdowała się w płaszczyźnie poziomej, a następnie, pod wpływem momentów sił ciężkości, zaczęła opadać obracając się wokół stałej poziomej osi A. Ile wynosi prędkość kątowa tej bryły w momencie, gdy znajduje się w płaszczyźnie pionowej?

Rozwiązanie:

184. Jaką pracę należy wykonać aby zatrzymać koło zamachowe o momencie bezwładności I wirujące z prędkością kątową ω a jaką gdy koło to toczy się bez poślizgu po płaskiej powierzchni?

Rozwiązanie:

185. Kula i walec o jednakowych promieniach i masach staczają się bez poślizgu po równi pochyłej z wysokości h. Które z ciał będzie miało większą prędkość u jej końca?

Rozwiązanie:

186. Moment siły o wartości 40 N·m nadaje kołu obracającemu się dookoła osi przechodzącej przez jego środek przyspieszenie kątowe 10 rad/s2. Wyznacz moment bezwładności koła .

Rozwiązanie:

187. Do

D obwo

w du ko

k ła rowe

w rowe

w go

g o ma

m sie m przyłożono stałą siłę styczną F i wp w rawi

w ono

n je w

w ruch

obroto

t wy

y wo

w kó

k ł nier

e ucho

h m

o e

m j osi

s . Koł

o o

o rowe

w r

e owe

w na

n leży rozpatrywać jako

k ci

c en

e ko

k ścienną obręcz o

momencie bezwładności

m R . Il

I e wy

w n

y osi

i ene

n rgi

g a

a ki

k netyczn

z a ko

k ła

a po up

u ływ

y i

w e cza

z su t od rozpoczęcia

działania siły?

Rozwiązanie:

188. Pionowy

y słup o wys

y okości h = 10 m po podpiłowa

w n

a iu prz

r y

y podstaw

a i

w e

e pad

a a

a na

a ziem

e ię.

Wiedząc, że

e momen

e t bez

e wł

w ad

a ności słupa o masie m i długości l względ ę em

e osi prz

r ec

e h

c odzącej

przez jego koniec jest równy ml

m 2/3, wyznacz liniową prędkość gó

g rn

r ego

g końca słupa w chwili

uderzenia o ziemię.

Rozwiązanie:

189. Ciało obraca się z prędko

k ścią kątową 6 rad/

d s wo

w kó

k ł szt

z yw

y n

w o za

z mo

m cowa

w nej osi. Jego moment

bezwładności względem

m osi obro

r tu wy

w n

y osi

i 20 kg

g m2. Il

I e wy

w n

y osi j

ego

g ener

e gi

g a ki

k net

e yc

y zn

z a?

Rozwiązanie:

190. Podczas odbicia się sk

s o

k czka

k do wo

w dy

y od tramp

m oliny

y prędkość kątowa

w jego

g obrotu

t wo

w kó

k ł środka

masy wzrasta od zera do 6,

6 2 rad/s

/ w

w cza

z sie 220 ms

m . Ob

O liczy

z ć wartości: a) śre

r dn

d iego

g przy

z s

y piesze

z nia

kątowego skoczka, b) śre

r d

e niego

g mo

m me

m ntu si

s ł

i y,

y dzi

z ałaj

a ące

c go

g na ni

n ego

g ze

z str

t o

r ny

y tramp

m olin

i y,

y jeśli

moment bezwładności

c sko

k cz

c ka

k wz

w gl

g ędem jego środka masy wynosi 10 kg·m2.

Rozwiązanie:

191. Koło rozpędowe

w o

o mo

m me

m ncie bezw

z ł

w adności I i promieniu R wiruje z prędk d o

k ścią

kątową ω0. Współczy

z n

y nik

k tarci

c a mi

m ędzy klockiem i kołem wynosi f. Z jaką siłą na n leży

I, ω0

przycisnąć kl

k ocek

k hamu

m lco

c wy

y do powi

w erzc

z hni ko

k ła,

, aby

y za

z trzymać je po upł

p y

ł w

y i

w e

czasu t?

Rozwiązanie:

192. Jednorodna sfera o masie M, promieniu R może obracać się bez

z tarci

c a wo

w kó

k ł pionowe

w j

e osi

s (pat

a rz

z rys

y unek

k obok)

k . Li

L nka

k o

z iko

k mo

m ma

m łej

e ma

m sie jest

t owi

w ni

n ęta wokół sfery w płaszczyźnie

równikowej a następnie

i pr

p ze

z łożona przez krążek o momencie

bezwładności I oraz promieniu r, do której końca jest podczepiona

masa m. Krążek obraca się b

z tarci

c a, a linka nie ślizga się po nim.

Jaka będzie prędkość m, gd

g y

y prze

z będzie drogę h? Ile wynosi

przy

z s

y piesze

z nie ma

m sy

y m

m podcza

z s ruchu

h ?

- -

R -

- -

o -

- --

- -

i -

- --

z- -

a -

- -i-

- -

e:- -

- --

- ---

- --

- ---

- --

- ---

- --

- -