Matematyka wyrównawcza – ćwiczenia z 20.11.2009r.

1. Zbadaj własności i narysuj wykres funkcji a) ݂ሺݔሻ = sinଶ ݔ

- dziedzina, przeciwdziedzina

D: ܦ = ܴ

Dziedziną funckji trygonometrycznych są liczby rzeczywiste.

ܻ =< 0; 1 >

Przedział wartości sin ݔ =< −1; 1 >, więc wykres funkcji sinଶ ݔ =< 0; 1 >

- parzystość, nieparzystość

Cosinus jest funkcją parzystą, pozostałe funkcje trygonometryc zne są funkcjami nieparzystymi, oznacza to że sinሺ−ݔሻ = −sin ሺݔሻ. W miejsce każdzego ݔ we wzorze funkcji podstawiamy ሺ−ݔሻ i sprawdzamy czy spełniony jest warunek parzystości ݂ሺ−ݔሻ = ݂ሺݔሻ lub warunek nieparzystości

݂ሺ−ݔሻ = −݂ሺݔሻ

݂ሺ−ݔሻ = sinଶሺ−ݔሻ = ሺ− sin ݔሻ^2 = sinଶ ݔ = ݂ሺݔሻ funkcja jest parzysta

- punkty przecięcia z osiami

sin ݔ ma miejsca zerowe ݇ߨ ሺ݌ݎݖݕ ܿݖݕ݉ ݇ ∈ ܥሻ, sinଶ ݔ również zachowuje tę zależność sinଶ ݔ = 0 ⇔ ݔ = ݇ߨ, ݇ ∈ ܥ

W celu obliczenia punktu przecięcia z osią OY podstawiamy ݔ = 0

݂ሺ0ሻ = sinଶ 0 = 0

- granice na końcach przedziału określoności Granica lim௫→ஶ sin ݔ nie istnieje, tak samo jest z sinଶ ݔ

lim sinଶ ݔ = lim sinଶ ∞ nie istnieje

௫→ஶ

lim sinଶ ݔ = lim ݏ݅݊ଶ −∞ nie istnieje

௫→ିஶ

- asymptoty

Jakoż, że dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, nie istnieje asymptota pionowa.

Asymptota pozioma nie istnieje, gdyż funkcja nie dąży cały czas do jednej wartości.

Brak asymptoty poziomej, pionowej

- szkic wykresu

Funkcja okresowa ܶ = ߨ

- maksimum, minimum

ߨ

maksimum lokalne ݕ = 1, ݔ = 2 + ݇ߨ

minimum lokalne ݕ = 0, x = kπ

ߨ

݂↑݈݀ܽ ݔ ∈ ሺ݇ߨ; 2 + ݇ߨሻ

ߨ

݂↓݈݀ܽ ݔ ∈ ሺ2 + ݇ߨ;݇ߨሻ

b) ݂ሺݔሻ = ݔ ∗ sin ݔ

-dziedzina, przeciwdziedzina

ܦ = ܴ

Z dziedziną tak samo jak przy funkcji poprzedniej.

ܻ = ሺ−∞, ∞ሻ

Jak to zostało wspomniane wcześniej, zbiór wartości funkcji sin ݔ =< −1; 1 >. Przy mnożeniu tego przedziału przez ݔ ∈ ܴ, wzrasta on do ሺ−∞, ∞ሻ

- punkty przecięcia z osiami

0 = ݔ ∗ sin ݔ

ݔ = ݇ߨ

݂ሺ0ሻ = 0

- granice na przedziałach określoności

lim ݔ ∗ sin ݔ nie istnieje

௫→ஶ

lim௫→ିஶ ݔ ∗ sin ݔ nie istnieje

- asymptoty

Brak asymptoty pionowej, poziomej

- szkic wykresu funkcji

݂ okresowa ܶ = 2ߨ

-minimum, maksimum

3

1

݉ = 2ߨ +2݇ߨ,ܯ = 2ߨ + 2݇ߨ,݇ ∈ ܥ

1

݂↑݈݀ܽ ݔ ∈ ሺ݇ߨ; 2ߨ + ݇ߨሻ

c) ݂ሺݔሻ = ୱ୧୬௫

௫

-dziedzina i przeciwdziedzina

ܦ = ܴ\{0}

Dziedziną są liczby rzeczywiste oprócz 0, gdyż 0 nie może znajdować się w mianowniku.

