Wydział: WiLiŚ, Budownictwo, sem.1
dr Jolanta Dymkowska
Rząd macierzy
Definicja
• Podmacierzą macierzy A nazywamy dowolną macierz powstałą z macierzy A w wyniku skreślenia pewnej ilości wierszy i (lub) kolumn. Wyznacznik z podmacierzy kwadratowej nazywamy minorem.
• Rzędem macierzy nazywamy liczbę r , taką że istnieje minor stopnia r różny od zera, a wszystkie minory stopnia r + 1 jakie istnieją w danej macierzy są równe zero.
Przyjmujemy dodatkowo, że rząd macierzy zerowej jest równy zero.
Rząd macierzy A oznaczamy R( A ) .
Wniosek
Jeżeli A jest macierzą wymiaru m × n , to R( A ) jest liczbą całkowitą taką, że 0 6 R( A ) 6 min { m, n } .
Przykład
Znajdź rząd macierzy A :
2
3
4
A = 1
− 1
0
4
1
4
Rozwiązanie
Macierz A jest wymiaru 3 × 3 , stąd 0 6 R( A ) 6 3 . Co więcej, ponieważ tylko macierz zerowa ma rząd 0, to 1 6 R( A ) 6 3 .
Sprawdzamy, czy R( A ) = 3 ?
2
3
4
2
3
det A = 1
− 1
0
1
− 1
= − 8 + 0 + 4 + 16 − 0 − 12 = 0
4
1
4
4
1
Ponieważ wyznacznik stopnia 3 (jedyny istniejący w macierzy A ) jest równy 0, to R( A ) 6= 3 .
Sprawdzamy, czy R( A ) = 2 , a więc pytamy, czy potrafimy w macierzy A wskazać wyznacznik (minor) stopnia 2 różny od 0. Odpowiedź brzmi: tak, bo: 2
3
= − 2 − 3 = − 5 6= 0
1
− 1
Zatem R( A ) = 2 .
Własności rządu macierzy
• Transponowanie macierzy nie zmienia rzędu macierzy, tym samym wszystkie własności prawdziwe dla wierszy są również prawdziwe dla kolumn.
• Skreślenie w macierzy wiersza samych zer nie zmienia jej rzędu.
• Jeżeli w macierzy istnieją dwa wiersze proporcjonalne (równe), to skreślenie jednego z nich nie zmienia rzędu macierzy.
• Przestawienie dowolnych dwóch wierszy nie zmienia rzędu macierzy.
• Pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera nie zmienia rzędu macierzy.
• Jeżeli do dowolnego wiersza macierzy dodamy inny wiersz pomnożony przez liczbę, to rząd macierzy nie zmieni się.
Uwaga Dowolną macierz niezerową A = [ aij ] wymiaru m × n można za pomocą przekształceń niezmieniających rzędu macierzy sprowadzić do postaci:
c
11
c 12
c 13
. . .
c 1 r
c 1 ,r+1
. . .
c 1 n
0
c
22
c 23
. . .
c 2 r
c 2 ,r+1
. . .
c 2 n
0
0
c
33
. . .
c 3 r
c 3 ,r+1
. . .
c 3 n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
0
. . .
c
rr
cr,r+1
. . .
crn
0
0
0
. . .
0
0
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
0
. . .
0
0
. . .
0
gdzie elementy cii są różne od zera dla każdego i = 1 , 2 , . . . , r . Rząd macierzy A jest wówczas równy r .
Zauważmy przy tym, że
• jeżeli r = m , to wiersz r-ty jest ostatnim wierszem,
• jeżeli r = n , to kolumna r-ta jest ostatnią kolumną.
Przykład
Wykorzystując własności rzędu macierzy i ostatnią uwagę znajdź rząd macierzy A :
2
1
1
1
− 2
1
2
3
− 1
2
A =
3
0
1
− 3
− 2
2
4
6
− 2
4
Rozwiązanie
Macierz A sprowadzimy do postaci wskazanej w powyższej uwadze:
2
1
1
1
− 2
1
2
3
− 1
2
1
2
3
− 1
2
W
2
1
1
1
− 2
R(
1 ↔W 2
A) = R
=
R
=
3
0
1
− 3
− 2
3
0
1
− 3
− 2
2
4
6
− 2
4
2
4
6
− 2
4
W 2 − 2 W 1
W 3 − 3 W 1
1
2
3
− 1
2
1
2
3
− 1
2
W 4 − 2 W 1
0
− 3
− 5
3
2
W
0
− 3
− 5
3
2
=
R
3 − 2 W 2
=
R
=
0
− 6
− 8
0
4
0
0
2
− 6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
3
− 1
2
=
R 0
− 3
− 5
3
2
=
3
0
0
2
− 6
0
bo:
1
2
3
0
− 3
− 5 = 1 · ( − 3) · 2 = − 6 6= 0
0
0
2
Komentarz: W 1 ↔ W 2 oznacza ”zamieniamy miejscami wiersze 1 i 2”, W 2 − 2 W 1 oznacza ”do wiersza drugiego dodajemy wiersz pierwszy pomnożony przez (-2)”.