Z5/27. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
1
ZADANIE 27
Z5/27. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 27
Z5/27.1. Zadanie 27
Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla belki prostej przedstawionej na rysunku Z5/27.1. Wymiary belki podane są w metrach.
28,0 kN/m
18,0 kN
A
C
D
B
2,0
6,0
2,0
[m]
Rys. Z5/27.1. Belka prosta
Z5/27.2. Analiza kinematyczna belki
Rysunek Z5/27.2 przedstawia belkę prostą traktowaną w analizie kinematycznej jako płaską tarczę sztywną.
A
C
D
1
2
I
3
Rys. Z5/27.2. Belka prosta jako płaska tarcza sztywna Jak widać na rysunku Z5/27.2 tarcza sztywna posiada trzy stopnie swobody. Tarcza ta jest podparta trzema prętami podporowymi 1, 2 i 3. Wszystkie te więzy odbierają razem trzy stopnie swobody. Został
więc spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (2.4). Belka może więc być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony także i warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalana.
Z5/27.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Aby wyznaczyć wartości i zwroty reakcji podporowych musimy najpierw przyjąć ich dodatnie zwroty.
Rysunek Z5/27.3 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich podporach belki.
Poziomą reakcję na podporze A wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na belkę na oś poziomą X.
X = H =0
A
.
(Z5/27.1)
H =0,0 kN
A
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/27. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
2
ZADANIE 27
28,0 kN/m
18,0 kN
HA
A
C
D
B
Y
VA
VC
X
[m]
2,0
6,0
2,0
Rys. Z5/27.3. Założone zwroty reakcji podporowych
Pionową reakcję na podporze A otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na belkę względem punktu C.
1
1
M = V ⋅8,0− ⋅28,0⋅6,0⋅ ⋅6,018,0⋅2,0=0
C
A
2
3
.
(Z5/27.2)
V =16,5 kN
A
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Pionową reakcję na podporze C otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na belkę względem punktu A.
1
2
M =− V ⋅8,0 ⋅28,0⋅6,0⋅2,0 ⋅6,018,0⋅10,0=0
A
C
2
3
.
(Z5/27.3)
V =85,5 kN
C
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił
działających na belkę na oś pionową Y.
1
Y = V V − ⋅28,0⋅6,0−18,0=16,585,5−84,0−18,0=0 .
(Z5/27.4)
A
C
2
Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę zostały obliczone poprawnie i znajdują się w równowadze.
Rysunek Z5/27.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach danej belki.
28,0 kN/m
18,0 kN
A
C
D
B
16,5 kN
85,5 kN
[m]
2,0
6,0
2,0
Rys. Z5/27.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki prostej Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/27. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
3
ZADANIE 27
Z5/27.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB
Rysunek Z5/27.5 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale AB. Na rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
W dalszej części przy wyznaczaniu postaci funkcji siły normalnej lub poprzecznej oraz momentu zginającego będziemy korzystali z następujących zasad:
•
siły, które działają zgodnie z dodatnim zwrotem siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać z minusem
•
siły, które działają przeciwnie do dodatniego zwrotu siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać z plusem
•
siły i momenty skupione, które kręcą zgodnie z dodatnim zwrotem momentu zginającego będziemy zapisywać z minusem
•
siły i momenty skupione, które kręcą przeciwnie do dodatniego zwrotu momentu zginającego będziemy zapisywać z plusem.
M(x)
A
N(x)
X
T(x)
16,5 kN
x
Rys. Z5/27.5. Siły działające w przedziale AB
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie w przedziale AB zerowa. Jak widać na rysunku Z5/27.5 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero.
Funkcja siły poprzecznej ma postać
T x=16,5 kN .
(Z5/27.5)
Zgodnie z rysunkiem Z5/27.5 funkcja momentu zginającego w przedziale AB będzie miała postać M x=16,5⋅ x .
(Z5/27.6)
Funkcja ta jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej wartości w dwóch punktach. Wynoszą one
M 0,0 =0,0 kNm
.
(Z5/27.7)
M 2,0=16,5⋅2,0=33,0 kNm
Jak wiadomo dodatnie momenty zginające rozciągają dolną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na dole.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania równowagi (5.22) i (5.23). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/27. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
4
ZADANIE 27
dM x =16,5= T x .
(Z5/27.8)
dx
Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale AB przedstawia rysunek Z5/27.8. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.