2

ܻ =< − 3ߨ;1ሻ

Ogólnie zbiór wartości tej funkcji wyznaczamy później, mając dany wykres. Górną wartością jest 1ሻ, która występuje w punkcie ሺ0,0ሻ ∉ ܦ, dlatego przedział otwarty. Wartością dolną jest < − ଶ

ଷగ dla

ݔ = ± ଷ ߨ

ଶ . Podstawiając do wzoru mamy:

sin 32ߨ −1

2

3

= 3 = −3ߨ

2 ߨ

2 ߨ

- parzystość, nieparzystość

sin ሺ−ݔሻ sin ݔ

݂ሺ−ݔሻ = −ݔ = ݔ funkcja jest parzysta

- punkty przecięcia z osiami

ݏ݅݊ݔ

0 = ݔ ⇔ ሺsinݔሻሺݔሻ = 0 ⇔ ݔ = ݇ߨ\{0}

݂ሺ0ሻ = 0

- granice na przedziałach określoności

ୱ୧୬ ௫

Granica dla

= 1

௫

sin ݔ

±ܿ

lim

௫→±ஶ ݔ = lim[±∞] = 0

ݏ݅݊ݔ

0

lim

௫→଴ ݔ = ൤0൨ = 1

-asymptoty

Asymptotą poziomą w tym przypadku jest 0. Pomimo faktu, że wykres funkcji wielokrotnie przez 0

przechodzi, w nieskończoności funkcja do niego dąży.

asymptota pozioma ݕ = 0

brak asymptoty pionowej

- szkic wykresu

d) ݂ሺݔሻ = ݏ݅݊ݔ ∗ ܿ݋ݏݔ

- dziedzina, przeciwdziedzina

ܦ = ܴ

Dziedziną zarówno sin ݔ , cos ݔ = ܴ, więc dziedzina funkcji sin ݔ ∗ cos ݔ = ܴ

1 1

ܻ =< − 2;2 >

- parzystość, nieparzystość

Jak już wspomniałem wcześniej cos ݔ jest jedyną parzystą funkcją trygonometryczną, a iloczyn funkcji nieparzystej i parzystej jest funkcją nieparzystą.

݂ሺ−ݔሻ = sinሺ−ݔሻ ∗ cosሺ−ݔሻ = −sin ݔ ∗ cosሺ−ݔሻ funkcja jest nieparzysta

- punkty przecięcia z osiami współrzędnych

cos ሺݔሻ ma miejsca zerowe w ݔ = గ + ݇ߨ

ଶ

, sinሺݔሻ w ݔ = ݇ߨ, więc miejsca zerowe funkcji

௞గ

występowałyby w ݔ = గ , ߨ, ଷగ , 2ߨ

ଶ

ଶ

, więc widać że występują one co ଶ

ߨ

0 = sinሺݔሻ ∗ cosሺݔሻ ⇔ sinሺݔሻ = 0 ∨ cosሺݔሻ = 0 ⇔ ݔ = ݇ߨ⋁ݔ = 2 + ݇ߨ

ߨ

ݔ = ݇ ∗ 2

݂ሺ0ሻ = 0

- granice na przedziałach określoności

lim sin ݔ cos ݔ nie istnieje

௫→±ஶ

- szkic wykresu

-minimum, maksimum

1

ߨ

ܯ = 2,ݔ ∈ 4 + ݇ߨ

1

3

݉ = − 2,ݔ ∈ 4ߨ + ݇ߨ

ܶ = ߨ

2

1

݂ ↑ ݔ ∈ ሺ3ߨ + ݇ߨ;3ߨ + ݇ߨሻ

1

2

݂ ↓ ݔ ∈ ሺ3ߨ + ݇ߨ;3ߨ + ݇ߨሻ

2. Sprawdź czy funkcja jest parzysta bądź nieparzysta a) ݂ሺݔሻ = ଷ௦௜௡௫

ଵାଶ ୱ୧୬ర ௫

−3 sin ݔ

݂ሺ−ݔሻ = 1 + 2sinସݔ = −݂ሺݔሻ funkcja jest nieparzysta b) ݂ሺݔሻ = ݔଷ ∗ ݐ݃ሺ2ݔሻ

݂ሺ−ݔሻ = ሺ−ݔሻଷ ∗ ݐ݃ሺ−2ݔሻ = −ݔଷ ∗ −ݐ݃ሺ2ݔሻ ⇔ ݔଷ ∗ ݐ݃ሺ2ݔሻ = ݂ሺݔሻ funkcja parzysta Autor: shenlon