eżkości ograniczonego obszaru D ⊂ R2 zawartego pomi¸edzy
√
krzywymi y = x2 oraz y =
x. Zak ladamy, że g¸
estość w punkcie (x, y) ∈ D jest opisana wzorem f (x, y) = x · y.
√
Rozw. Dowolny punkt (x, y) ∈ D można opisać nast¸
epuj¸
aco: x ∈ [0, 1], y ∈ [x2, x].
Trzeba liczyć trzy ca lki
√
√
Z
Z
Z
1 Z
x
Z
1
Z
x
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dydx =
x · y dy dx =
D
0
x2
0
x2
√
Z
1
1
x
1 Z 1
1
1
1
1
1
1
=
x ·
y2
dx =
x · (x − x4)dx =
x3 −
x6
=
−
=
.
0
2
y=x2
2 0
6
12
x=0
6
12
12
Potem
√
√
√
Z
Z
Z
1 Z
x
Z
1
Z
x
Z
1
1
x
x · f (x, y)dxdy =
x · f (x, y)dydx =
x2 · y dy dx =
x2 ·
y2
dx
D
0
x2
0
x2
0
2
y=x2
1 Z 1
1 1
1
1
1 1
1
3
=
x2(x − x4)dx =
·
x4 −
x7
=
·
−
=
,
2
0
2
4
7
x=0
2
4
7
56
a nast¸epnie
√
√
√
Z
Z
Z
1 Z
x
Z
1
Z
x
Z
1
1
x
y · f (x, y)dxdy =
y · f (x, y)dydx =
x · y2 dy dx =
x ·
y3
dx
D
0
x2
0
x2
0
3
y=x2
1 Z 1
Z
1
3
1
5
1 2 7
1
1
1 2
1
3
=
x · (x 2 − x6)dx =
x 2 − x7 dx =
·
x 2 −
x8
=
·
−
=
.
3
0
3 0
3
7
8
x=0
3
7
8
56
Ostatecznie środek ci¸
eżkości to punkt
3
3
9
9
(x
56
56
0, y0) =
,
=
,
.
1
1
14 14
12
12
2. Zamienić kolejność ca lkowania i obliczyć ca lk¸
e
Z
π/3
Z
π2/9
y · sin(x2)dx dy .
0
y2
Rozw.
Jeśli y ∈ [0, π ], x ∈ [y2, π2 ], to z rysunku b¸
edzie wynikać, że x ∈ [0, π2 ], 3
9
9
√
y ∈ [0,
x]. Trzeba tylko zrobić rysunek w uk ladzie wspó lrz¸
ednych z osiami x pionowo i y poziomo. Liczymy
√
√
Z
π2/9
Z
x
Z
π2/9
1
x
y · sin(x2)dy dx =
y2
· sin(x2)dx
0
0
0
2
y=0
1 Z π2/9
=
x · sin(x2)dx.
2 0
Wprowadzaj¸
ac now¸
a zmienn¸
a t = x2 otrzymamy x dx = 1 dt oraz t ∈ [0, (π/3)4].
2
Liczymy
Z
(π/3)4 1
−1
( π )4
−1
π
sin(t) dt =
cos(t) 3
=
· cos(( )4) − 1 .
0
4
4
t=0
4
3
1
3. Obliczyć obj¸etość bry ly zawartej pomi¸
edzy poziom¸
a p laszczyzn¸
a XY i wykresem
funkcji f (x, y) =
1
, gdzie {(x, y) ∈ R2 : 2 ≤ x2 + y2 ≤ 3 oraz y ≥ x }.
x2+y2
Rozw. Liczymy
Z
Z
f (x, y)dxdy
D
gdzie D = {(x, y) ∈ R2 : 2 ≤ x2 + y2 ≤ 3 oraz y ≥ x }. Zbiór D we wspó lrz¸
ednych
√
√
biegunowych jest postaci x = r · cos α, y = r · sin α, gdzie r ∈ [ 2, 3] zaś α ∈
[ π , 5 π].Ponadto dxdy = rdrdα. Otrzymamy 4
4
√
√
Z
5π/4 Z
3 1
Z
5π/4
√
√
3
Z
5π/4
√
· r drdα =
ln(r)
√ dα = (ln
3 − ln 2) ·
1 dα
π/4
2
r2
π/4
r= 2
π/4
√
√
5π
π
r 3
= (ln 3 − ln 2) · (
−
) = π · ln
.
4
4
2
4. Obliczyć pole powierzchni wyznaczonej przez wykres funkcji f (x, y) = 2x + 3y + 4
obci¸
etej do {(x, y) : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.
Rozw. Liczymy
Z
Z
q
1 + (f 0x(x, y))2 + (f0y(x, y))2dxdy .
D
Mamy f 0x = 2, f0y = 3. Zbiór D opisujemy nast¸epuj¸aco : x = r · cos α, y = r · sin α, gdzie r ∈ [1, 2], α ∈ [0, 2π]. Ponadto dxdy = rdrdα, wi¸
ec ta ca lka ma postać
Z
2π Z 2 √
√
Z
2π 1
2
3 √
Z
2π
3 √
1 + 4 + 9 · r drdα =
14
r2
dα =
14 ·
1dα =
14 · 2π.
0
1
0
2
r=1
2
0
2
2