Z5/27.5. Funkcje sił przekrojowych w przedziale BC
Rysunek Z5/27.6 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale BC. Na rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
q(x)
A
N(x)
B
X
T(x)
M(x)
16,5 kN
[m]
2,0
x
Rys. Z5/27.6. Siły działające w przedziale BC
Funkcja obciążenia ciągłego trójkątnego prostopadłego do osi belki będzie miała, zgodnie ze wzorem (5.3), postać
28,0
14
q x=
⋅ x=
⋅ x .
(Z5/27.9)
6,0
3
Jak widać na rysunku Z5/27.6 funkcja siły normalnej jest równa zero. Siłę poprzeczną wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na kierunek tej siły. Funkcja ta ma postać
1
1 14
7
T x=16,5− ⋅ q x⋅ x=16,5− ⋅ ⋅ x⋅ x=16,5− ⋅ x 2 .
(Z5/27.10)
2
2 3
3
Funkcja siły poprzecznej jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Wartości tej funkcji na końcach przedziału wynoszą T 0,0=16,5 kN
7
.
(Z5/27.11)
T 6,0=16,5− ⋅6,02=−67,5 kN
3
Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc w przedziale BC miejsce zerowe, które znajduje się w odległości Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/27. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
5
ZADANIE 27
7
16,5− ⋅ x 2=0
3 0
(Z5/27.12)
x =2,659 m
0
od początku przedziału czyli od punktu B. Współczynnik przy x2 jest ujemny więc parabola siły poprzecznej będzie miała „brzuszek” do góry. Ekstremum tego wykresu znajduje się w punkcie B, w którym obciążenie trójkątne ma wartość zero.
Moment zginający wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą część belki względem punktu, w którym wyznaczamy moment zginający.
1
1
1 14
1
M x =16,5⋅ x2,0− ⋅ q x⋅ x⋅ ⋅ x=16,5⋅ x33,0− ⋅ ⋅ x⋅ x⋅ ⋅ x 2
3
2 3
3
.
(Z5/27.13)
7
M x =− ⋅ x 316,5⋅ x33,0
9
Funkcja momentu zginającego jest wielomianem trzeciego stopnia i aby ją jednoznacznie narysować potrzebujemy jej wartości w czterech punktach. Wartości tej funkcji na końcach przedziału oraz w miejscu ekstremum wynoszą
M 0,0 =33,0 kNm
7
M 2,659=− ⋅2,659316,5⋅2,65933,0=62,25 kNm 9
.
(Z5/27.14)
7
M 6,0 =− ⋅6,0316,5⋅6,033,0=−36,0 kNm
9
Jak wiadomo dodatnie momenty zginające rozciągają dolną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na dole, ujemne zaś na górze. Czwartym punktem funkcji będzie fakt, że „brzuszek” jej musi być skierowany w stronę obciążenia trójkątnego czyli w dół.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania równowagi (5.22) i (5.23). Równania te mają postać
dT x
14
=−
⋅ x=− q x ,
(Z5/27.15)
dx
3
dM x
7
=16,5− ⋅ x 2= T x .
(Z5/27.16)
dx
3
Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale BC przedstawia rysunek Z5/27.8. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.
Z5/27.6. Funkcje sił przekrojowych w przedziale CD
Rysunek Z5/27.7 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale CD. Na rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/27. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
6
ZADANIE 27
18,0 kN
M(x)
X
D
N(x)
T(x)
x
Rys. Z5/27.7. Siły działające w przedziale CD
28,0 kN/m
18,0 kN
A
C
D
B
16,5 kN
85,5 kN
[m]
2,0
6,0
2,0
16,5
18,0
T(x) [kN]
67,5
2,659
3,341
36,0
M(x) [kNm]
0,0
,033
5
62,2
2,659
3,341
Rys. Z5/27.8. Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w belce prostej Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.
Jak widać na rysunku Z5/27.7 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła poprzeczna ma postać
T x=18,0 kN .
(Z5/27.17)
Moment zginający w przedziale CD będzie miał postać
M x=−18,0⋅ x .
(Z5/27.18)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej wartości w dwóch punktach. Wynoszą one
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/27. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
7
ZADANIE 27
M 0,0 =0,0 kNm
.
(Z5/27.19)
M 2,0=−18,0⋅2,0=−36,0 kNm
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na górze.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania równowagi (5.31) i (5.32). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać dM x =−18,0=− T x .
(Z5/27.20)
dx
Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale CD przedstawia rysunek Z5/27.8. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.
Dr inż. Janusz Dębiński